Новые информационные технологии и системы их автоматизации

 
Наибольшее распространение  получила двоичная система  счисления, В этой системе для представления  любого числа используются два символа —  цифры 0 и 1. Основание  системы счисления q = 2.

 
Произвольное число  с помощью формулы (1.1) можно представить  в виде разложения по степеням двойки. Тогда условная сокращенная  запись в соответствии с (1.2) означает изображение  числа в двоичной системе счисления (двоичный код числа), где  ai =0 или 1.

 
Например: 
15,625=1•2³+1•2²+1•2¹+1•2⁰+ 1•2^-1+0•2^-2+1•2^-3= 1111,101₍₂₎ 
Двоичное представление числа требует примерно в 3,3 раза большего числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее, применение двоичной системы счисления создает большие удобства для работы ЭВМ, т. к. для представления в машинеразряда двоичного числа может быть использован любой запоминающий элемент, имеющий два устойчивых состояния.

 
Восьмеричная система  счисления.

В восьмеричной системе  счисления алфавит  состоит из восьми символов (цифр): 0, 1 ... 7. Основание системы  счисления q = 8. Для  записи произвольного  числа в восьмеричной системе счисления  необходимо по формуле (1.1) найти его разложение по степеням восьмерки, а затем воспользоваться  условной сокращенной  записью (1.2).

 
Например, десятичное число 53₍₁₀₎ = 65₍₈₎

 
Шестнадцатеричная система счисления. 
В шестнадцатеричной системе счисления алфавит включает в себя 16 символов (цифр и букв) : 0, 1 ... 9, А, В, С, D, Е, F. Основание системы счисления q = 16. Для записи произвольного числа в этой системе счисления необходимо по формуле (1.1) найти его разложение по степеням 16, а по формуле (1.2) — код.

 
Например: 31₍₁₀₎=1F₍₁₆₎

 
Двоично-десятичное кодирование. 
Наряду с двоичными кодами, которыми оперирует ЭВМ, для ввода и вывода десятичных чисел (данных) используют специальное двоично-десятичное кодирование. При двоично-десятичном кодировании каждая десятичная цифра заменяется тетрадой (четверкой) двоичных цифр, а сами тетрады записываются последовательно в соответствии с порядком следования десятичных цифр. При обратном преобразовании двоично-десятичного кода в десятичный исходный код разбивается на тетрады вправо и влево от запятой, которые затем заменяются десятичными цифрами.

 
Таким образом, при  двоично-десятичном кодировании фактически не производится перевод  числа в новую  систему счисления, а мы имеем дело с двоично-кодированной десятичной системой счисления.

 
Например, десятичное число 12₍₁₀₎ = C₍₁₆₎= 14₍₈₎= 1100₍₂₎= 00010010_(2-10). 
  
 

2. Преобразование чисел 

ЭВМ работают с двоичными  кодами, пользователю удобнее иметь  дело с десятичными  или шестнадцатеричными. Поэтому возникает необходимость перевода числа из одной системы счисления в другую.

 
Преобразование числа  Х из системы счисления  с основанием q в  систему счисления  с основанием р  осуществляется по правилу  замещения или  по правилу деления-умножения  на основание системы счисления.

 
Правило замещения 
Правило замещения реализуется на основании формулы (1.1) и предусматривает выполнение арифметических операций с кодами чисел в новой системе счисления. Поэтому оно чаще всего используется для преобразования чисел из недесятичной системы счисления в десятичную.

 
Пример.111011,011₍₂₎= 1•2⁴ +0•2³ +1•2² +0•2¹ +l•2⁰+0•2^-1+l•2^-2+l•2^-3= 59, 375. 

Правило деления-умножения 
Правило деления-умножения предусматривает выполнение арифметических операций с кодами чисел в исходной системе счисления с основанием q, поэтому его удобно применять для преобразования десятичных чисел в любые другие позиционные системы счисления. Правила преобразования целых чисел и правильных дробей различны. Для преобразования целых чисел используется правило деления, а для преобразования правильных дробей — правило умножения. Для преобразования смешанных чисел используются оба правила соответственно для целой и дробной частей числа.

 
Правило деления используется для преобразования целого числа, записанного в q-ичной системе счисления, в р-ичную. В этом случае необходимо последовательно делить исходное q-ичное число и получаемые частные на новое основание р, представленное в q-ичной системе счисления. Деление продолжают до тех пор, пока очередное частное не станет меньше р. После замены полученных остатков и последнего частного цифрами р-ичной системы счисления записывается код числа в повои системе счисления. При этом старшей цифрой является последнее частное, а следующие за ней цифры соответствуют остаткам, записанным в последовательности, обратной их получению.

 
Правило умножения используется для преобразования дробного числа, записанного в q-нчнон системе счисления, в р-ичпую. В этом случае необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание р, представленное в исходной q-ичной системе счисления. Целые числа получаемых произведений, замененные цифрами р-ичной системы счисления, и дают последовательность цифр в новой р-ичной системе.

 
Умножение необходимо производить до получения  в искомом р-ичном коде цифры того разряда, вес которого меньше веса младшего разряда исходной q-ичной дроби. При этом в общем случае получается код приближенно, и всегда с недостатком значения дроби. Поэтому в случае обратного преобразования (р-ичпого кода дроби в q-ичный) результат может не совпадать с исходным значением q-ичной дроби.

 
Пример.75,35₍₁₀₎=1001011,01011…₍₂₎ .

 
Для получения частных  и остатков по правилу  деления для целой  части числа удобно использовать формулу  записи, известную  под названием  «деление в столбик», а для получения  р-ичного кода дробной части числа по правилу умножения — форму записи, известную под названием «умножение столбиком». Применительно к рассматриваемому примеру имеем: 

 
Таким образом, в  результате преобразования получаем 75,35₍₁₀₎ = 1001011,01011...₍₂₎. Как следует из примера, процесс перевода дробной части можно продолжить до бесконечности. ЭВМ оперирует числами, представленными конечными наборами цифр. Поэтому дроби округляют в соответствии с правилами преобразования и весом младшего разряда исходной дроби.

 
Преобразование чисел  из двоичной системы  счисления в восьмеричную, шестнадцатеричную  и обратно осуществляется по упрощенным правилам с учетом того, что  основания этих систем счисления кратны целой степени 2, т. е. 8=2³ , а 16=2⁴ . Это означает, что при преобразовании восьмеричного кода числа в двоичный, необходимо каждую восьмеричную цифру заменить соответствующим трехзначным двоичным кодом (триадой).

 
При преобразовании шестнадцатеричного кода числа в двоичный необходимо каждую шестнадцатеричную цифру заменить четырехзначным двоичным кодом (тетрадой).

 
При преобразовании двоичного кода в  восьмеричный или  шестнадцатеричный  двоичный код делится  соответственно на триады или тетрады влево и вправо от запятой (точки), разделяющей целую и дробные части числа. Затем триады (тетрады) заменяются восьмеричными (шестнадцатеричными) цифрами.

 
Например: 
 
 Если при разбиении двоичного кода в крайних триадах (тетрадах) недостает цифр до нужного количества, они дополняются нулями. Соответственно, «лишние» нули слева и справа, не вошедшие в триады (тетрады) отбрасываются. 

3. Формы представления  данных 

В ЭВМ используются следующие формы  представления данных: 
• числа с фиксированной точкой (запятой);  
• числа с плавающей точкой (запятой);  
• десятичные числа;  
• символьные данные.

 
Числа с фиксированной  точкой 
При представлении числа Х в форме с фиксированной точкой указываются знак числа (sign X) и модуль числа (modX) в q-ичном коде. Иногда такую форму представления чисел называют естественной формой. Место точки (запятой) постоянно для всех чисел и в процессе решения задач не меняется. Знак положительного числа кодируется цифрой «0», а знак отрицательного числа — цифрой «1».

 
Код числа в форме  с фиксированной  точкой, состоящий  из кода знака и q-ичного кода его модуля, называется прямым кодом. Разряд прямого кода числа, в котором располагается код знака, называется знаковым разрядом кода. Разряды прямого кода числа, в которых располагается q-ичный код модуля числа, называются цифровыми разрядами кода. При записи прямого кода знаковый разряд располагается левее старшего цифрового разряда и обычно отделяется от цифровых разрядов точкой.

 
В общем случае разрядная  сетка ЭВМ для  размещения чисел  в форме с фиксированной  точкой показана на рисунке. 
На рисунке показано п разрядов для представления целой части числа и r разрядов — для дробной части числа.

 
a) фиксированная  
   
При заданных п иr диапазон изменения модулей чисел, коды которых могут быть представлены в данной разрядной сетке, определяется неравенством  

 
Использование формы  с фиксированной  точкой для представления  смешанных (с целой  и дробной частью) чисел в ЭВМ  практически не встречается. Как правило, используются ЭВМ либо с дробной  арифметикой (п=0), либо с целочисленной арифметикой (r=0).

 
Форма представления  чисел с фиксированной  точкой упрощает аппаратную реализацию ЭВМ, уменьшает  время выполнения машинных операций, однако при решении  задач на машине необходимо постоянно следить  за тем, чтобы все  исходные данные, промежуточные  и окончательные  результаты находились в допустимом диапазоне  представления. Если этого не соблюдать, то возможно переполнение разрядной сетки, и результат вычислений будет неверным. От этих недостатков  в значительной степени  свободны ЭВМ, использующие форму представления чисел с плавающей точкой, или нормальную форму.

 
Числа с плавающей  точкой 
b) рис 14.б с плавающей точкой  

В нормальной форме  число представляется в виде произведения X=mq^p 
где т — мантисса числа;  
q — основание системы счисления;  
р — порядок.

 
Для задания числа  в нормальной форме  требуется задать знаки мантиссы и  порядка, их модули в q-ичном коде, а также основание системы счисления. Нормальная форма представления чисел неоднозначна, ибо взаимное изменение т и р приводит к плаванию точки (запятой). Отсюда произошло название формы представления чисел.

 
Для однозначности  представления чисел  в ЭВМ используется нормальная нормализованная  форма, в которой  положение точки  всегда задается перед  значащей цифрой мантиссы, т. е. выполняется  условие  
 

В общем случае разрядную  сетку ЭВМ для  размещения чисел  в нормальной форме  можно представить  в виде, изображенном на рис. Разрядная  сетка содержит:

• разряд для знака мантиссы;
• r цифровых разрядов для q-ичного кода модуля мантиссы;
• разряд для кода знака порядка;
• s разрядов для q-ичного кода модуля порядка.

Диапазон  представления модулей  чисел в нормальной нормализованной  форме определяется следующим неравенством:  
 

В конкретной ЭВМ диапазон представления чисел  с плавающей точкой зависит от основания  системы и числа  разрядов для представления  порядка.  
При этом у одинаковых по длине форматов чисел с плавающей точкой с увеличением основания системы счисления существенно расширяется диапазон представляемых чисел.  
Точность вычислений при использовании формата с плавающей точкой определяется числом разрядов мантиссы r. Она увеличивается с увеличением числа разрядов.  
При представлении информации в виде десятичных многоразрядных чисел каждая десятичная цифра заменяется двоично-десятичным кодом. Для ускорения обмена информацией, экономии памяти и удобства операций над десятичными числами предусматриваются специальные форматы их представления: зонный (распакованный) и упакованный. Зонный формат используется в операциях ввода-операций. Для этого в ЭВМ имеются специальные команды упаковки и распаковки десятичных чисел.