Одномерные комплексные отображения:множества Жюлиа,Мандельброта и Ньютона

   Уравнение  принимает вид

                                     ,                            (3.1)                            

  которое описывает большую кардиоиду, когда изменяется в пределах . Таким образом, границей притягивающих неподвижных точек является кардиоида, и притягивающие неподвижные точки лежат внутри нее. Заметим, что по оси кардиоида располагается от -3/4 до 1/4, что соответствует той части орбитной диаграммы, где существует только одна ветвь.

  Если  z является притягивающей периодической точкой периода 2, то она есть неподвижная точка , и поэтому

  .

  Это уравнение решается разложением  на множители:

  .

  Решения — это просто неподвижные точки . Пусть — решения уравнения:

                                ,                              (3.2)

                                  

  Так как они являются точками периода 2 для , то:

  и 
 

Из  этого следует, что 

                                   

                                           ,

а также 

  Произведение  двух решений уравнения (3.2) равно свободному члену этого уравнения, так что получаем 

  .

  Условие для производной в притягивающей  периодической точке: дает 

  дает 
 

Рис. 3.6. Периоды обрамлений 

  Таким образом, значения , для которых существуют периодические притягивающие точки периода 2 во множестве Жюлиа, лежат внутри круга

  . Отметим, что по оси х этот круг расположен от -5/4 до -3/4, что соответствует той части орбитной диаграммы, где она имеет две ветви.

  На  рис. 3.6 изображены некоторые участки (иногда называемые обрамлением) множества Мандельброта, соответствующие существованию притягивающих периодических точек различных периодов. Орбитная диаграмма говорит о том, что происходит на вещественной оси множества Мандельброта. Каждая бифуркация соответствует новому обрамлению, которое пересекает ось , и период в этом случае соответствует числу ветвей орбитной диаграммы.

  Установить  связь периодов с обрамлениями для периодов, больших чем 2, аналитическими методами затруднительно, если вообще возможно. Задача экспериментального определения периодов для притягивающих периодических точек упрощается с помощью следующего результата. Именно, если есть притягивающая периодическая точка для полинома, то существует критическое значение, которое лежит в области притяжения В случае этим критическим значением является точка 0. Для данного обрамления мы обычно можем определить периоды, хотя иногда это и не совсем просто. Для этого мы начинаем с тщательного построения изображения множества Мандельброта и находим аппроксимацию центра (значение с) определенного обрамления. Затем мы вычисляем определенный участок орбиты и пытаемся определить по ее асимптотическому поведению значение периода. Для значений , близких к границе, анализ вычислений становится затруднительным. 
 

  1.3. Построение множества Мандельброта 

  Для того, чтобы построить множество Мандельброта, надо определить, является ли связным множество Жюлиа для соответствующего значения . Это, вообще говоря, является довольно сложной задачей. Однако, существует важная теорема, доказанная независимо Жюлиа и Фату, что множество Жюлиа связно тогда и только тогда, когда, стартовав из начала координат (), последовательность итераций не уходит на бесконечность. Это служит эффективным критерием определения того, принадлежит ли данное значение множеству Мандельброта или нет, и фактически является способом его построения.

  Так, выбрав на комплексной плоскости  некоторое значение и взяв в качестве начальной точки , мы имеем такую последовательность чисел: , , и т.д. Если эта последовательность не имеет своим пределом бесконечно удаленную точку, то данное значение принадлежит множеству Мандельброта. Очевидно, начальной точкой этой последовательности может служить и само значение .

  Разумеется, реально продолжать до бесконечности  процесс итераций невозможно, и на практике ограничиваются неким конечным, но достаточно большим числом итераций N. Однако, чем ближе (с наружной стороны) мы находимся к границе множества , тем большее значение N мы должны взять и тем точнее должны быть наши расчеты. Подытожив, мы приходим к следующим трем правилам:

1. Если точка находится далеко от множества Мандельброта, то последовательность итераций , стартующая в точке , быстро уходит на бесконечность.
2. Если расположена поблизости от множества Мандельброта, то последовательность итераций уходит на бесконечность медленно. Тем медленнее, чем ближе к границе мы находимся.
3. Если лежит внутри множества Мандельброта, то последовательность итераций никогда не уходит на бесконечность.

   Другой важной технической деталью  является легко доказываемое  утверждение, что если  и изображающая точка вышла в процессе итераций за границы круга радиуса 2, то затем она уже достаточно быстро уходит на бесконечность.

  Этим  правилам соответствуют алгоритмы  раскраски цветных рисунков с  изображением множества Мандельброта. Само множество при этом окрашивается, например, в черный цвет. Точки,  лежащие снаружи , окрашиваются в различные цвета в зависимости от числа итераций, требуемых, чтобы пересечь границы круга радиуса 2. Один и тот же цвет соответствует одному и тому же числу итераций . 
 
 
 
 
 

Глава 4. Фракталы Ньютона

§1. Фракталы Ньютона

  Рассмотрим  нелинейное уравнение:

           .

  Нас будут интересовать не только вещественные, но и комплексные корни уравнения. Поэтому вместо х будем писать . Воспользовавшись алгоритмом Ньютона решения нелинейных уравнений, получаем

  , 0,1, 2,…         (4.1)

     

  Если  удачно выбрать начальное приближение  , то с помощью формулы (1.1) найдем быстро сходящуюся к корню последовательность {}. Если - полином, то (4.1) определяет рациональный эндоморфизм. В качестве примера рассмотрим случай , к 1 -целое число. Тогда формула (4.1) примет вид:

                            (4.2)

  Выбирая какое-либо начальное приближение, мы найдем корень k-ой степени из числа а. Как известно, рассматриваемое уравнение имеет k корней 

  расположенных на окружности радиуса и отстоящих друг от друга на угол .

  Заметим, что вычисление в компьютерах основано на формуле (4.2) с начальным приближением , и .

  Корни уравнения  являются устойчивыми неподвижными точками отображения (4.2). Основная проблема в применении метода Ньютона связана с выбором начального приближения. Она будет решена, если мы укажем области притяжения неподвижных точек соображения (4.2). Для этого попытаемся построить границу, разделяющую области притяжения различных корней. Оказывается, «граница» имеет фрактальную структуру. Оценив «ширину» фрактальной зоны, мы тем самым определим области притяжения различных неподвижных точек отображения (различных корней уравнения).

  Покажем это на примере , . Отображение (4.2) принимает вид: 

  Полагая и разделяя вещественную и мнимую части, придем к двумерному вещественному отображению: 
 
 

    На рисунке 4.2 показан фрактал для случая , , а на рисунке 4.3 – для случая , .

  

  Рис. 4.1. Фрактал Ньютона при ,  
 

  

  Рис. 4.2. Фрактал Ньютона при ,  

  

  Рис. 4.3. Фрактал Ньютона при ,  
 

Глава 5. Приложение (решение  задач на Pascal ABC)

Множество Жюлиа

 

Множество Мандельброта 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Множество Ньютона 

  

 

Библиографический список:

1. Божокин С.В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. С.12,13, 76-78.
2. P. M. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. С. 12, 217-247.
3. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Учебное пособие. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1999. С. 106-112.