Новые информационные технологии и системы их автоматизации

4. Понятие о специальном  кодировании чисел 

Для хранения чисел и  выполнения различных  операций над ними их представляют различными кодами: прямым, обратным и дополнительным. Как уже отмечалось выше, для представления  чисел со знаками  в памяти ЭВМ используют прямой код. Для обозначения  прямого кода числа  Х используется запись вида [X ]^ .

 
Правило представления Q-ичного кода числа в прямом коде имеет вид: 

где хi— значение цифры в i-м разряде исходного кода.

 
Здесь старший бит  несет информацию о знаке числа. Если он принимает  значение 0, то знак числа  «+» ; если значение 1 — то знак числа  «-».

 
Например, для двоичного  кода

 
При представлении  чисел в прямом коде реализация арифметических операций в ЭВМ  должна предусматривать  различные действия с модулями чисел  в зависимости  от их знаков. Так, сложение в прямом коде чисел  с одинаковыми  знаками выполняется  достаточно просто. Числа складываются и сумме присваивается код знака слагаемых. Значительно более сложной является операция алгебраического сложения в прямом коде чисел с различными знаками. В этом случае приходится определять большее по модулю число, производить вычитание чисел и присваивать разности знак большего по модулю числа. Для упрощения выполнения операций алгебраического сложения в ЭВМ используются специальные коды, позволяющие свести эту операцию к операции арифметического сложения. В качестве специальных в ЭВМ применяются обратный и дополнительный коды. Они образуются из прямых кодов чисел, причем специальный код положительного числа равен его прямому коду.

 
Для обозначения  обратного кода числа  Х(q) используется запись вида [Х(q)]_обр.  
Правило представления q-ичного кода числа в обратном коде имеет вид:  
 

Здесь инверсия цифры хi , определяемая из соотношения:

где: q — основание системы  счисления;  
xj значение цифры в i-ом разряде исходного кода.

 
Для двоичной системы  счисления, если х = 1, то  и наоборот. Отсюда можно сформулировать частное правило образования обратного кода для отрицательных двоичных чисел.

 
Для преобразования прямого кода двоичного  отрицательного числа  в обратный код  и наоборот необходимо знаковый разряд оставить без изменения, а  в остальных разрядах нули заменить на единицы, а единицы на нули.

 
Например:

 
Для обозначения дополнительного кода числа Х(q) используется запись вида [X(q)]_доп . Правило представления q-ичного кода числа в дополнительном коде имеет вид:  
 

Таким образом, для преобразования прямого кода q-ичного отрицательного числа в дополнительный необходимо образовать его в обратный код и в младший разряд добавить единицу.

 
Например, для двоичных чисел:

 
При выполнении операции сложения чисел, представленных специальными q-ичными кодами знаковые разряды участвуют в операции наряду с цифровыми разрядами. При этом цифровые разряды слагаемых складываются как модули чисел по правилам q-ичной арифметики. Знаковые разряды и цифры переноса из старшего цифрового разряда при любом основании системы счисления (q=2) складываются как одноразрядные двоичные коды. Если при этом формируется перенос из знакового разряда, то он имеет вес единицы младшего разряда q^-m при использовании обратного кода и должен быть добавлен в младший разряд результата. При использовании дополнительного кода единица переноса из знакового разряда не принимается во внимание, т. е. отбрасывается.  
 
Например:

При выполнении операции алгебраического  сложения перед преобразованием  прямых кодов слагаемых  в специальные необходимо их выровнять по числу разрядов, если число разрядов слагаемых различно. Кроме того, в некоторых случаях может произойти переполнение разрядов сетки. Признаком переполнения разрядной сетки является следующая комбинация цифр в знаковых разрядах слагаемых и результата:

 
0+0 = 1

или

1+1 = 0 
 
Результат сложения специальных кодов чисел при переполнении разрядной сетки является неверным.