Статистические показатели

Таблица 4

Распределение рабочих цеха по возрасту

Возраст рабочего, лет	Число рабочих, чел (fi)	Середина возрастного  интервала, лет (xi)
20-30 30-40 40-50 50-60 60 и более	7 13 48 32 6	25 35 45 55 65
Итого	106

 

     Средний возраст рабочих цеха будет равен по формуле (3):

     

лет.

     В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю  по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х_i) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.

     Средняя арифметическая обладает рядом свойств [ 7, C.86]:

     1. От уменьшения или увеличения  частот каждого значения  признака  х в п раз величина средней  арифметической не изменится. 

     2. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число,  то величина  средней не изменится.

     3. Общий множитель индивидуальных значений  признака  может быть вынесен за знак средней:

     

     4. Средняя суммы (разности)  двух  или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

   

   5. Если х = с, где с - постоянная величина, то .

   6. Сумма отклонений значений признака Х от средней арифметической х равна нулю:

   

   Наряду  со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней  арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (f_i) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.

   Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле:

     ,       (7)

   Например, бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течение 8-часового рабочего дня. Первый токарь затратил на одну деталь 12 мин, второй - 15 мин.,  третий - 11, четвертый - 16 и пятый - 14 мин. Определим среднее время, необходимое на изготовление одной детали.

   На  первый  взгляд  кажется,  что  задача легко решается по формуле  средней арифметической простой:

   

   Полученная  средняя была бы правильной,  если  бы  каждый  рабочий сделал только  по  одной детали.  Но в течение  дня отдельными рабочими было изготовлено  различное число деталей.  Для  определения числа деталей, изготовленных  каждым рабочим, воспользуемся следующим соотношением:

               

                                                              все затраченное время 

   Среднее время, затраченное    =     --------------------------------------

             на одну деталь                              число деталей 

   Число деталей, изготовленных каждым рабочим, определяется отношением всего времени  работы к среднему времени, затраченному на одну деталь. Тогда среднее время,  необходимое для изготовления одной  детали, по формуле (7) равно:

   Это же решение можно представить  иначе:

   

   Таким образом,  формула для расчета  средней гармонической простой  будет иметь вид:

        (7^’ )

   Средняя гармоническая взвешенная:

    ,       (8)

     где M_i=x_i f_i (по содержанию).

     Например, необходимо определить среднюю урожайность  всех технических культур на основании  следующих данных (таблица 5):

Таблица 5

Валовой сбор и урожайность технических  культур по одному из районов во всех категориях хозяйств

Культуры	Валовой сбор, ц (Mi)	Урожайность, ц/га (xi)
Хлопчатник Сахарная  свекла Подсолнечник Льноволокно	97,2 601,2 46,3 2,6	30,4 467,0 11,0 2,9
Итого	743,3	Х

 

     Здесь в исходной информации веса (площадь  под культурами) не заданы, но входят сомножителем в валовой сбор, равный урожайности, умноженной на площадь M_i=x_i*f_i ,  поэтому , а средняя урожайность будет равна по формуле (8):

     

.

    Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

    Средняя геометрическая исчисляется извлечением корня степени и из произведений отдельных значений — вариантов признака х:

          (9)

где n — число вариантов; П — знак произведения.

     Наиболее  широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

    В ряде случаев в экономической  практике возникает потребность  расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или  кубических единицах измерения. Тогда  применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

    Средняя квадратическая простая является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

     ,      (10)

    где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

    Средняя квадратическая взвешенная:

     ,      (11)

    где f-веса.

    Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы  кубов отдельных значений признака на их число:

     ,      (12)

    где x₁,x₂,…x_n- значения признака, n- их число.

    Средняя кубическая взвешенная:

     ,           (13)

    где f-веса.

    Средние квадратическая и кубическая имеют  ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих  вариантов x, и из их отклонений от средней (х — ) при расчете показателей вариации.

     Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто используются в статистической практике мода и медиана [ 7, C.93].

     Мода – значение случайной величины встречающейся с наибольшей вероятностью. В дискретном вариационном ряду это вариант имеющий наибольшую частоту.

     В дискретных вариационных рядах мода определяется по наибольшей частоте. Предположим  товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях:

44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43;

     Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной.

     В интервальных вариационных рядах моду определяют приближенно по формуле

,    (14)

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

      - величина модального интервала;

      - частота модального интервала;

      - частота интервала, предшествующего  модальному;

      - частота интервала, следующего  за модальным.

     Место нахождения модального интервала определяют по наибольшей частоте.

     Пусть распределение предприятий  по  численности персонала характеризуется следующими данными (таблица 6):

Таблица 6

Распределение предприятий по  численности персонала

Группы  предприятий по числу работающих, чел	Число предприятий
100 — 200	1
200 — 300	3
300 — 400	7
400 — 500	30
500 — 600	19
600 — 700	15
700 — 800	5
ИТОГО	80

     В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

     Введем  следующие обозначения:

=400, =100,  =30, =7, =19

     Подставим эти значения в формулу моды и  произведем вычисления по формуле (14):

     Мода  применяется для решения некоторых  практических задач. Так, например, при  изучении товарооборота рынка берется  модальная цена, для изучения спроса на обувь, одежду используют модальные размеры обуви и одежды и др.

     Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части [ 9, C.87].

     В дискретных вариационных рядах с  нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го,  если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

     В интервальных вариационных рядах медиана  определяется по формуле:

,     (15)

где: x₀ - нижняя граниwа медианного интервала;

     i_Me - величина медианного интервала;

     S_me-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

     f_Me - частота медианного интервала.

     Распределение предприятий  по  численности  персонала характеризуется данными, представленными в таблице 7.

Таблица 7

Распределение предприятий по  численности персонала

Группы  предприятий по числу рабочих, чел.	Число предприятий	Сумма накопленных частот
100 — 200	1	1
200 — 300	3	4   (1+3)
300 — 400	7	11  (4+7)
400 — 500	30	41  (11+30)
500 — 600	19	60
600 — 700	15	75
700 — 800	5	80
ИТОГО	80