Формирования портфеля ЦБ

Зададим допустимый максимальный уровень риска, который равен 1,89 %.

Данные занесем в таблицу для расчетов долей () каждой акции в портфеле. Для того чтобы рассчитать доли каждой акции воспользуемся встроенной в пакет Excel надстройки «Поиск решений».

После запуска надстройки «Поиск решений» установим целевую функцию, это доходность всего портфеля. После этого поставим флажок на максимизации значения этой целевой функции. Ячейки для изменения будут соответствовать доли акций, которые необходимо найти. Так же необходимо наложить ограничения на то что бы сумма всех долей была равна 1, и что бы каждая доля была не отрицательна, и общий риск портфеля был бы меньше 1,89%.

В ячейке с общим риском прописывается следующая формула:

Целевая функция =

Также прописывается ограничение для портфеля = сумма = 1

После проделанной работы определятся доли в инвестиционном портфеле для каждой акции. Данные приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Доли акций в инвестиционном портфеле

Ожидаемая доходность портфеля  равна:

         0,406 * 0,4312 + 0,130 * 0,37011+ 0,144 * 0,10005 + 0,100 * 0,09873 = 0,24744 %.

Рисунок 1 – доли акций в инвестиционном портфеле

Таким образом, оптимальный портфель будет состоять из 43,11% акций Вимм Билль Дан ПП, 37,01% акций Норильского Никеля, 10,01% Северстали акций и 9,87 % акций Сбербанка. Доходность всего портфеля будет составлять 0,24% при общем, установленном заранее риске портфеля в 1,89%.

2.2.2 Формирование инвестиционного портфеля по модели У. Шарпа

По приведенным выше данным, сформируем портфель на основании модели У.Шарпа. Для этого дополнительно рассчитаем дневную доходность индекса ММВБ (MICEX)  за период с 01 апреля 2010 года по 01 апреля 2011 года.

            На 31.03.2011 г. доходность индекса MICEX =

Расчеты дневных доходностей индекса приведены в приложении G.

Расчет средней доходности и стандартного отклонения по каждому виду акций приведен в модели Г. Марковитца (Приложение F), в модели У. Шарпа дополнительно рассчитаем среднюю доходность и стандартное отклонение для  индекса ММВБ.

Для расчета среднедневной доходности индекса ММВБ, в пакете Excel зададим функцию «СРЗНАЧ»

             Для индекса ММВБ математическое ожидание доходности:

                                        СРЗНАЧ {-0,110; 0,034}= 0,093;

Для расчета  стандартного отклонения применяем функцию «СТАНДООТКЛОН».

Для индекса ММВБ СТАНДООТКЛОН {-0,110; 0,034}= 1,424

Таким образом, среднедневная доходность за весь период для индекса ММВБ составила 0,093%., стандартное отклонение составило 1,424 %.

Далее по формуле [ 1,5 – 1,7 ] рассчитываем параметры линейной регрессии α, β и стандартное отклонение от случайной ошибки:

Коэффициент для WBDF = 247+ 277,964– 100,226* 22,859 = 0,539 %

Коэффициент для остальных видов акций рассчитывается аналогично.

Коэффициент для WBDF = %

Коэффициент для остальных видов акций рассчитывается аналогично.

Стандартное отклонение случайной ошибки для WBDF = = 3,228

Стандартное отклонение случайной ошибки для остальных видов акций рассчитывается аналогично

Полученные результаты обобщим в таблицу:

Таблица  3 – Расчет коэффициентов по модели У. Шарпа

    С учетом коэффициентов получим новую таблицу доходности акций (Приложение H).

   Математическое ожидание доходности для индекса ММВБ = СРЗНАЧ {0,111; 0,034};

для акции WBDF = СРЗНАЧ {0,296; 0,374};

для акции  GMKN = СРЗНАЧ {-0,021; 0,087};

для акции CHMF  = СРЗНАЧ {-0,047; 0,089};

для акции SBER03  = СРЗНАЧ {-,087;0,046}.

Таким образом, ожидаемая доходность по акциям ВБД ПП составила 0,406 % , по акциям Норильского Никеля  - 0,130 % , по акциям Северстали - 0,144%, по акциям Сбербанка - 0,100%. Ожидаемая доходность по индексу ММВБ составила 0, 093.

Зададим допустимый максимальный уровень риска, который равен 1,89 %.

Данные занесем в таблицу для расчетов долей каждой акции в портфеле. Для того, чтобы найти доли каждой акции в портфеле, также как и в модели Г. Марковитца воспользуемся встроенной в пакет Excel надстройки «Поиск решений». Ниже представлен расчет оптимального портфеля по У. Шарпу:

Таблица 4 – Расчет оптимального портфеля по модели У. Шарпа

                           Ожидаемая доходность портфеля составила 0, 5920 + 0,0318 * 0,0926 = 0,0866 %.

Рисунок 2  - доли акций в инвестиционном портфеле по модели У. Шарпа

Таким образом, оптимальный портфель будет состоять из 41,76 % акций Вимм Билль Дан ПП, 48,68 % акций Северстали, 8,51 % акций Сбербанка и 1,04 % акций Норильского Никеля. Доходность всего портфеля будет составлять 0,09 %.

2.3 Сравнительная характеристика и выводы

Итак, отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Г. Марковица:

1)  Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri , t каждой ценной бумаги.

2) вычислить n-значения ожидаемой доходности Е() , где i= 1,2, …., n каждой ценной бумаги в портфеле;

3) вычислить n значений дисперсий каждой ценной бумаги;

4) вычислить    значений ковариации , где i,j = 1,2, …,n.

Если подставить значения Е(), ,, то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины каждой ценной бумаги в портфеле. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E *, находим веса ценных бумаг в портфеле, строим границу эффективных портфелей и определяем оптимальный портфель.

Теперь отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели У. Шарпа:

1)  Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri , t каждой ценной бумаги.

2)  По рыночному индексу вычислить рыночные доходности rm , t для того же промежутка времени.

3)  Определить величины β i:

5)  Вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели

6)  Подставить эти значения в уравнения.

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E *, находим веса ценных бумаг в портфеле, строим границу эффективных портфелей и определяем оптимальный портфель.

Из пункта 2.2 следует, что портфель будет оптимальным тогда, когда доли капитала в портфеле будет составлять:

             По  модели Г. Марковитца: для  ОАО «Вимм Билль Дан ПП» - 0,431 %, для ОАО «ГМК Норильский Никель» – 0,370 % ,для ОАО «Северсталь» – 0,100 %, для ОАО «Сбербанк» – 0,099 %.

По модели У. Шарпа: для ОАО «Вимм Билль Дан ПП» - 0,418 %, для ОАО «ГМК Норильский Никель» – 0,010 %, для ОАО «Северсталь» – 0,487 %, для ОАО «Сбербанк» – 0,0851 %.

Ожидаемая доходность ценной бумаги по Марковитцу и Шарпу одинакова, в модели У. Шарпа лишь дополнительно рассчитывается значение ожидаемой доходности индекса ММВБ.

При заранее установленном риске доходность портфеля по моделям различна. По модели Г. Марковитца ожидаемая доходность портфеля составила 0,25 %, по модели У. Шарпа 0,09%.  В  связи с этим, можно сделать вывод, что при установленном одинаковом уровне риска, который  был равен 1,89, доходность по первой модели выше, чем по второй, следовательно, модель Уильяма Шарпа  дает более точный расчет риска той или иной бумаги в портфеле.

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E ( ri ) каждой ценной бумаги, n величин, дисперсий всех норм отдачи и всех выражений попарных ковариаций ценных бумаг в портфеле.

Напротив, в модели Шарпа одно из главных достоинств состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Модель позволяет связать две случайные переменные величины независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = . В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. В качестве зависимой переменной берется доходность какой-то i-ой ценной бумаги.

Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из ценных бумаг, то будем считать, что:

1)  Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E ()=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n .

2)  Дисперсия случайных ошибок для каждой ценной бумаги постоянна.

3)  Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.

4)  Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

5)  Отсутствует корреляция между случайными ошибками ε i и рыночной доходностью.