Статистический анализ уровня демографической нагрузки Приволжского, Уральского, Сибирского и Дальневосточного федеральных округов Росс

 

Метод плавного уровня

Существует  два метода плавного уровня :

• По среднему коэффициенту роста;
• По среднему абсолютному приросту.

 

1.  Выравнивание по среднему коэффициенту роста:

где :   - выравненное значение урожайности зерновых культур;

                   - начальный уровень ряда динамики;

                    - средний коэффициент роста;

t– порядковый номер.

 

2. Выравнивание по среднему абсолютному приросту

           где :   - средний абсолютный прирост

                   

Таблица 3.3 Выравнивание демографической нагрузки методом  

лавного уровня

Годы	Урожайность зерновых культур, ц с  1 га	Порядковый  номер  года,t	Выровненное значение
			По сред. коэф. роста	По сред. абсол. прироста
2000	13	1	37,5	14,68
2001	19,2	2	108,5	16,36
2002	24,3	3	313,7	18,04
2003	27,6	4	906,8	19,72
2004	23,3	5	2620,7	21,4
2005	19	6	7574,0	23,08
2006	24,2	7	21889,1	24,76
2007	24,8	8	63259,5	26,44
2008	26,4	9	182820,0	28,12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.1 График фактических и выровненных значений урожайности

зерновых  культур по среднему коэффициенту роста  и по среднему абсолютному приросту

Аналитическое выравнивание

 

       Аналитическое выравнивание – это выравнивание с применением кривой (функций), проводимой между конкретными  уровнями таким образов чтобы она отображала тенденцию присущему ряду и одновременно освобождала его от не нужных колебаний, при этом главное правильно выбрать уравнение (уравнение прямой, парабола, гипербола, степенная, логарифмическая, экспоненсальная).

       Этот метод основан на том, что уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени. Выравнивание проводится способом наименьших квадратов. Данный способ состоит в отыскании уравнения кривой, которая наиболее точно отражала бы основную тенденцию в изменении уровней ряда в зависимости от времени t. Параметры уравнения при этом находят исходя из требований, чтобы рассчитанные значения были максимально приближены к эмпирическим данным, а сумма квадратов отклонений фактических уровней от их значений, исчисленных по найденному математическому уравнению, была минимальной, то есть , где - фактические уровни динамического ряда;

-уровни, вычисляемые по уравнению. (табл.3.4)

 

 

 

 

Таблица 3.4 Аналитическое выравнивание демографической нагрузки методом наименьших квадратов

 

Годы	Демограф-я нагрузка, тыс/чел (У)	Отклонение от года (t)		У*t	Выравнивание  уровня (ỹ)	Отклонение от тренда
						(У - )	(У - )*2
2000	13	-4	16	-65,2	16,1	0,2	0,04
2001	19,2	-3	9	-57,3	16,7	2,4	5,76
2002	24,3	-2	4	-34	17,3	-0,3	0,09
2003	27,6	-1	1	-16	17,9	-1,9	3,61
2004	23,3	0	0	0	18,5	-2	4
2005	19	1	1	18,8	19,1	-0,3	0,09
2006	24,2	2	4	41	19,7	0,8	0,64
2007	24,8	3	9	60,9	20,3	0	0
2008	26,4	4	16	88	20,9	1,1	1,21
Итого	183,8	0	60	36,2	166,5	х	15,44

 

      Метод аналитического выравнивания основан на том ,что уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени. Выравнивание производится  способом наименьшего квадрата. Для выявления тенденции динамики используем уравнение прямой:

Ŷ_t=a+bt.

                 где:  t- показатель времени или значение дат;

                   a и b- неизвестные параметры.

Для определения параметров a и b в  соответствии с требованиями метод  наименьших квадратов составим систему и решим следующую систему уравнений:

               где: Ŷ- выравненное значение показателей;

     n- число членов ряда;

                   t- показатель времени или значение дат;

              a и b- неизвестные параметры.

         Для упрощения расчетов воспользуемся способом отчета значение дат, в отклонении от даты занимающие центральное положение в динамическом ряду. Система упрощается, так как  

 

  =>         

 

            а= =18,5

 b= =0,60

                         Ỹt= 12,1+1,8t- уравнение тренда.

       Выравненные (сглаженные) уровни получаем, подставляя в уравнение номера лет t. Для 2000г. при t=-4 выравненный уровень составит =18,5+0,60*(-4)=16,1, для 2001г. при t=-3 выравненный уровень составит =18,5+0,60*(-3)= 16,7 и т.д.

       Параметр a в линейной трендовой модели обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда.

Параметр b в трендовом уравнении называется коэффициентом регрессии. Он определяет направление развития явления: при b >0 – уровни ряда динамики равномерно возрастают, при b <0 – равномерно снижаются.

Коэффициент регрессии показывает, насколько в среднем изменится уровень ряда при изменении времени на единицу. Это означает, что параметр b можно рассматривать как средний абсолютный прирост с учетом тенденции к равномерному росту (росту в арифметической прогрессии).

Учитывая возросший спрос населения на зерновые культуры как один из дешевых и доступных продуктов, можно предположить наличие положительной тенденции к увеличению его урожайности. Это подтверждается также анализом графика динамики (рис. 3.2.)

 

 
Рисунок 3.2 График фактических и выровненных значений демографической нагрузки методом аналитического выравнивания.

 

       Для выявления тенденции демографической нагрузки на трудоспособное население в рядах динамики выполним аналитическое выравнивание в Excel по пяти функциям: линейной, логарифмической, полиномиальной 2 степени, степенной  и экспоненциальной.

 

Рисунок 3.3 График фактических и выровненных значений урожайности зерновых культур по линейной функции

 

Рисунок 3.4 График фактических и выровненных значений демографической нагрузки по логарифмической функции

 

 

Рисунок 3.5 График фактических и выровненных значений демографической нагрузки по полиномиальной функции 2 степени

 

 

Рисунок 3.6 График фактических и выровненных значений демографической нагрузки по степенной функции

 

Рисунок 3.7 График фактических и выровненных значений демографической нагрузки по экспоненциальной функции

 

        Получили пять графиков выравнивания с помощью различных математических функций - линейной, логарифмической, полиномиальной 2 степени, степенной, экспоненциальной.

Отберем по максимальному значению (коэффициента детерминации) функцию в качестве тренда, для этого поступим так. На построенных графиках, воспользуемся пунктом Меню=>Диаграмма=>Добавить линию тренда. Выберем тип тренда. Excel построит на диаграмме еще один график, показывающий, к какой зависимости ближе всего исследуемые данные.

Отберем по максимальному  значению (коэффициента детерминации) функцию в качестве тренда, для этого на той же вкладке “параметры” окна “формат линии тренда” включаем галку “поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)”. После этого в подписи к тренду появится эта самая величина достоверности. Чем она больше, тем лучше построенный тренд.  Выпишем для каждой функции:

-линейная =0,5059

-логарифмическая  =0,4092

-полиномиальная 2 степени  =0,7409

-степенная  =0,4022

-экспоненциальная  =0,5704

Наиболее адекватно отражающая тенденцию развития по наибольшему  значению величины достоверности аппроксимации, является у полиномиальной функции 2 степени  R² = 0,7409.

y=

y= 17,365

y= 17,009

y= 16,927

y= 17,119

y= 17,586

y= 18,326

y= 19,340

y= 20,628

y= 22,190

В полиномиальном тренде по сравнению с другими самое большое значение аппроксимации (R²)  равное 0,7409.

 

 

3.3 Показатели колеблемости и точечный прогноз.

 

Рассчитаем показатели колеблемости:

        1. Размах колеблемости:

R= (У- - (У- = 2,4- (-1,9)=4,3

        2.Среднее квадратическое  отклонение:

= =2,2

        3.Коэффициент  колеблемости:

= %

       4.Коэффициент  устойчивости:

100%-11,8%=88,2 %

Так как  не превышает 50%, то данный ряд динамики является устойчивым и подлежит прогнозированию.

3.4 Прогнозирование на будущее.

 

        На данном этапе необходимо  произвести прогнозирование на основе анализа временных рядов.

Методика выполнений  прогноза:

1) вычислим точечный прогноз – значения уравнения тренда, полученного при подстановке номера прогнозируемого года.

2012 t=10

2013  t=11

2014  t=12

           Y_k=Ŷ₂₀₀₁₂=18,5+0,60*10=24,5.

           Ŷ₂₀₁₃=18,5+0,60*11=25,1.

            Ŷ₂₀₁₄18,5+0,60*12=25,7.

2) рассчитаем интервалы прогнозирования:

-точечный прогноз;

- доверительные интервалы прогнозирования

 

Доверительные интервалы прогнозирования  рассчитываются по формуле:

Δ = t_ст *m_Yk;

где: t_ст – критерий Стьюдента, табличное значение которого зависит от уровня значимости t_ст=2,36;

       m_Yk – ошибка прогноза.

3) рассчитаем ошибку прогноза:

m_Yk=ס_Yt* ;

где: ס_Yt – среднее квадратическое отклонение от тренда,

       n – число уровня ряда динамики,

        t_k – номер прогноза года.

ס_Yt= ;

где: n – число уровней ряда динамики,

       p – число параметров уравнения.

        2012 год:

 

           = =2,2

 

                    m_Yk=2,2* 2,86

                       Δ=2,36*2,86=6,74

            2013 год:

                       m_Yk=2,2* 3,19

                        Δ=2,36*3,19=7,52

            2014 год:

                       m_Yk=2,2* 3,47

                        Δ=2,36*3,47=8,18

Интервалы  прогнозирования:

               На 2012 год:    24,5 ± 6,74

                                   17,76 = Y₂₀₀₉ =31,24