Статистические показатели

    Важнейшее свойство средней величины заключается  в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицы совокупности она характеризует всю совокупность в целом [ 3, C.77].

    Средние величины связаны с законом больших чисел. Суть этой связи заключается в том, что при осреднении случайные отклонения индивидуальных величин в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная  тенденция развития, необходимость, закономерность, однако, для этого среднюю необходимо вычислять на основе обобщения массы фактов.

    Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям  с различной численностью единиц. Важнейшим условием научного использования  средних величин в статистическом анализе общественных явлений является однородность совокупности, для которой исчисляется средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления  средняя в одних условиях  (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности. 

    Средние, полученные для неоднородных совокупностей, будут искажать характер изучаемого общественного явления, фальсифицировать его, или будут бессмысленными. Так, если рассчитать средний уровень  доходов служащих какого-либо района, то получится фиктивный средний показатель, поскольку для его исчисления использована неоднородная совокупность, включающая в себя служащих предприятий различных типов (государственных, совместных, арендных, акционерных), а также органов государственного управления, сферы науки, культуры, образования и т.п. В таких случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок, позволяющим выделить однородные группы, по которым и исчисляются типические групповые средние. Средине величины очень тесно связаны с методом группировок, т.к. для характеристики явлений необходимо исчислять не только общие (для всего явления) средние, но и групповые (для типических групп этого явления по изучаемому признаку).

    Средняя величина может принимать такие значения, которые не присущи непосредственно ни одному из элементов изучаемой совокупности, кроме того, на практике часто средняя величина для дискретного признака выражается как для непрерывного. Например, среднее число родившихся на каждую тысячу населения в регионе: в регионе имеются несколько населенных пунктов, в каждом из которых складывается собственный уровень рождаемости. Чтобы рассчитать среднюю рождаемость по региону необходимо численность всех родившихся младенцев соотнести с численностью населения и умножить на 1000.

     Результат расчета средней величины по данному  показателю может выражаться в дробных  числах, несмотря на то, что показатель «число родившихся» является целым  числом.

     Средняя величина являются равнодействующей всех факторов, оказывающих влияние на изучаемое явление. То есть, при расчете средних величин взаимопогашаются влияние случайных  факторов и, таким образом, возможно определение закономерности, присущей исследуемому явлению. Адольф Кетле подчеркивал, что значение метода средних величин состоит в возможности перехода от единичного к общему, от случайного к закономерному, и существование средних величин является категорией объективной действительности. «Понятие о средней величине существует вне науки, которая только придает ему определенность и точность» [ 5, C.87].

     Математические  приемы, используемые в различных  разделах статистики, непосредственно  связаны с вычислением средних  величин.

     Средние в общественных явлениях обладают относительным  постоянством, т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные явления характеризуются примерно одинаковыми средними.

     Если  исследуемое явление не является однородным, то его разбивают на группы, содержащие только однородные элементы. Для такого явления рассчитываются сначала средние по группам, которые называются групповые средние, – они будут выражать наиболее типичную величину явления в каждой группе. Затем рассчитывается для всех элементов общая средняя величина, характеризующая явление в целом, – она рассчитывается как средняя из групповых средних, взвешенных по числу элементов совокупности, включенных в каждую группу. На практике, однако, безусловное выполнение данного условия повлекло бы за собой ограничение возможностей статистического анализа общественных процессов. Поэтому, часто средние величины рассчитываются по неоднородным явлениям. Например, при расчете величины средней заработной платы по Тюменской области, когда совместно анализируется заработная плата труда в автономных округах и в южных районах Тюменской области, а затем полученный средний уровень заработной платы труда сопоставляется с соседними сибирскими регионами [ 3, C.91].

     Еще одним важным условием применения средних  величин в анализе является достаточное количество единиц в совокупности, по которой рассчитывается среднее значение признака. Достаточность анализируемых единиц обеспечивается корректным определением границ исследуемой совокупности, т.е. закладывается еще на начальном этапе статистического исследования. Данное условие становится решающим при применении выборочного наблюдения, когда необходимо обеспечить репрезентативность выборки.

     Определение максимального и минимального значения признака в изучаемой совокупности также является условием применения средней величины в анализе. В случае больших отклонений между крайними значениями и средней, необходимо проверить принадлежность экстремумов к исследуемой совокупности. Если сильная изменчивость признака вызвана случайными, кратковременными факторами, то, возможно, крайние значения не характерны для совокупности. Следовательно, их следует исключить из анализа, т.к. они оказывают влияние на размер средней величины.

2.2 Виды средних величин и методы из расчета

 

     В статистике выделяют несколько видов средних величин [ 4, C.93]:

     1. По наличию признака-веса:

     а) невзвешенная средняя величина;

     б) взвешенная средняя величина.

     2. По форме расчета:

     а) средняя арифметическая величина;

     б) средняя гармоническая величина;

     в) средняя геометрическая величина;

     г) средняя квадратическая, кубическая и т.д. величины.

     3. По охвату совокупности:

     а) групповая средняя величина;

     б) общая средняя величина.

     Средние величины различаются в зависимости  от учета признаков, влияющих на осредняемую величину:

     Если  средняя величина рассчитывается для  признака, без учета влияния на него каких-либо других признаков, то такая  средняя величина называется средней  невзвешенной или простой средней.

     Если  имеются сведения о влиянии на осредняемый признак некоторого признака или нескольких признаков, которые необходимо учесть при расчете для корректного расчета средней величины, то рассчитывается средняя взвешенная.

     По  форме расчета выделяют несколько  видов средних величин, которые  образованы из единой степенной средней величины. Степенная средняя величина имеет форму:

      ,      (4)

     где - среднее значение исследуемого явления;

     k – показатель степени средней;

     x – текущее значение (вариант) осредняемого признака;

     i –i-тый элемент совокупности;

     n – число наблюдений (число единиц  совокупности).

     При разных показателях степени k получаем, соответственно, различные по форме средние величины (табл. 2):

Таблица 2

Формы средних  величин

Степень средней величины (k)	Название средней
-1	гармоническая
0	геометрическая
1	арифметическая
2	квадратическая
3	кубическая

 

     Выбор формы средней обусловлен исходным соотношением. Существует порядок расчета средней величины:

     1. Определение исходного соотношения  для исследуемого показателя.

     2. Определение недостающих данных  для расчета исходного соотношения.

     3. Расчет средней величины.

     Рассмотрим  некоторые виды средних, которые  наиболее часто используются в статистике.

     Признак, по которому находится средняя, называемый осредняемым признаком,  обозначают буквой "х"

     Значения  признака, которые встречаются у  группы единиц или отдельных единиц совокупности (не повторяясь) называются вариантами признака  и обозначаются через x₁, x₂, x₃ и т.д. Средняя величина этих значений обозначается через " " .

   Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, деленной на число этих значений.

   Отдельные значения признака называют вариантами и обозначают  через х ( ); число единиц совокупности обозначают через n, среднее значение признака - через . Следовательно, средняя арифметическая простая равна:

          (5)

     Например, имеются следующие данные о производстве рабочими продукции  А  за смену:

     Таблица 3

     Данные  о выпуске изделий рабочими за смену

№ рабочего	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Выпущено  изделий за смену	16	17	18	17	16	17	18	20	21	18

 

   В данном примере варьирующий признак - выпуск продукции за смену.

   Численные значения признака (16,  17 и т. д.) называют вариантами. Определим среднюю выработку продукции рабочими данной группы по формуле (5):

   

   Простая средняя арифметическая применяется  в случаях,  когда имеются отдельные  значения признака,  т.е. данные не сгруппированы. Если данные представлены  в  виде  рядов распределения или группировок,  то средняя исчисляется иначе.

     Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле

      ,       (6)

     где f_i - частота повторения i-ых вариантов признака, называемая весом. Таким образом, средняя арифметическая взвешенная равна сумме взвешенных вариантов признака, деленная на сумму весов. Она применяется в тех случаях, когда каждая варианта признака встречается несколько (неравное) число раз.

   Статистический материал в результате обработки может быть  представлен не  только  в виде дискретных рядов распределения,  но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми или открытыми интервалами. В таких рядах условно величина интервала первой группы принимается равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы - величине интервала предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен изложенному выше.

   При расчете средней по интервальному  вариационному ряду необходимо сначала найти середину интервалов. Это и будут значения x_i, а количество единиц совокупности в каждой группе f_i (таблица 4).