Подземная нефте-газовая гидродинамика

l^*=1 / Г_т .                                                                                 1.18

В качестве раскрытости (ширины трещины) берут среднюю величину по количеству трещин в сечении f. Среднюю гидравлическую ширину определяют исходя из гидравлического параметра - проводимости системы трещин. Ширина трещин существенно зависит от одновременного влияния следующих двух факторов, обусловленных изменением давления жидкости, действующего на поверхность трещин:

• увеличение объёма зёрен (пористых блоков) с падением давления жидкости;
• увеличение сжимающих усилий на скелет продуктивного пласта.

Указанные факторы возникают  из-за того, что в трещиноватых пластах  горное давление, определяющее общее  напряжённое состояние среды, уравновешивается напряжениями в скелете породы и  пластового давления (давлением жидкости в трещинах). При постоянстве горного давления снижение пластового давления при отборе жидкости из пласта приводит к увеличению нагрузки на скелет среды. Одновременно с уменьшением пластового давления уменьшаются усилия, сжимающие пористые блоки трещиноватой породы.     

 Поэтому трещинный пласт  - деформируемая среда. В первом  приближении можно считать

,                                                         1.19

где d_т0 - ширина трещины при начальном давлении р₀ ; b^*_т=b_п l /d_т0 - сжимаемость трещины;    b_п - сжимаемость материалов блоков; l - среднее расстояние между трещинами.

Для трещинных сред l/ d_т >100 и поэтому сжимаемость трещин высока.

 

1.3. СКОРОСТЬ  ФИЛЬТРАЦИИ, ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ

 

1.3.1. Пористая среда.

 

1.3.1.1. Скорость  фильтрации

 

 При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.

Предположим, что через  поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида

Q=`w  F_п ,                                                                            1.21

где `w - действительная средняя скорость жидкости; F_п - площадь пор.

Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для неупорядочных (изотропных) сред справедливо допущение о равенстве просветности пористости. Следовательно

Q=`w m F ,                                                                           1.22

Величина

 u= `w m.                                                                              1.23

называется скоростью  фильтрации и определяет переток  флюида, осреднённый по площади. Т.к. m<1, то и скорость фильтрации всегда меньше средней. Физический смысл введения скорости фильтрации заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором расход через любое сечение равен реальному расходу, поля давлений фиктивного и реального потоков идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной. Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (1.23).

 

1.3.1.2 . Закон Дарси  (линейный закон фильтрации)

 

В 1856г. французским инженером Дарси был установлен основной закон фильтрации - закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н₁-Н₂ и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F ,заполненной пористой средой (рис.1.6). Напор для несжимаемой жидкости имеет вид ,где z- высота положения; р/g - пьезометрическая высота; g - объёмный вес;  u - скорость движения жидкости.

Т.к. при фильтрации скорость обычно мала, то под напором понимается величина . Закон Дарси имеет вид:

,                                                                           1.24

где с - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости.

 

Закон Дарси  показывает, что между потерей  напора и расходом существует линейная связь.

Запишем закон  Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F,

                   1.25

или в векторной  форме

,             1.26

где s - расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.

Коэффициент фильтрации с характеризует среду и жидкость одновременно, т.е зависит от размера частиц, от их формы и степени шероховатости, пористости среды, вязкости жидкости. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью - водой.  При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде

                                                                            1.27

или

,                                                                          1.28

где h - коэффициент динамической вязкости; k - коэффициент проницаемости, характеризующий среду; р=g H - приведённое давление, равное истинному при z=0.

В системе СИ [k]=м². В смешанной системе, когда [p]=кГ/см², [h]=0.01г/см^.с=1спз,   [s] =см, [u]=см/с, k измеряется в дарси (1д=1мкм²=10^-12м²   =10^-8см²). Тысячная доля дарси называется миллидарси.

Из сравнения (1.25) и (1.28) имеем

.                                                                                   1.29

Проницаемость песчаных коллекторов обычно находится в пределах k=100-1000мд, а для глин характерны значения проницаемости в тысячные доли миллидарси.

Проницаемость определяется геометрической структурой пористой среды, т.е. размерами и  формой частиц и системой их упаковки.

Имеется множество попыток теоретически установить зависимость проницаемости от этих характеристик, исходя из закона Пуазейля для ламинарного движения в трубах и Стокса для обтекания частиц при той или иной  схематизованной  модели пористой среды. Поскольку реальные породы не укладываются в рамки этих геометрических моделей, то теоретические расчеты проницаемости ненадёжны. Поэтому обычно проницаемость определяют опытным путём.

 

1.3.1.3. Границы  применимости закона Дарси

 

Закон Дарси справедлив при  соблюдении следующих условий:

1. пористая среда мелкозерниста и поровые каналы достаточно узки;
2. скорость фильтрации и градиент давления малы;

с)  изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

При повышении скорости движения жидкости  закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.

Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=war/h с его критическим значением Re_кр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: w -характерная скорость течения: а - характерный геометрический размер пористой среды; r - плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Приведём некоторые из данных зависимостей наиболее употребляемые в подземной гидромеханике:

а) Павловского

                                                 1.30

Критическое число  Рейнольдса Re_кр=7,5-9.

б) Щелкачёва

                                                       1.31

Критическое число Рейнольдса Re_кр=1-12.

в) Миллионщикова

                                                        1.32

Критическое число Рейнольдса Re_кр=0,022-0,29.

Скорость фильтрации u_кр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>u_кр соизмеримы с силами трения.

При обработке экспериментальных  данных для определения критической скорости пользуются безразмерным параметром Дарси

,                                                                1.33

представляющим отношение  сил вязкого трения к силе давления. В области действия закона Дарси данный параметр равен 1 и уменьшается при превышении числа Re критического значения.

Нижняя граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления увеличение скорости фильтрации происходит более быстро, чем по закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях  становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, н.п. устойчивые коллойдные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления t_н , называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой их них является модель с предельным градиентом

 

                                                          1.34

 

1.3.1.4. Законы  фильтрации при Re > Re_кр

 

От точности используемого  закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи сэтим в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение более общих, нелинейных законов фильтрации. Данные законы разделяются на одночленные и двухчленные.

Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида

                                                                       1.35

где C, n - постоянные, 1£ n £ 2.

Данные зависимости не удобны, т.к. параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим наибольшее употребление нашли двухчленые зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному, называемому формулой Краснопольского

 

                                                                  1.36

 

Коэффициенты А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае

 

                                                                1.37

где b - структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением

 

                                                                    1.38

 

1.3.2. Трещиноватая  среда

 

1.3.2.1. Линейный  закон фильтрации

 

В трещиноватых пластах скорость фильтрации связана со средней скоростью  через трещиноватость

u=m_тw.                                                                                 1.39

Средняя скорость выражается через  градиент давления по формуле Буссинеска при представлении течения по трещинам, как течения между двумя  плоскими параллельными пластинами

                                                                        1.40

Если использовать зависимости (1.39), (1.17), то получим линейный закон фильтрации в трещиноватых средах

 

                                                                 1.41

 

По аналогии с законом Дарси проницаемость  трещиноватых сред равна

                                                                        1.42

Для трещиновато-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма межзерновой и трещинной проницаемостей.

В разделе 1.2.3.2. отмечалась необходимость рассмотрения трещинно-пористой среды как деформируемой. При таком подходе проницаемость трещинного пласта будет также изменяться с изменением давления, а именно,

                                                       1.43

Необходимо отметить, что данная зависимость справедлива  при небольших изменениях давления. В более общем случае необходимо использовать экспоненциальную связь деформации трещин с давлением.