Разработка методики рассчета неопределенностей измерений

Входные величины X1, X2,…, XN, от которых зависит выходная величина Y, являются непосредственно измеряемыми величинами и сами могут зависеть от других величин, включая поправки и поправочные коэффициенты на систематические эффекты:

Х1=f(Z1, Z2,... , Zi), X2=f(W1, W2,…, Wk) и так  далее.

Описание измеряемой величины в виде функциональной зависимости (математической модели), связывающей измеряемую величину с параметрами, от которых она зависит, называется моделированием. Эта стадия является чрезвычайно важной, так как от правильности составления модели измерения, которая определяется необходимой точностью, зависит количество источников неопределенности.[5]

С целью обобщения источников неопределенности измеряемую (выходную) величину и выявление источников неопределенности: входные величины и величины, на них влияющие , –  целесообразно представить на диаграмме «причина – следствие», которая приведена на рисунке 3.

                            X2                                                      X1              

                  W1                                                          Z2                                  Z1

                                        V2                                                   Y

                      V1                                  F1

                     VN

              X3                           V1

Рис. 3

Источниками неопределенности могут быть пробоотбор, условия хранения, аппаратурные эффекты, условия измерения, влияние пробы, влияние оператора.

Оценивание значений и стандартных неопределенностей входных величин. Это можно  сделать двумя способами:

- оцениванием неопределенности, возникающей от каждого отдельного источника с последующим суммированием составляющих;

- непосредственным определением суммарного вклада в неопределенность от некоторых или всех источников с использованием данных об эффективности метода в целом.[1]

Оценивание неопределенности от каждого источника возможно двумя способами: по типу А (путем статистического анализа ряда наблюдений) и по типу В (другим иным способом, чем статистический анализ ряда наблюдений).

Исходными данными для оценивания стандартной неопределенности по типу А являются результаты многократных измерений xi1,…, xin; i=1,…, n. На основании полученных результатов рассчитывается среднее арифметическое  xi, которое является оценкой входной величины Xi,

X = .                                 (1)

Оценка среднего квадратического отклонения рассчитывается по формуле:

Sx = .                     (2)

Эту формулу используют, когда получают несколько параллельных результатов. СКО сходимости берут из МВИ и тогда:

u(xсходимости)=Sr                            (3)

Sr может быть рассчитано по результатам экспериментальных исследований, проведенных в лаборатории, при разработке методики неопределенности. Если известен интервал, то:

Sr=r/2,8                                      (4)

(r – предел сходимости или повторяемости).

Оценивание стандартной неопределенности по типу В основывается на основе научных суждении, которые основанны на  доступной информации о возможных изменениях Xi. Исходными данными для оценивания неопределенности является следующая  информация:

      данные предварительных измерений величин, входящих в уравнение  измерения;

      сведения о виде распределения вероятностей;

      неопределенности констант и справочных данных;

      данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о приборе.

Если оценка xi берется из спецификации изготовителя, свидетельства о поверке, справочника или другого источника, то неопределенность обычно дается как интервал ±а отклонения входной величины от ее оценки. Для определения стандартной неопределенности входных величин необходимо воспользоваться законом распределения вероятностей. При этом чаще основными распределениями являются:

- прямоугольное (равномерное);

- треугольное;

- нормальное (Гаусса).[1], [3]

Формулы расчета стандартной неопределенности  для этих распределений сведены в таблице 1, приведенной ниже.

Таблица 1

2.3 Расчет стандартной неопределенности выходной величины

Стандартная неопределенность выходной величины Y представляет собой стандартное отклонение оценки выходной величины или результата измерения и характеризует разброс значений, которые могут быть с достаточным основанием приписаны измеряемой величине. Определяется суммированием стандартной неопределенности входных величин u(хi) и является суммарной, или комбинированной, стандартной неопределенностью, обозначаемой uс(у).

Применяемый для суммирования метод называется законом распределения неопределенностей, или корнем из суммы квадратов.[1]

В случае некоррелированных входных величин суммарная стандартная неопределенность рассчитывается по формуле:

uc (y) = ,                        (8)

        где   - частная производная функции f по аргументу xi;

          u(xi) – стандартная неопределённость, оценённая по типу А или В.

В случае коррелированных входных величин:

uc (y) = ,    (9)

где   определяется по формуле (5).

Частные производные называются коэффициентом чувствительности ci и показывают, как  выходная величина изменяется с изменением значения входных оценок  хi:

                        (10)

С учетом ci формулы будут иметь вид:

- в случае некоррелированных входных величин;

- в случае некоррелированных входных величин:

                                  uc (y) =      (11)

- в случае коррелированных входных величин:

uc(y)=  (12)

Величина  ui (y) (i=1,2,..., N) является вкладом в стандартную неопределенность, связанную с оценкой выходной величины, которая получается из стандартной неопределенности, связанной с оценкой входной величины, по следующей формуле:

ui(y)=ciu(xi)          (13)

Во многих случаях общие выражения для суммирования неопределенностей сокращаются до гораздо более простых формул.[1], [5]

Если функция модели является суммой или разностью некоррелированных входных величин , то суммарная стандартная неопределенность uc (y) определяется выражением:

uc (y) = .                  (14)

Если функция модели f является произведением или отношением некоррелированных входных величин Хi, то суммарная стандартная неопределенность uc (y) определяется из выражения:

,                (15)

где u(xi) / xi – неопределенности параметров, выраженные в виде относительных стандартных отклонений.

2.4 Расчет расширенной неопределенности

Расширенную неопределенность U получают путем умножения стандартной неопределенности выходной величины uc (y) на коэффициент охвата k:

                                                  U = k uc (y).                                          (16)  

При выборе значения коэффициента охвата следует учитывать:

- требуемый уровень достоверности;

- информацию о предполагаемом распределении;

- информацию о количестве наблюдений, использованных для оценки случайных эффектов.[2]

В случае когда измеряемой величине может приписываться нормальное распределение вероятностей, коэффициент охвата k определяется как квантиль нормированного нормального распределения при уровне доверия Р. Значения доверительного уровня сведены в таблице 2.

  Таблица 2 – Значения коэффициента охвата k при уровне доверия Р

На практике наиболее широко применяют k = 2 для интервала, имеющего уровень доверия Р=95% и k =3 для интервала, имеющего уровень доверия Р=99%.

Если все стандартные неопределенности, оцененные по типу А, определялись на основании ряда наблюдений, количество которых менее 10, то распределение вероятностей результата измерения описывается распределением Стьюдента (t – распределением) с эффективной степенью свободы . В общем случае k = tp(veff), где tp(veff) – квантиль распределения Стьюдента с эффективным числом степеней свободы veff и уровнем доверия P. Эффективное число степеней свободы рассчитывается по следующей формуле:

                                ,                         (17)

где = n – 1 – число степеней свободы при определении оценки i – той входной величины для оценивания неопределенностей по типу А (n – чмсло результатов измерений); = ∞ для определения неопределенности по типу В.

Когда вклад источника неопределенности входной величины, имеющей прямоугольное распределение, является доминирующим, то коэффициент охвата равен:

k=1,65 при     P=95%,

k=1,71 при     P=99%.

2.5 Представление результата

Если мерой неопределенности является суммарная стандартная неопределенность , то результат может быть записан в виде:

результат: y(единиц) при стандартной неопределённости (единиц).

Если мерой неопределенности является расширенная неопределенность U, то результат указывают в виде:

результат: (y ± U) (единиц).

3 Разработка методики расчета неопределенностей измерений

Все измерения измеряемой величины сопровождается нахождением её  истинного значения. Истинное значение – значение, которое идеальным образом характеризует в качественном и количественном отношении определенную физическую величину. Погрешность результата измерения показывает исследователю, насколько данный результат надёжный. Неопределённость позволяет показать разброс значений физической величины. [4]

Документ, содержащий математический анализ точности проведения измерений называется методикой расчёта неопределённостей. Методика состоит из следующих разделов:

1) назначение;

2) постановка измерительной задачи;

3) модель измерения;

4) результаты измерения;

5) анализ входных величин;

6) анализ корреляции;

7) коэффициент чувствительности