Шпаргалка по "Статистике"

p align="justify">Следствия ЦПТ.

Распределение среднего арифметического  случайных величин.

Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием m_i и дисперсией s_i². Среднее арифметическое их: 

]=nm/n=n

.

При n->∞ -> 0. Среднее арифметическое можно представить: , т.е. можно рассмотреть как сумму случайных величин. Тогда

 – в силу центральной предельной теоремы

Теорема Муавра-Лапласа.

Пусть Х – случайная величина, имеющая  биномиальное распределение. (q=1-p; n испытаний)

Х –  число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли

Х=0…n

 

Введем  величину

Причем  P[X_i=1]=p M[Xi]=1*p+0*q=p

 P[X_i=0]=q      D[Xi]=M[Xi²]-p²=p-p²=p(1-p)=pq

X = X1 + … + Xn (они все независимы и имеют одинаковое распределение)

M[X] = M[X1 + … + Xn] = M[X1] + … + M[Xn] = np

D[X] = D[X1 + … + Xn] = D[X1] + … + D[Xn] = npq

Следовательно: X~N(np,npq)

Теорема Муавра-Лапласа позволяет количественно  оценить разброс события А  в некотором эксперименте, который  может повторятся n раз в неизменных условиях. Приблизительное значение p равно значению наблюдаемой относительной частоты появления события А в n экспериментах, причем, чем больше n тем выше относительная точность этого результата.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

№22. Теорема Чебышева и ее обобщение.

Если  дисперсии n-независимых случайных величин (X1…Xn) ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Док-во:

По условию: M(X₁)=m₁… M(X_n)=m_n  

 

 
 

По первому  неравенству Чебышева получаем:

поскольку P>1, то:

Вывод: при достаточно больших n выполнение рассматриваемого неравенства является событием практически достоверным, а неравенства противоположного смысла практически невозможно.

Таким образом предел по вероятности следует  понимать не как категорическое отверждение, а как утверждение, вероятность  которого гарантируется с вероятностью близкой к 1 (при n->∞)

Таким образом, при большом числе случайных  величин практически достоверно, что их средняя случайная величина как угодна мало отличается от неслучаной – среднего математического ожидания, т.е. перестает быть случайной.

Этим  заключением обоснован выбор  средней арифметической в качестве меры истинного значения мат. ожидания.

Практическое  значение:

Пример: Необходимо установить размер страхового взноса, с условием что он(?) сделает выплаты при наступлении страхового случая. Замечание Если все измерения проводятся с одинаковой точностью и дисперсией (D[X_i]=s²), то дисперсия их средней величины

Т.е. средний разброс  случайной величины меньше разброса каждого измерения. Увеличивая число измерения можно уменьшить влияния случайных погрешностей (но не систематических)

 

№23. Асимптотическое распределение среднего арифметического независимых случайных величин и относительной частоты.

Распределение среднего арифметического  случайных величин.

Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием m_i и дисперсией s_i². Среднее арифметическое их: 

]=nm/n=n

.

При n->∞ -> 0. Среднее арифметическое можно представить: , т.е. можно рассмотреть как сумму случайных величин. Тогда

 – в силу центральной  предельной теоремы

Распределение относительно частоты

Ћ = k/n – относительная частота появления события А, где k – число появлений события а в n испытаниях.

0,999 –  (например) абсолютная частота

 Ћ  = k/n = X/n - число появлений события а в n испытаниях.

M[h] = M[X/n] = 1/n*np=p

D[h] = D[X/n] = 1/n²*D[X]= 1/n^2*npq=pq/n

Ћ = k/n = X/n = X1/n + … + Xn/n~N(p, pq/n)