Устройство геодезических сетей при съемке больших территорий

ψ = arcsin 0,03950 =2 ^o15` 50``;

ψ'= arcsin 0,03292=1 ^o53` 13``;

φ = 180 ^o – (б+ ψ) = 180 ^o – (138^o33` 49``+2 <sup>o</sup>15` 50``) = 39<sup>o</sup>10` 41``

φ`= 180 <sup>o</sup> – (б`+ ψ` ) = 180 <sup>o</sup> – (71<sup>o</sup>55` 02``+1 <sup>o</sup>53` 13``) = 106 ^o11` 46``

α_D = α_AB ± φ =329^o07` 55``+ 39<sup>o</sup>10` 41``= 8<sup>o</sup>18` 36``

α_D`= α<sub>AC</sub> ± φ`=262^o07` 51``+ 106 <sup>o</sup>11` 46``= 8<sup>o</sup>18` 37``

Контроль:

(α_D – α'_D) õm_β;

где m_β –СКП измерения горизонтальных углов.

Знак «+» или «-» в  формулах вычисления дирекционного  угла берется в зависимости от взаимного расположения пунктов  А, Р, В и С.

(8^o18` 36``-8<sup>o</sup>18` 37``) ≤ 30``

0^o00` 01`` ≤ 30``

Решение прямых задач (вычисление координат т.Р)

Обозначения	αD αD'	sinαD sinαD'	cosαD cosαD'	DcosαD DcosαD'	DsinαD Dsinα'D	∆Х-∆Х' ∆Y-Y'	ХА YА	Хp = ХА+ ∆Х Х'p=ХА+∆Х' Yp=YА+∆Y Y'p=YА+∆Y'
Численные значения	8o18'36"	0,14453	0,98950	172,69	25,22	∆=00,00 ∆=00,00 ∆доп=25см	6327,46	6500,15
	8o18'37"	0,14454	0,98950	172,69	25,22		12351,48	12376,70

 

Х_p = Х_А+ ∆Х,Y_p = Y_А+ ∆Y,

Х'_p = Х_А+ ∆Х',Y'_p = Y_А+ ∆Y'.

∆Х= Dcosα_D,∆Y= Dsinα_D,

∆Х'= Dcosα'_D,∆Y'=Dsinα'_D.

Расхождение координат не должно превышать величины õm_ß×p, где p=206265", m_ß – средняя квадратическая погрешность измерения угла.

Оценка точности определения  положения пункта P.

Средняя квадратическая погрешность  определения отдельного пункта вычисляется  по формуле:

M²_p = m²_X +m²_Y,M²_p = m²_D +(D×m_α / P)²

где m_D- определяется точностью линейных измерений, а m _α – точностью угловых измерений.

Пример: m_D =2см, m_α= 5``, тогда

M_p =√ [(0,02) ²+(170×5/2×10⁵)²] ≈ 2×10^-2 = 0,02м.

 

4.3 Решение прямой и обратной  засечки (по варианту задания)

Определение координат пункта прямой засечкой по формулам Гаусса

Формулы Гаусса применяется  в том случае, когда между твердыми пунктами нет видимости.

Дано: исходные твердые пункты А(X_А, Y_А); В(X_B, Y_B); С(X_с, Y_с), дирекционные углы твердых линий. Полевые измерения: горизонтальные углы β₁, β₂, β₃.

Определяемый пункт Р.

Схема решения задачи

Значения координат исходных пунктов и дирекционных углов  берем из

методического указания.

В значениях координат  пункта β (х,у) доли метра заменяются двумя последними цифрами (номера зачетной книжки).

Так же заменяются значения секунд дирекционного угла а₂ на две последние цифры зачетной книжки студента. Таким образом:

Х_А= 1380,25 м   Х_B= 1630,06 м   Х_C= 3401,04 м

У_А = 1260,50м  У_B= 3230,06 м   У_C= 4133,41 м

α₁ = 30°29'24"   α₂=317°13'06"   α₃=254°17'48"

Формулы для решения задачи:

X_P-X_A=(X_A* tg α ₂-Y_A-X_B *tg α ₂+Y_B)/( tg α ₁* tg α ₂) =

=[(X_A-X_B)* tg α ₂-(Y_A-Y_B)]/ ( tg α ₁*tg α ₂)

X_P=X_A+ΔX_A      Y_P=(X_P-X_A)*tg α ₁ +Y_A; Y_P=(X_P-X_A)*tg α ₂ +Y_B

Контроль вычислений

tg α₁ - tg α ₂ = (tg α₁ * tg α ₂ + 1) * tg (α₁ - α ₂)

Если значение α₁, или α₂ близки к 90° или 270°, то за окончательное значение у_р берут то, которое по меньшему по абсолютной величине значение тангенса. Для контроля вычисляем значение координат пункта В.

Контроль определения  для выявления плановых ошибок полевых  измерений задачи решают дважды: от пункта АВ и второй раз от пункта ВС. Вычисления между координатами пункта Р из двух решений определяются формулой:

r = √(X_p – Xр^’)² + (Yр – Yр^’)² <ЗМr;

М₂ = √M₁² + М₂² ;

М₁ = (mβ√(S₁² + S₂²))/(ρ* sinυ₁);

М₂ = (mβ√(S₂² + S₃²))/( ρ *sin υ₂)

Определение координат пункта Р

α1     α2	XA XB	tgα1 tgα2 (XA-XB)*tg α2	YA  YB	Δ XA XP=XA+ΔXA	XP XA	tgα1 (XP-XA)* tg α1	YA  YP
	XA-XB	tgα1-tgα2	YA-YB		XP-XA
30˚29.4'	1380.25	0.58881	1260.50		2833.53
317˚13.06'	1630.06	-0.92547	3230.06		-1380.25
	-249.81	+231.15	-1969.56	1453.28	1453.28	+0.58881	1260.50
		1.51428		2833.53		-855.71	2116.21
α2     α3	XB  XC	tgα2 tgα3 (XB- XC)* tgα3	YB YC	Δ XB XP=XB+ΔXC	XP XB	tgα2 (XP-XB)* tg α2	YB  YP
	XB-XC	tgα2-tgα3	YB-YC		XP-XB
317˚13.06'	1630.06	-0.92547	3230.06		2833.83		3230.06
254˚17.8'	3401.04	3.55682	4133.41		1630.06	0.92547
	-1770.98	6299.20	-903.35	1203.77	1203.77	1114.06	2116.00
		-4.48229		2833.83
Среднее				2833.68 м			2116.10 м

Оценка точности определения  пункта Р

r = √(X_P1 – X_P2)² + (Yр₁ – Yр₂)²;

r=√(2834,05-2834,19)² + (2116,43+2116,44)²=√14²+ 1²=14cm

Длины линий S₁ S₂, S₃ - определяются из решения обратных

геодезических задач.

S_PA = √ (2833,83 - 1380,25)² + (2116,07 - 1260,50)² = 1687,01 м

S_PB = √ (2833,83 - 1630,06)² + (2116,07 - 3230,06)² = 1640,13 м

 S_PC = √ (2833,83 - 3401,04)² + (2116,07 – 4133,41)² = 2095,23 м

 

Определение координат пункта прямой засечкой (формулы  Юнга).

Для однократной засечки  необходимо иметь два твёрдых  пункта. Контроль определения осуществляется вторичной засечкой с третьего твёрдого пункта.

Исходные данные: твердые  пункты А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С).

Полевые измерения: горизонтальные углы β1, β ₂, β`<sub>1</sub>, β`_2.

Определяется пункт P.

Формулы для решения задачи:

Х_p -Х_А=((Х_B-Х_А) ctg β ₁+(Y_B-Y_А))/ (ctg β ₁+ ctg β ₂);

Х_p= Х_А+∆Х_А;

Y_p -Y_А=((Y_B-Y_А) ctg β ₁+(Х_B-Х_А))/ (ctg β ₁+ ctg β ₂); Y_p= Y_А+∆Y_А;

Оценка точности определения  пункта P.

Вычисление СКП из 1-го и 2-го определения:

M₁ =(m_β×√(S₁²+ S₂²))/p×sinγ₁;

M₂ =(m_β×√(S₁²+ S₂²))/p×sinγ₂;

Значения величин, входящих в приведённые формулы следующие:

m_β =5``, p=206265``; γ=73˚15,9`; γ=62˚55,7`; S₁=1686,77 м; S₂=1639,80 м; S₃=2096,62 м.

Стороны засечки найдены  из решения обратных задач.

M₁ = (5``×√2,86+2,69)/(2×10⁵×0,958)=0,06м.

M₂ = (5``×√2,69+4,41)/(2×10⁵×0,890)=0,07м.

M_r = √ (M₁² +M₂²); M_r =√ [(0,06) ²+(0,07) ²]=0,09м.

Расхождение между координатами из двух определений

r = √ [( Х_p- Х`<sub>p</sub>) <sup>2</sup>+( Y<sub>p</sub>- Y`_p) ²] не должно превышать величины 3 M_r;

r =√ [(2833,82-2833,82) ²+(2116,38-2116,32) ²]=√0,0036=0,06м.

На основании неравенства  r =0,06м 3×0,09м логично сделать вывод о качественном определении пункта P.

За окончательные значения координат принимают среднее  из двух определений.

Решение числового примера

β1     β2	XB XA	ctg β1 ctg β2 (XB- XA)ctg β1	YB YA	∆ XA XP=XA+∆XA	(YB-YA)ctgβ1	∆ YA YP=YA+∆YA
	XB- XA		YB-YA
		ctg β1 + ctg β2
52˚16.7'   52˚27.4'	1630.06 1380.25	0.77349 0.71443 193.30 1.48792	3230.06 1260.50	1453.57 2833.82	1523.39	855.88 2116.38
	+249.81		+1969.50
β'1     β'2	XC XB	ctg β'1 ctg β'2 (XC- XB)ctg β'1	YC YB	∆ XB XP=XA+∆XA	(YC-YB)ctgβ'1	∆ YB YP=YA+∆YA
	XC- XB		YC-YB
		ctg β'1 + ctg β'2
69˚48.5'   52˚27.4'	3401.04 1630.06	0.36777 0.92402 651.28 1.29175	4133.41 3230.06	1203.56 2833.82	332.24	-1113.68 2116.32
	+1770.78		+903.41

 

                                                                                2833.82                                             2116.35

 

Определение координат пункта методом обратной засечки (аналитическое решение  задачи Потенота).

Необходимо иметь три  твёрдых пункта, для решения задачи с контролем используют четвёртый  твердый пункт.

Исходные данные: А(Х_АY_А); B(Х_BY_B); С(Х_СY_С), D(X_DY_D).

Полевые измерения: горизонтальные углы γ₁, γ₂, γ₃.

Определяемый пункт P.

Формулы для вычисления:

1.ctgγ₁=а; ctgγ₂=b

2.k₁ =a(Y_B- Y_A)-( Х_B- Х_A);

3.k₂ =a( Х_B- Х_A)+(Y_B- Y_A);

4.k₃ =b(Y_С- Y_A)-( Х_C- Х_A);

5.k₄ =b( Х_C- Х_A)-(Y_C- Y_A);

6.c=( k₂ - k₄)/( k₁ - k₃)=ctga_AP;

7.контроль: k₂ - с k₁= k₁- с k₃;

8.∆Y=( k₂ - с k₁)/( 1 - с²);

9.∆Х= с _AY;

10.Х_p = Х_А+ ∆Х, Y_p = Y_А+∆Y.

Решение численного примера

1	γ1	109˚48'42"
	γ2	224˚15'21"
	a=ctg γ1	-0.360252
	b=ctg γ2	+1.026320
2	XB	5653.41
	XC	8143.61
	XA	6393.06
	X'B = XB- XA	-739.65
	X'C = XC- XA	1750.55
	X'C- X'B = XC- XB	2490.20
	YB	1264.09
	YC	1277.59
	YA	3624.06
	Y'B = YB- YA	-2359.97
	Y'C = YC- YA	-2346.47
	Y'C- Y'B = YC- YB	13.5
3	k1	+1590.71
	k3	-4158.78
	k1- k3	+5749.49
	k2	-2093.91
	k4 k2- k4	-551.14 -1542.77
	c = ctg α	-0.268332
	c2 + 1	1.072002
	k2-ck1	-1667.07
	k4-ck3	-1667.07
4	∆Y	-1555.0
	YA	3624.06
	YP	+2069.56
	∆X	+417.28
	XA	6393.06
	XP	+6810.99

 

Координаты из первого  определения получились Х_p=6810,99м, Y_p =2069,56 м.

Для контроля задача решается вторично с твердым пунктом D, т.е. пунктом А, B, C.

Исходными данными являются: γ₁=109^o48`42``; γ<sub>3</sub>=151<sup>o</sup>26`24``; Х_D=6524,81м, Y_D=893,64м.

Контроль осуществляется следующим образом: определить

ctgα_PD =( Х_D- Х_P)/( Y_D- Y_P), α_PD=256 ^o27`38``;

Из схемы первого решения  имеем: С=ctgα _PA=-0,26833;

α_PD=105^o01`13``.

Контроль определяется пунктом  P:

r=√ [( Х_P - Х`<sub>P</sub>) <sup>2</sup>+( Y<sub>P</sub> - Y`_P) ²] ≤ 3 M_r;

где r, как и в случае прямой засечки,

M_r=1/2×√ [M₁² +M₂²]

Решение численного примера

1	γ1	109˚48'42"
	γ2	151o26`24``
	a=ctg γ1	-0.360033
	b=ctg γ2	-1.837180
2	XB	5653.41
	XD	6527.81
	XA	6393.06
	X'B = XB- XA	-739.65
	X'D= XD- XA	+134.75
	X'D- X'B = XD- XB	874.40
	YB	1264.09
	YD	893.64
	YA	3624.06
	Y'B = YB- YA	-2359.97
	Y'D = YD- YA	-2730.42
	Y'D- Y'B = YD- YB	-370.45
3	k1	+1590.71
	k2	4881.41
	k1- k2	-3290.7
	k2	-2093.91
	k4	-551.14
	k2- k4	-1542.77
	c = ctg α	-0.268332
	c2 + 1	1.072002
	k2-ck1	-1667.07
	k4-ck3	-1667.07
	∆Y	-1555.0
4	YA	3624.06
	YP	+2069.56
	∆X	+417.28
	XA	6393.06
	XP	+6810.99