Шпаргалка по "Статистике"

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

№8.Распределение Пуассона. Физическая модель, приводящая к распределению Пуассона.

  Если n достаточно велико, а p мало, то формулу Пуассона исп-ют вместо точных биномиальных формул для вероятностей k успехов в n испытаниях. При n→∞, p→0 при условии λ=np=const-интенсивность потока: = = ; .

Случ.вел.Х  наз-ся распределенной по закону Пуассона с параметром λ>0, если ее возможные значения равны 0, 1, 2….., а соответствующие вероятности определ-ся формулой .

; M[x]=λ,D[x]=λ 
Физическая модель, приводящая к распределению Пуассона:Точка-событие, послед-ть точек – поток событий. Возьмем некот.интервал длины t. Вер-ть того, что на инт-ле t произойдет ровно n событий: Pn(t)=? .Простейший (Пуассоновский) поток событий, если он: Стационарный – если Pn(t) не зависит от того, где выбран интервал длины t.

Отсутствует последствие (память) - если Pn(t) не зависит, не изменяется от того, сколько событий произошло на смежных соседних интервалах. Ординарный – можно выбрать столь малый интервал ∆t, что вероятность Pn(∆t) пропорциональна длине интервала , а вероятность двух, трех и т.д. событий одновременно – есть величина бесконечно малая:

Док-во: Вер-ть того, что 1 событие не произойдет: Рассмотрим инт-л длины (t+∆t): => ;  
, сл-но с=1,  . 
; ,сл-но .Сл-но - вер-ть того, что на инт-ле t произойдет n событий, λ-среднее число событий,кот. происходит на 1чном инт-ле.

 
 
 
 
 
 

№10.Вероятность в непрерывных пространствах эл событий и ее св-ва. Геометрические вер-ти.

Пусть - непрерывное простр-во.

Алгебра событий (F) – это система подмножеств W, W={ ω_1,,ω₂,…} кот.удовл-ет следующим свойствам: 1. ΩÎF, ÆÏF;  2. A,BÎF => A+B F, ABÎF, не А и не ВÎ F;  3. F явл-ся сигма-алгеброй, если определены операции. Для счетного числа событий.

Пусть событие А F, тогда Р(А) -вероятность, число, которое должно удовл-ть:  
1.P(Ω)=1; 2.АÎВ,Р(А)≥0; 3.А∙В≠0, A+BÎF=>P(A+B)=P(A)+P(B).

₌ÆÞ

Свойства вероятностей: 1.Р(Æ)=0 -вер-ть невозможного события 2. 3. АÌВ- если А-следствие В, то Р(А)<=Р(В). 4. P(A+B)<=P(A)+P(B) 5. непрерывности: если

А1ÌА2Ì…ÌАnÌ… ,то ; 
если А1ÉА2É…ÉАnÉ…, то

Геометрические  вер-ти, Для любого подмножества А можно посчитать его площадь: Р(А)=площ.А/площ.Ω. Т.к. вер-ть пропорцион-на площади, то чем > лощадь, тем  > вероятность попадания в событие. P(A)=mes(A)/mes(Ω) – мера А/мераS.

 

14.Мат.  ожидание и дисперсия  суммы случайных  величин.

M[X]=m_x=    M[Y]=m_y=

(M[X], M[Y])-центр распределения.Пусть X и Y - случ. вел. С конечными мат. ожиданиями. Мат. ожидание их суммы равно сумме их мат. ожиданий. M[X+Y]=

M[X]+M[Y] Пусть X и Y- взаимно независимые случ. вел с конечными мат. ожиданиями. Мат ожидание произведения XY равно произведению их мат. ожиданий. M[XY]= =M[X]*M[Y].  
Это правило распространяется на любое конечное число взаимно независимых случ. величин. Заметим, то последнее равенство для зависимых случ. величин, вообще говоря, е выполняется. Пусть X и Y- случ. Вел с совместным распределением, задаваемым таблицей (1). Условное мат. ожидание случ. dел. X при условии, что Y принимает заданное значение Y = yj, вычисляется по формуле: M[X/Y=yj]= 
Дисперсия суммы случайных величин: D[X+Y]    z=X+Y => D[z]=M[(z-m_z)²], а m_z=m_x+m_y

D[z]= M[((X-m_x)+(Y-m_y))²]= M[(X-m_x)²]+2 M[(X-m_x)(Y-m_y)]+

 
 
 

+M[(Y-m_y)²]=D[X]+2cov(X,Y)+D[Y]

Таким образом: D[X±Y]=D[X]+D[Y]±2cov(X,Y) Если X и Y независимые, то cov(X,Y)=0 =>  D[X±Y]=D[X]+D[Y] Рассмотрим D[aX±bY]=a²D[X]+b²D[Y]±2abcov(X,Y)

 
 
 
 
 
 
 
 

№11.Непрерывные случайные величины.  Случайная величина Х называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная частично-непрерывная функция f(x) , удовлетворяющая для любых значений x равенству (случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал).  f_x - плотность распределения вероятностей (плотность распр-я единичной массы на инт-ле). Св-ва:  если x [a;b]: 1. f(x)>=0;  2. ; ; . 

если :  1. f(x)>=0;  2. ; - норм.распр-е. 
F(x) – ф-я распределения для непрер.случ.величин, определена на всей числовой оси, ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х. Свойства:  1)0<=F(X)<=1;2)F(-∞)=0 3)F(+∞)=1;4)F(X)-неубыв.ф-я 5)   :

6)f(X)=dF(X)/dx  7) -     

вер-ть попадания в [c;d].  
Мат.ожидание: , , где f(x)dx=P[x<X<x+dx] – элемент вер-ти. Свойства: 1.M[cX]=cM[X] 2.M[c+X]=c+M[X] 3.M[X+Y]=M[X]+M[Y]  
4.X=j(x),

Дисперсия: ,  
Начальный момент k-го порядка -  
Центральный момент k-го порядка -

Асимметрия- ,где δ- ср. квадратич. отклонение 
Эксцесс – хар-ет форму распред-я в окрестности вершины 
Квантиль – абсцисса (точка на оси х), которая слева от себя отделяет площадь под графиком плотности, равную Р. F(x_p)=P – порядок квантили. 1. ;  2. F(X)=P[X<x]. Квантиль порядка 0,5 – х_0,5 – для любого распр-я наз-ся медианой (h) (отделяет ½ площади под плотностью слева и справа). Если распр-е симметрично, то h совпадает с мат.ож. m. 
Мода (d) – абсцисса, при кот. плотность распр-я имеет максимум: f(d)=max

 

№12.Нормальное распределение. Нормальное распределение N(m,s²) имеет плотность, определяемую формулой:

Функция распр-я F(х)норм.распр-я равна: 
 

Параметры m и s² норм. распр-я равны соответственно мат.ожиданию и дисперсии случ.вел-ны Х:

Центральные моменты норм.распр-я можно вычислить из рекуррентного ур-ния: μ_k+2=(k+1)s²μ_k , k=0,1,2,… (причем μ₀=1). Для норм.распр-я все центр.моменты нечетного порядка равны 0. Коэффициент ассиметрии a_x норм.распр-я равен 0. a_x=μ₃/s₃  Из формул получаем: μ₂=s², μ₄=3s⁴  Коэффициент эксцесса равен 0: е_х= μ₄/s⁴-3=0. Стандартизированное нормальное распределение и его свойство. Норм.распр-е с нулевым мат.ожиданием и дисперсией,равной 1, назыв.стандартным норм.распр-нием: Х~ N(0,1). Ф-ла плотности j(х) станд.норм.закона равна

,     -¥<x<¥.     А функция распр-я: 
Так как плотность распр-я станд.норм.закона j(х) симметрична относ-но оси ординат,то для ф-ции распр-я Ф(х) справедливо след.св-во: Ф(-х)=1-Ф(х)

Зн-я функции  Ф(х) использ.при вычислении вер-ти попадания  норм.распр-ной случ.величины Х в  заданный интервал:

В практич.задач  часто приходится вычислять вер-ть попадания случайной величины Х~ N(m,s²) в интервал, симметричный отн-но ее математического ожидания m:

Используя получ.рез-тат,вычислим вер-ть отклоенения от мат.ожидания норма.распр-ной случ.вел-ны на вел-ну,равную трем средневкадратич.отклонениям, 3s: P[|X-m|<3s]=2Ф(3)-1»2*0,9987-1»0,9973  Этот результат известен как «правило трех сигм»: с вер-тью 0,9974(практически=1) зн-е нормально распределенной случ. вел-ны лежит в интервале (m-3s;m+3s) Правило трех сигм это правило часто используется для подтверждения или отбрасывания гипотезы о нормальном распределении случайной величины.

 
 
 

 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

№13. Системы дискретных случайных величин.

Рассмотрим  две случайные величины X  и Y, определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве (Ω,F,P). Обозначим значения, кот. принимает случ. величина Х через х1, х2, …, хn, а значения случ. величины Y через y1,y2,…,yn. Распределение вероятностей X и Y обозначим соответственно p_х1, p_х2, …, p_хn и p_y1, p_y2, …, p_yn. Вер-ть события, состоящего в том, что Х=хi и Y=yj, обозначим как P[X=xi; Y=yj]=p_ij. Опр Система равенств P[X=xi; Y=yj]=p_ij, p_ij>0, , p_ij=1, i=1,2, .., n, j=1,2,..,m определяет совместное распределение дискретных случайных величин X и Y или системы 2-ух дискр. случ. величин (X,Y). Распределение системы 2-ух дискр. случ. вел. (X,Y) записывают в виде таблицы распределения.

Суммируя вер-ти p_ij по строкам, получим рапределение случ. вел X:       , i=1,2, .., n, суммирование вер-тей p_ij по столбцам дает распределение случ. вел. Y: , j=1,2,..,m. Аналогично определяется

распределение системы более чем 2-ух случ. вел.  Условные распределения: Условная вер-ть события Х=хi при условии, что Y=yj (p_yi>0) определяется формулой

Система равенств (1) при , i=1,2, .., n задает условное распределение случ. вел. X при условии,что случ. вел Y принимает заданное значение Y= yj. Опр Определение независимости случ. величин. Пусть таблица (1) суть таблица распределения случ. вел X и Y. Случ. вел-ны X и Y наз. независимыми, если события X=xi и Y=yj независимы для всех i и j таких, что 1≤i≤n,  1≤j≤m, т.е.   или

p_ij= p_xi´p_yj.Если X и Y независимые случ. вел., то таблица распределения имеет вид таблицы умножения. Аналогично определяется взаимная независимость более чем 2-ух случ. вел. Для независ. случ. вел. Условные вер-ти равны безусловным вер-тям  P[X=x_i/Y=y_i]=P[X=x_i],   P[X=x_i/Y=y_i]=P[Y=y_i]

  Опр Случайные величины X1, X2,..,Xn определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве наз. взаимно независимыми, если для любой комбинации значений x_i1, x_i2, .., x_in..

Опр Пусть случ. величины X и Yимеют конечные дисперсии. Ковариацией X и Y наз.. математическое ожидание произведения центрированных случ. величин (X-m_x) и (Y-m_y): cov(X,Y)=M[(X-m_x)(Y-m_y)]= M[XY]-m_xM[Y]-m_xM[X]+m_xm_y=M[XY]-m_xm_y  (Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от её математического ожидания) Св-ва cov: 1.Если X и Y независимые случ. вел, то cov(X,Y)=0, обратное же неверное, т.е. если cov(X,Y)=0, это не значит,что величины независимы. . cov(aX,bY) = abcov(X,Y), где a и b – константы 3.cov(X,Y)≤ Это неравенство явл. следствием неравенства Коши-Буняковского: (M[XY])²≤M[X²]*M[Y²] Док-во нер-ва: Рассмотрим очевидное неравенство M[(aX+Y)²]  ≥0, где а-любое действительное число, а≠0. Преобразуем левую часть этого неравенства, используя св-ва мат. ожиданий M[(aX+Y)²]=M[a²X²+2aXY+Y²]=a²M[X²]+2aM[XY]+M[Y²]≥0 Т. К. Полученный относительно a трехчлен принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант будет меньше или равен нулю: 4(M[XY])²-4M[X²] *M[Y²]≤0 Отсюда следует неравенство (M[XY])²≤M[X²]*M[Y²]. Заменим X на (X-m_x), а Y на (Y-m_y), получим: (M[(X-m_x)(Y-m_y)])²≤M[(X-m_x)²]*M[(Y-m_y)²] или (cov(X,Y))²≤D[X]*D[Y] Механическая интерпретация.n-мерные случ. величины (x1, x2,..,xn)- n-мерный случ. вектор (x1, x2,..,xn)= M[ ] =(M[x1],…, M[xn]), т.е мат. ожидание вектора равняется вектору мат. ожиданий. Cov(Xi;Yj)=M[(Xi-m_xi)(Yj-m_yj)], j,i=1,..,n