Статистическое наблюдение и формы его организации. Программа статистического наблюдения

 

Величину  σ_y/x еще называют остаточным средним квадратическим отклонением, оно характеризует уход величины Y от линии регрессии, описываемой уравнением ( 5.69 ), при фиксированном (заданном) значении X.

S_y² / S_x²  =75,21/74,25=1,01293

Извлечем квадратный корень - получим: 
S_y / S_x  =  1,00644

Вычислим коэффициент b по формуле ( 5.70 ) 
 
b =  0,9976• 1,00644=1,004 
 
Вычислим коэффициент a по формуле ( 5.71 ) 
 
a =  26,7 – (1,004•22)=26,7 – 22,088=4,612 
 
Оценим погрешности уравнения регрессии. 
 
Извлечем из S_y² квадратный корень получим  8,6724

 
Возведем в квадрат R_x,y получим    R²_xy = 0,9976²=0,9952 
Вычислим абсолютную погрешность (остаточное среднее квадратическое отклонение) по формуле ( 5.72 )

σ_y/x = 8,6724•√1-0,9952=8,6724•√0,0048=0,0693

 
Вычислим относительную погрешность  по формуле ( 5.73 ) 
 
δ_y/x = (0,0693/26,7) •100%=0,2596 %

Уравнение линейной регрессии имеет вид:     Y = 4,612 + 1,004X   

Погрешности уравнения: σ_y/x =  0,0693;     δ_y/x =  0,2596 % 
 
            Диаграмма рассеяния — это графическое изображение соответствующих пар (x_k , y_k ) в виде точек плоскости, в прямоугольных координатах с осями X и Y. Корреляционное поле является одним из графических представлений связанной (парной) выборки. В той же системе координат строится и график линии регрессии. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы диаграмма была максимально наглядной. 
Находим минимальный и максимальный элемент выборки X это

x_min =  8,5 и x_max =  35,5 
Находим минимальный и максимальный элемент выборки Y это элементы y_min =  14 и y_max =  40. 
         На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x_min  =  8,5, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка x_max =  35,5 и отчетливо различались остальные точки. 
        На оси ординат выбираем начальную точку чуть левее точки y_min =  14 , и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка y_max =  40 и отчетливо различались остальные точки. 
 
На оси абсцисс размещаем значения x_k, а на оси ординат значения y_k. 
Наносим точки (x₁, y₁ ), (x₂, y₂ ),…,(x₂₆, y₂₆ ) на координатную плоскость. Получаем диаграмму рассеяния (корреляционное поле). 
             Начертим линию регрессии, для этого найдем две различные точки с координатами (x_r1 , y_r1) и (x_r2 , y_r2) удовлетворяющие уравнению , нанесем их на координатную плоскость и проведем через них прямую. В качестве абсциссы первой точки возьмем значение x_min =  8,5. Подставим значение x_min в уравнение, получим ординату первой точки. Таким образом имеем точку с координатами (8,5 ; 13,146 ). Аналогичным образом получим координаты второй точки, положив в качестве абсциссы значение x_max =  35,5. Вторая точка будет: (  35,5 ; 40,254 ). 
Y 

                                                                                                         X 
 

8.1. Выборочное наблюдение.

          Произведено выборочное  наблюдение для  установления процента  изделий высшего  сорта в партии  однородной продукции.  При механическом отборе из партии в 10 000 единиц готовых изделий было обследовано 400 единиц, из которых 320 изделий отнесено к высшему сорту.

         Определить с вероятностью 0,997 возможный процент  изделий высшего  сорта во всей  партии.

РЕШЕНИЕ:

            Выборочное наблюдение относится к разновидности несплошного наблюдения. Оно охватывает отобранную часть единиц генеральной совокупности. Цель выборочного наблюдения - по отобранной части единиц дать характеристику всей совокупности единиц. Чтобы отобранная часть была репрезентативна (т.е. представляла всю совокупность единиц), выборочное наблюдение должно быть специально организовано. Гарантия репрезентативности обеспечивается применением научно обоснованных способов отбора единиц, которые подлежат обследованию.

Следует сразу же иметь в виду, что при  сопоставлении показателей по результатам  выборочного исследования с характеристиками для всей генеральной совокупности могут иметь место отклонения. Величина этих отклонений называется ошибкой наблюдения, которая может быть или ошибкой регистрации (несовершенство технических условий), или ошибкой репрезентативности (случайное или систематическое нарушение правил при отборе единиц).

           В статистике приняты следующие условные обозначения: N - объем генеральной совокупности; п - объем выборочной совокупности; - средняя в генеральной совокупности; - средняя в выборочной совокупности;  р - доля единиц в генеральной совокупности; w - доля единиц в выборочной совокупности; - генеральная дисперсия; S² - выборочная дисперсия;                - среднее квадратическое отклонение признака в генеральной совокупности; S - среднее квадратическое отклонение признака в выборочной совокупности.

По  способу отбора (способу формирования) выборки единиц из генеральной совокупности распространены следующие виды выборочного наблюдения:

• простая случайная выборка (собственно-случайная);
• типическая (стратифицированная);
• серийная (гнездовая);
• механическая;
• комбинированная;
• ступенчатая.

Простая случайная выборка (собственно-случайная) есть отбор единиц из генеральной совокупности путем случайного отбора, но при условии вероятности выбора любой единицы из генеральной совокупности. Отбор проводится методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.

Типическая (стратифицированная) выборка предполагает разделение неоднородной генеральной совокупности на типологические или районированные группы по какому-либо существенному признаку, после чего из каждой группы производится случайный отбор единиц.

Для серийной (гнездовой) выборки характерно то, что генеральная совокупность первоначально разбивается на определенные равновеликие или неравновеликие серии (единицы внутри серий связаны по определенному признаку), из которых путем случайного отбора отбираются серии и затем внутри отобранных серий проводится сплошное наблюдение.

Механическая выборка представляет собой отбор единиц через равные промежутки (по алфавиту, через временные промежутки, по пространственному способу и т.д.). При проведении механического отбора генеральная совокупность разбивается на равные по численности группы, из которых затем отбирается по одной единице.

Комбинированная выборка основана на сочетании нескольких способов выборки.

Многоступенчатая выборка есть образование внутри генеральной совокупности вначале крупных групп единиц, из которых образуются группы, меньшие по объему, и так до тех пор, пока не будут отобраны те группы или отдельные единицы, которые необходимо исследовать.

Выборочный  отбор может быть повторным и  бесповторным. При повторном отборе вероятность выбора любой единицы не ограничена. При бесповторном отборе выбранная единица в исходную совокупность не возвращается.

         Для отобранных единиц рассчитываются обобщенные показатели (средние или относительные) и в дальнейшем результаты выборочного исследования распространяются на всю генеральную совокупность.

      Основной задачей при выборочном исследовании является определение ошибок выборки. Принято различать среднюю и предельную ошибки выборки. Для иллюстрации можно предложить расчет ошибки выборки на примере простого случайного отбора.

Расчет  средней ошибки повторной простой случайной выборки производится следующим образом:

cредняя  ошибка для средней          (6.74)

cредняя  ошибка для доли             (6.75)

Расчет  средней ошибки бесповторной случайной выборки:

средняя ошибка для средней        (6.76)

средняя ошибка для доли        (6.77)

Расчет  предельной ошибки   повторной случайной выборки:

предельная  ошибка для средней                       (6.78) 

предельная  ошибка для доли                   (6.79)

где t - коэффициент кратности; 

Расчет  предельной ошибки бесповторной случайной выборки:

предельная  ошибка для средней    (6.80)

предельная  ошибка для доли         (6.81)

           Следует обратить внимание на то, что под знаком радикала в формулах при бесповторном отборе появляется множитель, где N - численность генеральной совокупности.

Что касается расчета ошибки выборки в других видах выборочного отбора (например, типической и серийной), то необходимо отметить следующее.

Для типической выборки величина стандартной ошибки зависит от точности определения групповых средних. Так, в формуле предельной ошибки типической выборки учитывается средняя из групповых дисперсий, т.е.

(6.82)

При серийной выборке величина ошибки выборки зависит не от числа исследуемых единиц, а от числа обследованных серий (s) и от величины межгрупповой дисперсии:      (6.83)

Серийная  выборка, как правило, проводится как  бесповторная, и формула ошибки выборки  в этом случае имеет вид  (6.84)

где - межсерийная дисперсия; s - число отобранных серий; S - число серий в генеральной совокупности.

Все вышеприведенные  формулы применимы для большой выборки. Кроме большой выборки используются так называемые малые выборки (n < 30), которые могут иметь место в случаях нецелесообразности использования больших выборок.

При расчете  ошибок малой выборки необходимо учесть два момента:

1) формула средней ошибки имеет вид      (6.85)

2) при  определении доверительных интервалов  исследуемого показателя в генеральной  совокупности или при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки необходимо использовать таблицы вероятности Стьюдента, где Р = S (t, n), при этом Р определяется в зависимости от объема выборки и t.

В статистических исследованиях с помощью формулы  предельной ошибки можно решать ряд  задач.

1. Определять  возможные пределы нахождения  характеристики генеральной совокупности на основе данных выборки.

Доверительные интервалы для генеральной средней можно установить на основе соотношений      

  (6.86)

где - генеральная и выборочная средние соответственно; - предельная ошибка выборочной средней.

Доверительные интервалы для генеральной доли устанавливаются на основе соотношений

  (6.87)

2. Определять  доверительную вероятность, которая  означает, что характеристика генеральной  совокупности отличается от выборочной  на заданную величину.

Доверительная вероятность является функцией от t, где        (6.88)