Управление денежными потоками

     n – число возможных исходов.

     Дискретное  распределение вероятностей может  быть получено в результате экспертной оценки.

     Дисперсией  называется мера разброса возможных  исходов относительно ожидаемого значения. Чем выше дисперсия, тем больше разброс.

     Дисперсия дискретного распределения рассчитывается таким образом:

     

     Другим  измерением разброса индивидуальных значений вокруг средних является среднее квадратическое/ стандартное отклонение:

       

Измеритель  риска – Йота-коэффициент

     В общем случае величина доходности и  её колеблемость могут быть различны. Для оценки меры относительного риска инвестиций с различной ожидаемой доходностью рассчитывают риск на единицу доходности путем определения коэффициента вариации доходности (Йота-коэффициент). Он представляет собой отношение среднего квардратического отклонения ( ) к ожидаемому значению доходности ( ):

     

     При построении распределения вероятности  могут использоваться субъективные экспертные оценки риска и доходности в будущем. Могут использоваться и фактические данные (например, данные о доходности акций в последние годы). Они позволяют получать объективные оценки:

      ; , где n – число измерений доходности.

     Анализ  свойств субъективного и объективного распределений вероятности приводит к выводу о том, что в финансовом анализе приходится сталкиваться с двумя источниками риска:

1. неопределенность исходов при заданном распределении вероятности,
2. неточности используемых распределений вероятности.

     Значительная  часть данных имеет нормальное распределение. Свойства нормального распределения точно определяют связь между величинами интервала, в котором с определенной доверительной вероятностью реализуются исходы событий по получению определенной доходности, и средним квадратическим отклонением ( ). Так 68,3 % всех исходов лежит в пределах одного отклонения в каждую сторону, которое равно среднему квадратическому отклонению от ожидаемого значения, а 99,5 % - в пределах отклонений, равных двум средним квадратическим отклонениям.  

Анализ  доходности и риска активов в портфеле

     Ожидаемая доходность портфеля (набор активов) представляет собой среднюю взвешенную из показателей ожидаемой доходности отдельных активов, входящих в данный портфель:

      , где

      - ожидаемая доходность портфеля,

      - доля стоимости портфеля, инвестированная  в i-ый актив,

      - ожидаемая доходность i-го актива,

     n- число активов в портфеле.

     Риск  портфеля в большинстве случаев  меньше риска входных в его  состав активов. Для измерения риска портфеля вычисляют среднее квадратическое отклонение его доходности. При дискретном распределении доходности:

      , где

      - дисперсия доходности портфеля,

      - ожидаемая доходность портфеля при i-ом состоянии экономики,

      - ожидаемая доходность портфеля,

      - вероятность i-ом состояния экономики,

     n- число возможных состояний экономики.

     Мерой, учитывающей дисперсию, является ковариация – это мера разброса индивидуальных значений доходности акции и силы связи между изменением доходности одной акции и других акций.

     Например, ковариация между акциями А и  Б показывает существует ли взаимосвязь  между увеличением или уменьшением  значения доходности этих акций, и силу этой взаимосвязи:

      , где

      - ковариация доходности акций  А относительно доходности акций  В,

      - ожидаемая доходность акций  А при i-ом состоянии экономики,

      - ожидаемая доходность акций А,

      - ожидаемая доходность акций  В при i-ом состоянии экономики,

      - ожидаемая доходность акций  В,

      - вероятность i-го состояния экономики.

     Если  значение → 0, то это означает снижение взаимосвязи между доходностью акций А и В.

     На  практике чаще используется другая характеристика-корреляция.

     Корреляцией называется тенденция двух переменных к совместному изменению. Значение коэффициента корреляции +1 свидетельствует о сильной взаимосвязи в одном направление изменения доходности; значение -1- о сильной взаимосвязи в противоположных направлениях. Коэффициент корреляции рассчитывается:

     

     Риск  портфеля оценивается с использованием теоретической вероятности. Риск портфеля из двух активов можно определить:

      , где 

     x- доля стоимости актива в портфеле. 

Эффективные портфели

     Выбор эффективных портфелей – это  выбор таких портфелей, которые  обеспечивают:

     - максимально ожидаемую доходность  при определенном уровне риска

     - минимальный уровень риска для  определения ожидаемой доходности.

     При решении такой задачи учитываются  взаимосвязи доходности активов. Менеджер подбирает множество эффективных  портфелей, для которых соотношение  между риском и доходностью достигает максимума. Если добавить в портфель все большее число новых акций, то, как правило, риск портфеля быстро снижается. Но к нулевому значению он не стремится, так как между доходностью акций на фондовых рынках обычно существует положительная связь (корреляция 0,5-0,8), поэтому формирование портфеля способно сократить общий риск лишь на 40-50 %. 
 
 

     Можно выделить 2 основные составляющие общего риска:

1. несистематичность/диверсифицируемый риск, который присущ отдельным акциям и может быть устранен путем формирования эффективного портфеля;
2. систематичность/недиверсифицируемый риск, который присущ всему рынку акций и не может быть устранен за счет формирования портфеля.

Выбор оптимального портфеля

     Оптимальный портфель – это единственный из эффективных портфелей, который является наилучшим для конкретного инвестора.

     При выборе оптимального портфеля решаются 2 задачи:

1. определение эффективного множества портфелей,
2. выбор из этого эффективного множества единственный наилучший для конкретного инвестора.

     Эффективные и оптимальные портфели.

     Плоскость «Риск-доходность». 

     

     σ – риск; а – ожидаемая доходность 

     Кривые  называют кривыми безразличия «риск-доходность». Это индивидуальные характеристики конкретных инвесторов. Другие инвесторы могут иметь иные предпочтения, но абсолютное большинство инвесторов при возрастании риска повышают требовательность к доходности. Портфель, оптимальный с точки зрения инвестора, соответствует точке касания кривой (дуга ANME), характеризующей эффективное множество портфелей и кривой безразличия конкретного инвестора ( ) – точка N на рис.1. Эта точка соответствует наиболее высокому уровню удовлетворенности, которого может достигнуть данный инвестор. Другой инвестор может выбрать другой портфель. 

Линия рынка капитала, линия  рынка ценных бумаг. β -коэффициент

     Линия рынка капитала – это линия  RMZ на рис.1. Точка N, в которой кривая безразличия касается границы эффективного множества, отражает выбор оптимального портфеля, обеспечивающего инвестору самую высокую доходность при величине риска . Однако инвестор может сделать лучший выбор, чем портфель N. Он может достигнуть более высокой кривой безразличия, если в дополнение к множеству рисковых портфелей, воспользуется безрисковым активом, который обеспечивает гарантированную доходность - на оси доходности эта точка, из которой исходит линия рынка капитала RMZ. Включение безрискового актива в свой портфель позволяет достигнуть комбинации риска и доходности на прямой линии рынка капитала. Используя новые возможности, инвестор перейдет из точки N в точку R, которая находится на более высокой кривой безразличия. Доходность такого портфеля определяется:

      , где

      - доходность портфеля, включающего  безрисковый актив,

      - доля безриского актива в  портфеле,

      - доходность безриского актива,

      - доходность портфеля рисковых  активов.

      , где

      - среднее квадратическое отклонение  доходности рискового портфеля.

     В модели оценки доходности финансовых активов САРМ рисковость ценных бумаг  измеряется ее β – коэффициентом. Он характеризует изменчивость доходности конкретной акции относительно доходности рынка ценных бумаг. Некая средняя акция имеет β=1. Акция, изменчивость доходности которой больше, чем в среднем на рынке, имеет β больше 1. Акция, изменчивость доходности которой меньше, чем в среднем на рынке, имеет β меньше 1.

     Уравнение связи между риском и доходностью  акции называется уравнением рынка  ценных бумаг:

      , где

      - требуемая доходность i-ой акции (ставка дисконтирования),

      - безрисковая доходность (доходность государственных ценных бумаг, депозитов в наиболее надежных банках),

      - требуемая доходность рыночного  портфеля, состоящего из всех  акций, которыми торгуют на рынке (среднерыночный уровень доходности),

      - β – коэффициент i-ой акции.

      - премия за риск владения акцией.

     Концепция β – коэффициента

     Показатели  средней акции по определению  должны варьироваться в соответствии с изменением ситуации на рынках, измеряемыми биржевыми индексами. Средняя акция имеет β – коэффициент = 1. Это означает, что при изменении ситуации на рынке рост или снижение на один процентный пункт характеристики акции меняются в том же направлении на один процентный пункт. Если акция имеет β – коэффициент = 0,5, то её характеристики будут меняться в два раза медленнее, чем в среднем на рынке. Портфель, состоящий из таких акций, будет иметь риск, равный половине риска портфеля из всех акций рынка, имеющих β – коэффициент = 1.

     Если  β – коэффициент = 2, то изменчивость характеристик акций в два раза выше по сравнению со средней акцией, поэтому портфель, состоящий из таких акций, имеет риск в 2 раза выше среднего портфеля.

     Формула β – коэффициента портфеля ценных бумаг:

      , где

      - доля i-ой ценной бумаги в портфеле,

      - β – коэффициент,

     n – число ценных бумаг в портфеле.

     Добавление  в портфель акции, имеющей β>1, увеличивает  значение и повышает рисковость портфеля (или наоборот).

     Расчет  β – коэффициентов.

     Величина  фактической доходности конкретной акции и доходности на рынке акций в среднем по календарным периодам оказываются взаимосвязаны. Эта взаимосвязь выражается линейной зависимостью, которую можно получить путем статистической обработки данных биржевой статистики:

      , где