Логическое завершение теории потребления и спроса

следующие свойства.

     1. Система совершенна и совместима; то есть человек может сказать,  какой из двух объектов он  предпочитает или ему безразлично,  какой из них выбрать; и если  он не предпочитает С относительно В и не предпочитает В относительно А, то, следовательно, он не предпочитает С по сравнению с А, (В этом контексте слово "объект" включает в себя комбинацию объектов с установленными вероятностями; например, если А и В -объекты, то твероятность 40/60 A или В - также есть объект).

     2. Любой объект, являющийся комбинацией  других объектов с установленными  вероятностями, никогда не предпочитается  по сравнению с каждым из  этих других объектов; также каждый  из них никогда не предпочитается  их комбинации.

     3. Если объект А предпочитается объекту В и объект В-объекту С, то будет существовать некоторая вероятная комбинация А и С, такая, что индивидуум будет безразличен между нею и В. Такая форма утверждения предназначена продемонстрировать, что эта гипотеза и обычное объяснение выбора среди нерискованных альтернатив путем анализа кривых безразличия мало различаются между собой.

        Пусть I-доход потребительской единицы за единицу времени и U(I) полезность, приписываемая этому доходу, если он считается надежным. Откладываем I вдоль горизонтальной абсциссы и U -вдоль вертикальной. Вообще говоря, U(I) не будет определена для всех значений I, так как у дохода, который может получить потребительская единица, будет более низкий предел, то есть отрицательный доход, равный (по абсолютному значению) максимальному количеству того, что потребительская единица может потерять за единицу времени в течение периода, к которому относится

кривая  полезности. Доступные потребительской  единице альтернативы, не предполагающие риск, состоят из возможных доходов, скажем, I', I'',... . Гипотеза в таком случае просто подразумевает, что потребительская единица выберет доход, которому она приписывает наибольшую полезность. Однако мы знаем даже из случайных наблюдений, что потребительская единица обычно выбирает наибольший доход. Другими словами, мы считаем ненормальным, если человек буквально разбрасывает деньги, однако это средство выбора более низкого дохода всегда доступно. Следовательно, гипотеза может объяснить выбор среди ограниченного числа рассмотренных здесь нерискованных альтернатив, только если с возрастанием полезности денежного дохода доход увеличивается. Рассмотрение выбора среди нерискованных альтернатив не накладывает больше никаких условий на функцию полезности.

         Альтернативы, предполагающие риск, состоят из вероятностных распределений  возможных доходов. К счастью,  для нашей цели будет достаточным  рассмотреть только очень простой  вид альтернатив, предполагающих  риск, а именно (А) вероятность а (0 < а < 1) дохода I1,и вероятность (1 -а) дохода I2, где для простоты I2 предполагается всегда

большим, чем I1. Это упрощение возможно, потому что, как мы увидим позднее, исходная гипотеза подразумевает, что выбор потребительской единицей среди более сложных альтернатив может быть предсказан исходя из полной осведомленности в их предпочтениях среди альтернатив вроде (А) и нерискованной альтернативы (В), дающей надежный доход I0.

         Так как "прочие условия"  предполагаются одинаковыми для  альтернатив А и В, то полезность этих двух альтернатив может быть описана функциями только доходов и учитываемых вероятностей, а не сопутствующих обстоятельств. Полезность альтернативы В есть U( I0). Ожидаемая полезность А есть:

U. (A) = aU (I1) + (1 - a) U (I2).

В соответствии с гипотезой, потребительская единица  выберет А, если U.>U(I0); выберет В, если U. < U (I0); и ей будет безразличен выбор из A и В, если U.= U (I0).

         Пусть I.(A) - актуарная ценность А, то есть I.(А) = aI1 + (1 -а) I2 . Если I0 равно I., то "азартная игра" или "страхование" считаются "честными", так как потребительская единица получает одинаковую актуарную ценность независимо от того, какую альтернативу она выбирает. Если в этих условиях потребительская единица выбирает А, то она демонстрирует предпочтение такому риску. Это должно быть интерпретировано как U > U(I.),и выражение U.-U(I.), следовательно, может быть принято как мера

полезности, которую она приписывает этому  конкретному риску. Если потребительская  единица выбирает В, то она демонстрирует предпочтение к определенности. Это должно быть интерпретировано как то, что U. < U(I.). Безразличие в выборе между А и В должно быть интерпретировано как U. = U (I.).

          Пусть I* - надежный доход, имеющий такую же полезность, как А, то есть U(I*)=U Назовем I* доход, эквивалентный А. Полученное из рассмотрения выбора среди нерискованных альтернатив условие, что полезность увеличивается с ростом дохода, означает, что U. <=> U(I.), что подразумевает I* <=> I

           Если I* больше, чем I., то потребительская единица предпочитает этот конкретный риск надежному доходу такой же актуарной ценности и готова платить разницу I* -I. за право сыграть в "азартную игру". Если I* меньше, чем I., то потребительская единица предпочитает определенность и готова платить разность I - I* за "страхование" против этого риска. 

          Эти концепции проиллюстрированы  на потребительской единице, готовой  платить за страховку (I. > I*), на рис. 1, а, и на потребительской единице, готовой платить за право сыграть в азартную игру, на рис. 1, б. На обоих рисунках денежный доход измеряется по горизонтальной оси, а полезность -по вертикальной оси. На осях абсцисс отложим I1 и I2. I., актуарная ценность I1 и I2, отмечена точкой, разделяющей интервал между I1 и I2 в пропорции (1 - а)/а (то есть (I.- I1)/(I2- I.) = (1 - а) /a).

          Проводим кривую полезности (на  обоих рисунках-CDE). Соединим точки (I1, U (I1)) и (I2, U (I2)) прямой линией (CFE). Расстояние от этой линии до горизонтальной оси в точке I., очевидно, равно U.. (Так как I. Делит расстояние между I1 и I2 в пропорции (1 -а) /а, то F делит вертикальное расстояние между С и Е в той же пропорции, так что расстояние между F и горизонтальной осью есть ожидаемое значение U(I1) и U(I2)). Проведем горизонтальную линию через F и найдем доход, соответствующий точке ее пересечения с кривой полезности (точка D). Это доход, полезность которого такая же, как ожидаемая полезность A, то есть по определению - I*.На рис. 1, а кривая полезности проведена таким образом, чтобы I* был меньше, чем I.. Если потребительской единице предложат выбор между А и надежным доходом I0, большим, чем I*, то она выберет надежный доход. Если этот надежный доход I0 будет меньше, чем I., то потребительская единица будет платить I. - I0 за определенность, попросту говоря, она будет "покупать страховку"; если этот надежный доход будет больше, чем I., то ей будут платить I2-I. за принятие определенности, даже если она готова платить за определенность, мы можем сказать, что она скорее "продает азартную игру", чем "покупает страховку". Если потребительской единице предложат выбор между А и надежным доходом I0, меньшим, чем I*, то она

выберет А, потому что, хотя она и готова заплатить цену за определенность, с нее запрашивают больше, чем максимальное количество (I.-I*), которое она готова заплатить. Цена страхования стала такой высокой, что потребительская единица, так сказать, превратилась скорее в продавца, чем в покупателя страховки.

           На рис. 1, б кривая полезности  проведена таким образом, чтобы  I* был больше, чем I.. Если потребительской единице предложат выбор между А и надежным доходом I0, меньшим, чем I*, то она выберет А. Если этот надежный доход I0 будет больше, чем I., то потребительская единица будет платить I0-I. за этот риск, - попросту говоря, она выберет азартную игру, или, можно сказать, "покупку азартной игры"; если надежный доход будет

меньше, чем I., то ей будут платить I.-I0 за принятие этого риска, даже если она готова платить за этот риск, мы можем сказать, что она скорее "продает страховку", чем "покупает азартную игру". Если потребительской единице предложат выбор между А и надежным доходом I0, большим, чем I*, то она выберет надежный доход, потому что, хотя она готова что-то заплатить за азартную игру, она не готова платить больше, чем I*-I.. Цена азартной игры стала такой высокой, что потребительская единица превратилась скорее в продавца, чем в покупателя азартных игр.

        Очевидно, что графическое условие  того, что потребительская единица  готова что-то платить за определенность, состоит в том, что функция  полезности должна быть выше  своей хорды при доходе I.. Это просто непосредственное претворение условия U(I.)>U.. Аналогично, потребительская единица будет готова что-то платить за риск, если функция

полезности  находится ниже своей хорды при  доходе I..

         Между этими формальными понятиями  "страхования" и "азартных  игр" и тем, что обычно  называется страхованием и азартными  играми, существует прямая связь.  Потребительская единица, обдумывающая  покупку страховки, должна быть  рассмотрена как имеющая текущий  доход I2 и как подвергающаяся вероятности потери суммы, равной I2-I1; так что, если эта потеря произойдет, то ее доход снизится до I1. Она может застраховаться против этого убытка, выплачиванием взноса равного I2-I0. Взнос, вообще

говоря, будет больше I2-I0 на величину I.-I0. Следовательно, покупка страховки означает согласие с надежным доходом I0 вместо пар альтернатив, имеющих более высокую ожидаемую ценность. Аналогично, потребительская единица, решающая, играть ли ей в азартную игру (например, купить ли ей лотерейный билет), может быть истолкована как

имеющая текущий доход, равный I0. Она получит вероятность (1 -а) получить прибыль, равную I2-I0, если подвергнет себя вероятности потери суммы, равной I0-I1. Если она сыграет, то актуарная ценность ее дохода есть I., что, в общем, меньше I0. I0-I. есть взнос, выплачиваемый ею для права участвовать в игре (ставка на кон).

           Для выбора среди надежных  доходов подходит только одна  характеристика этой функции,  а именно то, что она возрастает  с увеличением дохода. Остальные  характеристики функции подходят  только для выбора среди альтернатив,  предполагающих риск, и, следовательно, могут быть выведены только из наблюдений выбора среди таких альтернатив. То, как эти характеристики неявно содержатся в предпочтениях потребительских единиц среди альтернатив, предполагающих риск, может быть наиболее легко показано описанием концептуального эксперимента для определения функции полезности.

           Выберем любые два дохода, скажем, 500 долларов и 1000 долларов. Припишем  любые произвольные полезности  этим доходам, скажем, 0 и 1 соответственно. Это отвечает произвольному выбору  начала координат и единиц  измерения. Выберем любой промежуточный  доход, скажем, 600 долларов. Предложим  потребительской единице выбор  между (A) вероятностью а дохода  в 500 долларов и вероятностью (1 -а) дохода в 1000 долларов и  (В) надежным доходом в 600 долларов, изменяя а до тех пор, пока  потребительской единице не станет  безразлично, какую из альтернатив  выбрать (то есть пока I* не станет  равным 600 долларов). Предположим, что  это произойдет при а=2/5. Если  гипотеза справедлива, то, следовательно,

U(600)=2/5 U(500)+3/5 U(1000)=2/5·0+3/5·1=3/5=0.60.

Таким путем может быть определена полезность, приписываемая любому доходу в интервале  от 500 до 1000 долларов. Чтобы получить полезность, приписываемую любому доходу вне интервала от 500 до 1000 долларов (скажем, для 1000 долларов), предложим  потребительской единице выбор  между (A) вероятностью а дохода в 500 долларов и вероятностью (1 а) дохода в 10000 долларов и (В) надежным доходом  в 1000 долларов, изменяя а до тех  пор, пока потребительской единице  не станет безразлично, какую из альтернатив  выбрать (то есть пока I* не станет равным 1000 долларов). Предположим, что это  произойдет при a=4/5. Если гипотеза справедлива, то, следовательно,

4/5 U (500) + 1/5 U (10 000) = U (1000),

или

4/5·0+1/5 U(10000)=l,

или

U (10 000) =5.

            В принципе, возможность проведения  этого эксперимента и схожесть  результатов обеспечат проверку  гипотезы. Например, предположение  гипотезы о совместимости поведения  будет опровергнуто, если повторение  эксперимента с использованием  двух других первоначальных доходов  (не равных 500 и 1000 долларов) даст  функцию полезности, отличающуюся  от первоначально полученной  более, чем началом координат  и единицей измерения.