Формализованные (математические) методы и приемы экономического анализа

Если дан  ряд моментных показателей: x₁, …, х_п, то средняя хронологическая S_ch, для этого ряда рассчитывается по формуле:

Метод группировки данных

Группировка – это расчленение совокупности данных на группы с целью изучения ее структуры или взаимосвязей между компонентами. В процессе группировки единицы совокупности распределяются по группам в соответствии со следующим принципом: различие между единицами, отнесенными к одной группе, должно быть меньше, чем различие между единицами, отнесенными к разным группам.

Важнейший вопрос при проведении такого рода исследования – выбор интервала группировки. Существуют два основных подхода (метода) к его решению.

Первый  подход предполагает деление совокупности данных на группы с равными интервалами значений. Этот метод используется наиболее часто, так как он лишен субъективизма при выборе границ интервалов. При определении длины интервала i целесообразно пользоваться формулами Стерджеса:

где  х_mах – максимальное значение признака в изучаемой совокупности;

x_min – минимальное значение признака в изучаемой совокупности;

k – число групп;

N – число наблюдений.

Согласно второму подходу интервалы группировки можно выбрать и неравными (возрастающими или убывающими). При использовании этого подхода интервалы часто выбирают таким образом, чтобы группы были равнозаполненными.

Структурные группировки предназначены для изучения структуры и состава совокупности, происходящих в ней сдвигов относительно выбранного варьирующего признака. Структурная группировка оформляется, как правило, в виде таблицы, в подлежащем которой находится группировочный признак, а в сказуемом – показатели, характеризующие структуру совокупности либо в динамике, либо в пространстве. Этот вид группировки характеризует структуру совокупности по какому-то одному признаку. Изменение структуры группировки чаще всего описывается одним из двух показателей.

Показатель  среднего абсолютного изменения  структуры рассчитывается по формуле:

Показатель  среднеквадратического изменения  структуры рассчитывается по формуле:

Чем более значительны  структурные сдвиги, тем больше значения этих показателей. При отсутствии структурных  сдвигов оба они равны нулю. Квадратичный коэффициент реагирует на изменение структуры чуть более чутко. При расчете этих показателей следует помнить о том, что количество групп в группировке и в базовом, и в отчетном периодах должно быть одинаковым.

Аналитические группировки предназначены для изучения взаимосвязей между двумя и более показателями, характеризующими исследуемую совокупность. Один из показателей при этом рассматривается как результативный, а остальные – как факторные.

При оформлении результатов группировки в таблице  признак-результат размещается в сказуемом, группировочные признаки, рассматриваемые в качестве факторных, размещаются в подлежащем таблицы.

Элементарные методы обработки  расчетных данных

При изучении совокупности значений изучаемых величин помимо средних, используют и другие характеристики. При анализе больших массивов данных обычно интересуются двумя аспектами: во-первых, величинами, которые характеризуют ряд значений как целого, т.е. характеристиками общности, во-вторых, величинами, которые описывают различия между членами совокупности, т.е. характеристиками разброса (вариации) значений.

Разумеется, все  средние величины относятся к  первой группе показателей, поскольку  являются характеристиками изучаемой  совокупности как целого. Кроме того, в качестве показателей общности используются следующие величины: середина интервала, мода и медиана.

Середина  интервала возможных значений x_i рассчитывается по формуле:

Мода  – такое значение изучаемого признака, которое среди всех его значений встречается наиболее часто. Если чаще других встречаются два или более различных значений, такую совокупность данных называют бимодальной или мультимодальной. Если же ни одно из значений не встречается чаще других (т.е. если все значения встречаются по одному разу или равное количество раз), такая совокупность является безмодальной.

Медиана – такое значение изучаемой величины, которое делит изучаемую совокупность на две равные части, в которых количество членов со значениями меньше медианы равно количеству членов, которые больше медианы. Медиану можно найти только в совокупностях данных, содержащих нечетное количество значений. Только тогда и слева, и справа от медианного значения будет одинаковое число членов.

В отличие от средней, величина медианы не зависит  от крайних значений показателей.

В качестве показателей размаха и интенсивности вариации показателей чаще всего используются следующие величины: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднеквадратическое отклонение, дисперсия и коэффициент вариации.

Размах  вариации рассчитывается по формуле:

Среднее линейное отклонение (средний модуль отклонения) от среднего арифметического исчисляется по формуле:

Если используются весовые коэффициенты, то формула  средневзвешенного среднего линейного  отклонения имеет вид: где w_i – частота, с которой в изучаемой совокупности встречается значение x_i.

Наибольшее  распространение при изучении разброса значений числовых данных получили величины среднеквадратического отклонения (СКО) σ и дисперсии σ²:

Чем больше величина σ или σ², тем сильнее разброс значений вокруг среднего. Следует отметить, что σ всегда больше модуля среднего линейного отклонения. Для нормально распределенных величин σ/а 1,2.

Величина СКО, как следует из ее определения, зависит  от абсолютных значений самого изучаемого признака. Чем больше величины x_i, тем больше будет σ. Поэтому для сравнения рядов данных, отличающихся по абсолютным величинам, вводят коэффициент вариации:

Этот коэффициент  является показателем «количественной» неоднородности совокупности данных. Критическое значение его считается равным 33%. Если Vаr > 33%, то совокупность нельзя признать однородной.

Одной из важнейших  аналитических характеристик является степень асимметрии распределения, характеризуемая коэффициентом  асимметрии:

п – количество наблюдений.

Некоторое распределение симметрично в том случае, если As = 0. Чем больше величина As, тем более асимметрично распределение величин.

Крутизна распределения  данных характеризуется показателем  эксцесса:

Для нормального  распределения Ех = 0. Большой положительный эксцесс означает, что в совокупности данных есть слабо варьирующее по данному признаку «ядро», окруженное редкими, сильно отстоящими от него значениями. Большое отрицательное значение показателя эксцесса говорит об отсутствии такого «ядра».

Индексный метод

Мощным орудием сравнительного анализа экономики являются индексы. Индекс – это статистический показатель, представляющий собой отношение двух состояний какого-либо признака. С помощью индексов проводятся сравнения с планом, в динамике, в пространстве. Индекс называется простым (синонимы: частный, индивидуальный), если исследуемый признак берется без учета связи его с другими признаками изучаемых явлений. Простой индекс имеет вид:

где p₁ и p₀ – сравниваемые состояния признака.

Индекс называется аналитическим (синонимы: общий, агрегатный), если исследуемый признак берется не изолированно, а в связи с другими признаками. Аналитический индекс всегда состоит из двух компонент: индексируемый признак р (тот, динамика которого исследуется) и весовой признак q. С помощью признаков-весов измеряется динамика сложного экономического явления, отдельные элементы которого несоизмеримы. Простые и аналитические индексы дополняют друг друга.

где q₀ или q₁ – весовой признак.

С помощью индексов в анализе финансово-хозяйственной  деятельности решаются следующие основные задачи:

оценка изменения  уровня явления (или относительного изменения показателя);

выявление роли отдельных факторов в изменении  результативного признака;

оценка влияния  изменения структуры совокупности на динамику.

Центральной проблемой при построении аналитических индексов является проблема взвешивания. Решая ее, аналитику необходимо сначала выбрать сам весовой признак, а затем – период, на уровне которого берется признак-вес.

Признаки, относящиеся  к изучаемому явлению не непосредственно, а через один или несколько других признаков и характеризующие качественную сторону изучаемого явления, называются вторичными или качественными. Отличительными особенностями вторичных признаков является то, что это всегда относительные показатели, их нельзя непосредственно суммировать в пространстве (исключение – суммирование при расчете некоторых статистик, например, коэффициентов регрессии, корреляции и др., когда экономическая природа показателя не принимается во внимание). В качестве примера можно привести показатели средней заработной платы, рентабельности и т.п.

В анализе выделяют вторичные признаки первого, второго  и более высоких порядков. Вторичный  признак п-го порядка получается дальнейшей детализацией вторичного признака (n-l) – гo порядка. Связь признаков разных порядков можно проиллюстрировать на примере:

Существует  следующее правило определения  периода для признака-веса: при  построении аналитических индексов по вторичным признакам рекомендуется  брать веса на уровне отчетного периода, а по первичным – базисного, т.е.

Это обусловлено  приоритетностью качественных показателей  перед количественными: практический интерес представляет определение  экономического эффекта от изменения  качественного показателя, полученного  в отчетном, а не в базисном периоде. Именно этот подход закладывается при реализации метода цепных подстановок в двухфакторных мультипликативных моделях (в многофакторных моделях привлекается еще и понятие вторичности n-го порядка).

Математико-статистические методы изучения связей

Математико-статистические методы изучения связей, называемые иначе  стохастическим моделированием, являются в определенной степени дополнением  и углублением детерминированного анализа. В анализе финансово-хозяйственной  деятельности стохастические модели используются, когда необходимо:

o оценить влияние факторов, по которым нельзя построить жестко детерминированную модель;

o изучить и сравнить влияние факторов, которые невозможно включить в одну и ту же детерминированную модель;

o выделить и оценить влияние сложных факторов, которые не могут быть выражены одним определенным количественным показателем.

В отличие от детерминистского, стохастический подход для своей реализации требует  выполнения ряда предпосылок. В первую очередь речь идет о наличии достаточно большой совокупности объектов (жестко детерминированную модель можно анализировать и строить по одному объекту, для стохастической же модели необходима совокупность). Кроме того, необходим достаточный объем наблюдений: по одному-двум наблюдениям судить о характере стохастической связи нельзя.

Использование стохастических моделей в экономике, в отличие от использования их в технике, имеет определенные трудности, связанные с получением совокупности достаточного объема. В технике эксперимент  можно повторить, в экономике этого сделать нельзя.

Поскольку стохастическая модель – это, как правило, уравнение  регрессии, при ее построении должны выполняться следующие условия:

o случайность наблюдений;

o наличие однородности совокупности, как качественной, так и количественной;

o наличие специального математического аппарата (например, инструменты анализа автокорреляций для анализа рядов динамики).

Основная сфера  приложения стохастических моделей  – это проблемно-ориентированный  и тематический анализ. Стохастическое моделирование предназначено для решения трех основных задач:

o установление самого факта наличия (или отсутствия) статистически значимой связи между изучаемыми признаками;

o прогнозирование неизвестных значений результативных показателей по заданным значениям факторных признаков (задачи экстраполяции и интерполяции);

o выявление причинных связей между изучаемыми показателями, измерение их тесноты и сравнительный анализ степени влияния.

Корреляционный анализ

Корреляционный  анализ есть метод установления связи и измерения ее тесноты между наблюдениями, которые можно считать случайными и выбранными из совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.

Коэффициент корреляции между факторами x и у определяется следующим образом:

Таким же образом  вычисляется коэффициент корреляции между факторами в двухфакторной регрессионной модели вида у = ах + b, a также при любой другой форме связи между двумя показателями.