Одномерные комплексные отображения:множества Жюлиа,Мандельброта и Ньютона

  

  Рис. 2.1.

  Изменим теперь немного функцию , положив , где - это небольшое комплексное число. Легко видеть, что мы все еще имеем , если z мало, где - это неподвижная точка , близкая к 0, и что , если z велико. Опять, множество Жюлиа – это граница между двумя типами поведения, но оказывается, что теперь является фрактальной кривой, схематически изображенной на рис. 2.2

  

  Рис. 2.2.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§3. Множества Жюлиа

  Через будем обозначать множество всех комплексных чисел . Комплексное число будем обозначать . Вещественная часть равна а, а мнимая часть равна вещественному числу . Будем обозначать их как

      и    .

  Модуль  комплексного числа , обозначаемый , определяется как евклидова длина вектора , то есть 

  Когда мы говорим, что последовательность комплексных чисел  стремится к бесконечности: 

  то  под этим мы понимаем, что для  любого данного М > 0 существует N > 0 такое, что для всех > справедливо > М, то есть все  точки лежат вне круга радиуса М для достаточно больших значений п.

    При этом не требуется, чтобы стремились к вдоль по прямой или какой-то кривой, просто абсолютные величины должны расти неограниченно.

  Ограничимся далее рассмотрением функций, которые  представляют собой полиномы одного комплексного переменного. Пусть

   ,            

  — полином степени  > 2, коэффициенты , , — комплексные числа (в частном случае, вещественные).

  Множество Жюлиа функции , обозначаемое J(f), определяется как

  .

  Таким образом, множество Жюлиа функции  есть граница множества точек z, стремящихся к бесконечности при итерировании . Множество названо в честь французского математика Гастона Жюлиа (1893-1978), который одновременно с Пьером Фату (1878-1929) в 1917-19 гг. написал основополагающие статьи по итерированию функций комплексного переменного. Еще раз мы видим впечатляющий пример математических исследований, которые далеко опередили свое время в том смысле, что потребовалось более пятидесяти лет, прежде чем компьютерная графика достигла уровня, позволяющего наблюдать эти математические объекты.

  Простейшее  множество Жюлиа соответствует  случаю . Так как , то тогда и только тогда, когда . Границей этого множества, то есть множеством Жюлиа, является единичная окружность , которая фракталом не является, хотя в общем случае множество Жюлиа есть фрактал. Тем не менее, функция хаотична на своем множестве Жюлиа (на единичной окружности).

  Можно написать простую программу для построения заполняющего множества Жюлиа. Заполняющее множество Жюлиа состоит из точек, орбиты которых пойманы, в отличие от границы этого множества, которое и является настоящим множеством Жюлиа. Заполняющие множества более привлекательны визуально и именно по этой причине наиболее часто реализуются программно. Такая программа наилучшим образом работает в случае множеств Жюлиа, обладающих притягивающей периодической орбитой.

  В первую очередь и в основном, мы будем изучать множества Жюлиа  квадратичных функций 

  где с — константа в С. Такой подход не является ограниченным, как это может показаться, так как рассмотрение произвольного квадратичного полинома, скажем, , , может быть сведено к указанному выше частному случаю простой заменой переменных. Множество Жюлиа для симметрично относительно горизонтальной оси. При написании программы это обстоятельство можно использовать для уменьшения объема вычислений, то есть вычислить множество Жюлиа в верхней полуплоскости, а затем отразить его на нижнюю полуплоскость. Как следует из приводимой ниже теоремы, в случае можно прекратить вычисление орбиты, как только величины достигают значения 2 по модулю. Орбиты таких точек гарантированно стремятся к бесконечности.

  Теорема 1. Предположим, что. Пусть и пусть для 1,2,3,... Если существует такое , что , то имеет место 

  то  есть орбита стремится к бесконечности и z не принадлежит множеству Жюлиа .

  Доказательство. Без потери общности можно предположить, что  2. Получаем

                                     
 

                                          

  Пусть удовлетворяет условию  . Исследуя производную вещественнозначной функции на интервале , легко видеть, что и вследствие этого

  .

  Таким образом,

   

  и 

  Для n-ой итерации получим: 

  и это выражение стремится к , когда становится достаточно большим.    ■ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§4. Орбиты во множествах Жюлиа

  В этом параграфе мы изучим еще один подход к вычислению множеств Жюлиа. Эта теория важна для понимания множества Мандельброта.

  Пусть — точка множества Жюлиа . Далее полагаем, что — полином. В соответствии с определениями, приведенными в главе 6, точка  — периодическая с периодом p (но не обязательно с наименьшим периодом p), если . Существуют несколько возможных типов поведения, зависящих от величины производной , которую будем обозначать через . Будем говорить, что периодическая точка z:

  сверхпритягивающая, если ;

    притягивающая, если ;

  нейтральная, если ;

  отталкивающая, если .

  Если  w есть притягивающая или сверпритягивающая неподвижная точка, то область (бассейн) притяжения для определяется как 

  Точка может быть классифицирована таким же образом. В теории функций комплексного переменного величина допустима и удовлетворяет, помимо прочих соотношений, уравнению при любом z . Окрестность бесконечно удаленной точки определяется в виде

    {z С : |z| > r} при некотором > 0.

  Динамическое поведение комплексной функции определенной в окрестности W бесконечно удаленной точки , может быть исследовано заменой z на 1/z. Поведение функции в бесконечно удаленной точке   эквивалентно поведению функции в окрестности точки 0, что очевидно из следующей коммутативной диаграммы: 
 

  Точка является притягивающей периодической точкой если точка 0 — притягивающая периодическая точка F. Например, если , то , и принимает значение 0 при    . Из этого следует, что бесконечно удаленная точка является сверхпритягивающей неподвижной точкой для . Следующая теорема представляет собой основной результат о соотношении множеств Жюлиа с орбитами при прямых и обратных итерациях.

  Теорема 2. Пусть  - полином степени > 2. Следующие определения множества Жюлиа эквивалентны.

1. есть граница области притяжения всех притягивающих неподвижных точек f включая .
2. Каждая отталкивающая периодическая точка принадлежит , и является замыканием множества всех отталкивающих периодических точек .
3. Если ω , то есть замыкание (ω) (через (ω) обозначено множество {z С : }.

  Более того, за исключением  самое большее  одной точки w на плоскости , множество Жюлиа удовлетворяет

  (2.1)

  где предел понимается в  смысле метрики Хаусдорфа.

  Первое  характеристическое свойство обобщает определение, первоначально данное для множества Жюлиа полинома: 

  так как является притягивающей неподвижной точкой в случае полинома, что было доказано выше в частном случае

      Второе характеристическое свойство, касающееся плотности отталкивающих периодических точек, часто приводится как определение множества Жюлиа. В отличие от первого характеристического свойства, оно применимо не только к полиномам. Заметим также, что это определение автоматически удовлетворяет одному из требований, предъявляемых к хаотической динамической системе, а именно, условию плотности периодических точек.

  Третье  характеристическое свойство и определение часто используются для вычисления множеств Жюлиа и их графического представления.

  Продолжим рассмотрение примера , начатое в предыдущем параграфе. В этом случае имеются три неподвижные точки: . Две точки, 0 и , являются сверхпритягивающими, а точка   — отталкивающей. Области притяжения  для z =0и  z = :  

  и 

  соответственно. По определению 1 теоремы 2: 

  Периодические точки порядка 1,2,3,... удовлетворяют уравнению . Если z, то , а значит имеется точно периодических точек. Все они лежат на единичной окружности и распределены на ней равномерно. Все эти ненулевые периодические точки являются отталкивающими, так как , а их совокупность образует плотное подмножество единичной окружности. Таким образом, определение 2 теоремы дает тот же результат, что и определение 1, в частном случае . Заметим только, что за исключением точки в , обратные орбиты точки сходятся к единичной окружности, то есть к .

  Следующий алгоритм требует вычисления квадратных корней из комплексных чисел. Если  , то два квадратных корня

  записываются  в виде . Однако, обычно нам приходится работать с числами вида , и в этом случае удобнее использовать следующую формулу :

                                   (2.2)

    При каждом обращении к этой формуле может быть вычислено любое из двух значений квадратного корня.

  Алгоритм вычисляет и отображает множество Жюлиа для . Этот алгоритм использует обратную итерацию и основывается на третьем определении теоремы 2. Для того чтобы начать процесс итерирования, необходимо вычислить одну отталкивающую периодическую точку. Этот шаг выполняется в первой части алгоритма с помощью вычисления двух неподвижных точек и удержания той из них, которая имеет большую абсолютную величину. Эта неподвижная точка всегда отталкивающая.

§5. Хаос и множества  Жюлиа

  Квадратичная  функция  проявляет хаотическое поведение на своем множестве Жюлиа .

  Одним из таких примеров является хаотическое  поведение вещественной функции на отрезке . Как следует из приводимой ниже леммы, множество Жюлиа комплексной функции есть также отрезок , а значит   хаотична на .

  Лемма 2. Отрезок ,  является множеством Жюлиа функции .

  Доказательство.  Если , то график пересекает прямую на отрезке точно раз и точки пересечения различны. Таким образом, имеет различных периодических точек на . Комплексный полином - степени имеет самое большее нулей в . Таким образом, мы нашли все периодические точки, и они лежат на отрезке . Более того, они образуют плотное подмножество отрезка (их замыкание есть ). Наклоны функций в точках пересечения с прямой больше 1 по абсолютной величине. Следовательно, эти периодические точки отталкивающие. По определению 2 теоремы 2, множество суть замыкание отталкивающих периодических точек, то есть отрезок .    ■

  Теорема 3. Квадратичная функция   хаотична на своем множестве Жюлиа при всех .

  Доказательство. Доказательство основывается на установлении условий периодичности и транзитивности.

  Периодичность. Условие периодичности, заключающееся в том, что периодические точки плотны в .

  Транзитивность. Условие транзитивности состоит в том, что для любой пары открытых множеств , которые пересекаются с , существует такое, что . Пусть U и V — открытые множества, пересекающиеся с , и пусть . По определению, является замыканием множества .

  В частности, это объединение пересекается с *, и поэтому для некоторого выполняется . Выберем любую точку в этом пересечении. Тогда , и следовательно, .     ■