Шпаргалка по "Статистике"

-ковариационная матрица (симметрична) -корреляционная м-ца(симметрична) D[x1+x2+x3]=D[x1]+D[x2]+D[x3]+2cov(x1,x2)+2cov(x2,x3)+2cov(x1,x3)

 

№15.Коэффициент корреляции как характеристика статистической связи. Некоррелицированность и независимость с.в.

В качестве меры линейной зависимости между случ. величинами X и Y используют коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле Св-ва коэфиициента корреляции: 1. Док-во: рассмотрим систему 2-ух случ. вел: (X,Y) Проведем нормировку (стандартизацию), т.е.  M[X]= m_x       D[X]=σ_x²             X^x_{нормиров}=(x-mx)/σx   Нормированная величина – это тогда, когда M[Y]=m_y         D[Y]= σ_y²       Y_{yнормиров}= (y-my)/σy    m_ч=0, а σ_x=1 Cov(X^x,Y^y)=M[{(x-mx)/σx}]*M[{(y-my)/σy}]= 
2. Если  X и Y – незав. случ. вел, то r(Х,У)=0, причем обратное неверно 3.Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью: Y=aX+b, где a,b – const , a≠0,то Док-во: Т.к M[Y]=aM[X]+b=am_x+b, то имеем cov(X,Y)=M[(X-m_x)*(Y-m_y)]=M[(X-m_x)(aX+b-am_x-b)]=M[(X-m_x)a(X-m_x)]=aD[X] Вычислим  дисперсию случ. вел. Y=aX+b     D[Y]=D[aX+b]=a²D[X] Таким образом, коэффициент корреляции равен: Следовательно, r(Х,У)=1, если a>1 и r(Х,У) =-1, если a<0 Т.е коэффициент корреляции является показателем линейной зависимости, но если ρ_xy=0. это не значит,что между ними нет никакой связи, это значит, что нет линейной зависимости.Если коэффициент корреляции между случ. вел. X и Y равен 0, то говорят, что X и Y некоррелированны. Некоррелированность случ. вел X и Y означает только, что между ними нет линейной зависимости и не означает статистическую независимость случ. вел X и Y.

№18.Функции случайных величин. Функции дискретных случайных величин. Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y  называют функцией случайной величины Х y=φ(x)

 

Функции непрерывных случайных величин

 

y=φ(x) – непрерывная дифференцируемая монотонная ф-ция

1.Монотонно  возрастает (Лекции 13 рисунок)

{y<Y}равносильно{x<X}

{x<X}: F_x(x)=P(x<X)= -                            ф-ция распределения

P(y<Y)=G_y(y)-ф-ция распределения  

 

 

2.Монотонно убывает  (Лекции 13 рисунок) 
X>x 

P(y>Y)=G_y(y) 
Функция  плотности вероятности для функции случайной величины y=φ(x) -

Математическое  ожидание y=φ(x) 1. Пусть X- дискрет случ. вел, тогда y_n= φ(x_n) _;  
2. Пусть X –непрер. Случ. Вел

  

Для вычисления числовых характеристик неслучайной  ф-ции случайной величины не надо знать закона распределения зависящей  от X случайной величины Y, а достаточно знать закон распределения случайного аргумента

Пример.

X=y³

X→Y

Y=x²

 
 
 
 
 

№16.Системы 2-ух непрерывных случ. вел. Определение ф=ции распределения и плотности, условные распределения, зависимость и независимость случ. вел. Числовые характеристики.

  Пусть на вероятностном пр-ве (Ω,F,P) заданы непрерывные случ. вел X1=X1(ω), X2=X2(ω),.., Xn=Xn(ω), ωÎΩ. Опр Совместной ф-цией распределения F(x₁, x₂,…, x_n) случ. вел X1,X2,..,Xn наз-ся вероятность события [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn]: F(x₁, x₂,…, x_n) =P [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn] Фукция распределения: F(X,Y)=P[X<x,Y<y] Если пользоваться геом. интерпретацией системы образом случ. точки, то ф-ция распред. есть не что иное, как вер-ть попадания случ точки (X,Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (x,y), лежащий левее и ниже ее. 1.Ф-ция распред. Есть неубывающая ф-ция обоих своих аргументов,т.е при x2>x1, F(x2,y)≥ F(x1,y)  при y2>y1  F(x,y2) ≥F(x,y1) 2.Повсюду на -∞ ф-ция распред. равна нулю: F(x,- ∞ )= F(-∞ ,y)= F(-∞ ,- ∞ )=0 3. F(x,+ ∞ )=F1(x), F(+∞ ,y)=F2(y) 4. F(+∞ ,+ ∞ )=1 Неотрицательная ф-ция n переменных f(x₁, x₂,…, x_n) наз-ся совместной плотностью распределения случ. величин X1,X2,..,Xn , если их совместная ф-ция распределения может быть представлена в виде F(x₁, x₂,…, x_n) =Геометрически функцию f(x,y) можно изобразить некоторой поверхностью – поверхность распределения. Если пересечь поверхность распред. Плоскостью, перелелльной плоскости XOY, и спроектировать полученное сечение на плоскость XOY, получится кривая, в каждой точке которой плотность расред. постоянна. Плотность распределения имеет след. св-ва: 1. f(x₁, x₂,…, x_n) ≥; (это ясно из того, что плотность распред. есть предел отношения двух неотриц. величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника) 2. ; (геометрически это cв-во означает ,что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью XOY равен едицице.) 3.Если ф-ция определена, вектор попадет в некоторую область,тогда вер-ть определяется: P[(x1,x2,..,xn)ÎG]=  
(геометрически вер-ть попадания в область G изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распред и опирающегося на область G. Зная совместную плотность распределения f(x₁, x₂,…, x_n)  случ. вел X1,X2,..,Xn можно найти плотность распред. каждой случ. вел. Для двумерного вектора (X1,X2) с плотностью f(x₁, x₂) распределение случ. вел X1, f₁(x₁) равна f₁(x₁) = , а плотность распред. случ. вел. X2, f₂(x₂) равна f₂(x₂) = Опр Случ. величины X1,X2,..,Xn  наз-ся независимыми, если для любых действительных переменных x₁, x₂,…, x_n,  F(x₁, x₂,…, x_n) =F1(x₁)* F2(x₂)*…* Fn(x_n), где Fi(x_i)-ф-ция распред. случ. вел Xi, i=1,2..,n Равносильное определение независимости случайных величин X1,X2,..,Xn   записывается так f(x₁, x₂,…, x_n) =f₁(x₁)* f₂(x₂)*…* f_n(x_n), где f_i(x_i)-плотность распред. случ вел. Xi, i=1,2..,n  f₁(x)=   f₂(y)=

X и Y независимы, если 

f(X,Y) = f₁(x)* f₂(y) X и Y независимы, если f(X/Y)= f₁(x); f(Y/X)= f₂(y) Условные плотности распределения. Распределение Y, если X принимает какое-либо значение f(Y/X) Распределение X, если Y принимает какое-либо значение f(X/Y) Условная ф-ция и распределения. Распред. X, при условии Y=y

f(X/y)=f(x,y)/f2(y)   f(Y/x)= f(x,y)/f1(x)

 

 

 

 
 
 
 
 

Числовые  характеристики: 1. Мат ожидание:

2.Дисперсия

 
 
 
 
 

Св-ва:  
M[X+Y]=M[X]+M[Y]  M[X*Y]=M[X]*M[Y], если X и Y независимые D[X+Y]]=D[X]+D[Y], если X и Y независимые

3.Ковариация

 
 

 
 

4.Коэффициент  корреляции

 

(Св-ва ковариации  билет 13, св-ва корреляции билет  15)

 
 
 

№17.Нормальный закон на плоскости.

Двумерное нормальное распределение  –это распределение системы двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,y), определяемой формулой.

  Плотность распределения  случ. вел X, f₁(x), вычисляется интегрированием f(x,y) по y:

 Аналогично вычисляется плотность  распред случ вел Y,f₂(y):

 Формула (1) показывает,что  в случае двумерного нормального распределения с плотностью (1) компоненты X и Y имеют нормальное распред, причем M[X]=m₁, D[X]=σ₁², M[Y]= m₂, D[Y]=σ₂²

Ковариация X и Y равна

cov(X,Y)=M[(X-m₁)(Y-m₂)]= = Отсюда следует,что параметр ρ в (1) есть коэффициент корреляции

Св-ва:

1.Если (X,Y) имеет норм. распред.:

Каждая компоненты этого распределения также имеет  нормал. распределение

 

2. Если ρ=0 => f(x,y)= f₁(x) ´ f₂(x) => X и Y – независимые

3.Условная плотность  распределения:

f(X/y) и f(Y/x) – нормальные плотности

Геометрически  плотность f(x,y) двуменого нормального распределения (1) представляет «холмообразную » поверхность. Проекция вершины холма на плоскость xOy имеет координаты (m₁, m₂) Эта точка называется центром рассеивания.

Сечение поверхности Z=f(x,y) плоскостями , параллельными плоскости xOy, есть кривые, определяемые ур-нием:

, где λ – const. Проекциями  этих кривых на плоскость xOyбудут  эллипсы. Т.к. плотность f(x,y) имеет на этих кривых постоянное значение, то соответствующие эллипмсы наз. эллипсами равных вероятностей

Эллипсы равных вероятностей имеют общий центр  – центр рассеивания с координатами(m₁, m₂)  и общие оси симметрии (они наз главными осями ξ и η)

 
 
 

№19. Функции нескольких случайных величин. Вычисление мат ожиданий и дисперсий для суммы случайных величин.

1.Математическое ожидание

2.Дисперсия

Св-ва мат. ожидания и дисперсии:

1.M[X+Y] = M[X] + M[Y]

2.M[X*Y] = M[X] * M[Y]

3.D[X+Y] = D[X] + D[Y]

3.Коэффициент  ковариации

        Св-ва мат. ожидания и дисперсии:

1.Если  X и Y независимы, то Cov(X,Y) = 0   (обратное неверно!)

2.Cov(aX,bY) = ab*Cov(X,Y), где a и b – константы

3.Cov(X,Y)

4.Коэффициент  корреляции

Св-ва мат. ожидания и дисперсии:

1.|ρ(X,Y)| ≤ 1, этот результат следует из свойства 3 для ковариации случайных величин X и Y.

2.Если Х и Y – независимые случайные величины, то ρ(X,Y) = 0 (по свойству 1 для ковариации)

3.Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью: Y=aX + b, где a и b – константы, а ≠ 0, то  |ρ(X,Y)| = 1

 

21. Теорема Бернулли.

Пусть А – случайный исход некоторого экспериментов, P(A)=p – вероятность этого исхода. Предположим, что эксперимент повторяется n раз в неизменных условиях (т.е. вероятность Р(А)=р не изменяется при повторении экспериментов). Тогда относительная частота появление события А при n -> ∞ сходится по вероятности к р:

,    или   

где n – общее число исходов,

       m – число благоприятных исходов,

       p – вероятность появления случ. величины.

Док-во:

Пусть    Причем P[X_i=1]=p , а P[X_i=0]=q      .

Вычислим  математическое ожидание случайной  величины X_i: 

M[Xi] = 1*p + 0*q = p

И математическое ожидание их среднего арифметического:

Случайные величины X_i , i=1…n по условию взаимно независимы, а их среднее арифметическое есть относительная частота появления события А в середине n экспериментов

Теорема Бернулли дает математическое обоснование  экспериментальным результатам, в  которых наблюдается устойчивость частот при увеличении числа экспериментов.

Устойчивость  среднего арифметического можно  объяснить тем, что случайное  отклонения от среднего, неизбежные в  каждом отдельном результате, в массе  однородных результатов взаимно  поглощаются, нивелируются, выравниваются. Вследствие этого средний результат фактически перестает быть случайным и может быть предсказан достаточно точно.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

№20. Центральная предельная теорема. Теорема  Муавра-Лапласа. Асимптотическое  распределение среднего арифметического  случайных величин.

Центральная предельная теорема. 
Одна из формулировок: Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием m и дисперсией σ². Рассмотрим величину X=X1+…+Xn, при n->∞ функция распределения случайной величины

имеет нормальное распределение N(0,1) и равномерно по х сходится к функции распределения стандартного нормального закона Φ(х), где

Формулировка  Ляпунова Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием m и дисперсией σ².

<