Подземная нефте-газовая гидродинамика

 

1.3.2.2. Границы  применимости линейного закона  фильтрации

 

Также как и в пористых средах в трещиноватых породах линейный закон может нарушаться при больших скоростях фильтрации из-за появления значительных по величине сил инерции. При этом значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости: для гладких трещин Re_кр=500, а для шероховатых - 0,4. Следует заметить, что если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь.

Для трещиноватой среды выражение  для числа Рейнольдса получается аналитически и равно

 

,                                                                     1.44

 

а Re_кр=0,4.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ  УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ

 

Аналитическое и численное исследование задач связано с применением основных законов течения в дифференциальной форме. Для процессов, происходящих в нефте-газовых пластах, характерно изменение основных параметров течения во времени. Такие процессы называются неустановившимися (нестационарными). Для получения дифференциальных уравнений движения выделяется бесконечно-малый элемент и рассматриваются законы сохранения массы, количества движения и энергии за бесконечно малый промежуток времени. При этом используются экспериментальные соотношения, определяющие зависимость силы трения, пористости и т.д. от параметров течения. Число уравнений должно равняться числу неизвестных параметров, что даёт замкнутую систему.

Для подземной гидромеханики  характерно изотермическое изменение  параметров вследствие значительных величин удельной поверхности коллекторов и их  теплоёмкости. Т.о. для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиваться уравнениями балланса массы (неразрывности) и движения.

Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны из-за значительных перепадов давления, проявления дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефте-газоотдачи.

Для замыкания системы  уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, а именно уравнений состояния флюидов и пористой среды. Кроме того для получения однозначного решения необходимо задание граничных и начальных условий.

В большинстве случаев  решение задач подземной гидродинамике  требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного течения удаётся получить аналитическое решение.

 

2.1. УРАВНЕНИЯ  ТЕЧЕНИЯ ДЛЯ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ

 

2.1.1. Общая система  уравнений

 

Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:

• уравнение неразрывности

;                                                                   2.1

уравнение движения в форме  Дарси

;                                                                      2.2

где р^*=р+zr`g, r u=dG / dt, G - расход массы жидкости в единицу времени через поверхность равного потенциала (массовый дебит).

В приведённой  системе уравнений k=const, h=const, т.е. среда изотропна. Для анизотропной среды слоистой структуры систему координат направляют по главным осям пласта, т.е. ось z - перпендикулярна слоям, а x, y - по плоскости слоя. В такой среде чаще рассматривают фильтрацию в предельных случаях: k_z=0 и k_z=¥. При k_z=0 - нет перетока газа через слои, а при k_z=¥  - dp / dz=0, т.е. давление в каждом поперечном сечении распределяется гидростатически, а компоненты скорости, параллельные х, у, распределены равномерно по поперечному сечению потока.

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановивщимся (нестационарным). При установившимся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации, пористость и т.д.) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Т.о. для установившейся  фильтрации и уравнение неразрывности примет вид

,                                                                              2.3

где ;

(a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; в сферических координатах - угол Q определяет изменение меридианного угла, а угол j - широтного.

Для несжимаемой  жидкости (r=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде

,                                                                               2.4

2.1.2. Уравнения  потенциального движения

 

Потенциалом поля скоростей фильтрационного течения  называется функция

.                                                                       2.5

Равенство (2.5) можно переписать в виде

 

                                                                              2.6

или, учитывая закон Дарси,

 

.                                                                          2.7

 

Здесь r`u - вектор массовой скорости фильтрации; gradj - градиент потенциала j, направленный в сторону быстрейшего возрастания j,

 

;

 

(a)- декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; i, j, k , e_Q , e_j , e_r , e_z - единичные вектора по осям координат x, y, z , Q, j, r  и z (цилиндрическая система ).

 Подставляя (2.7)в (2.1) получим

 

,                                                                            2.8

 

а для установившегося  течения

 

.                                                                                  2.9

 

Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа  относительно функции j, а оператор Dj оператором Лапласа.

Уравнение Лапласа  имеет два важных свойства, которые имеют большое практическое приложение, а именно:

 сумма частных  решений является также решением  уравнения Лапласа;

 произведение  частного решения на константу  - также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции.

 В скалярной  форме оператор Лапласа имеет вид

 

  ;

 

где: (a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты.

 

2.2. УРАВНЕНИЯ  ФЕЛЬТРАЦИИ ДЛЯ ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТОЙ  СРЕДЫ

 

2.2.1. Общая система  уравнений

 

В чисто трещиноватом пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещиновато-пористой среды следует учитывать характерные особенности такой среды (рис.1.2):

1. такой пласт моделируется системой двух сред  с порами разных масштабов (среда 1 - роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен -  пористые блоки; среда 2 - обычная пористая среда, образующая блоки);
2. между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещиновато-пористого пласта.

При этом предполагается, что  в каждом элементарном объёме трещиновато-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что  в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q_1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.

Для жидкости, находящейся  в трещинах, имеем

 

.                                                     2.10

 

Для жидкости в  пористых блоках

 

.                                                   2.11

 

Здесь q_1,2 - масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма с размерностью МL^-3T^-1.

Будем полагать, что q_1,2 пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред

 

q_1,2=Q (j₂ - j₁),                                                                      2.12

 

где Q - коэффициент переноса, размерности L^-2.

Для чисто трещиноватого  пласта считаем q_1,2=0 и тогда будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещиновато-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р₁=р₂=р получаем

 

                                                2.13

 

Для чисто трещинного пласта

 

,                                                                              2.14

 

2.3. НАЧАЛЬНЫЕ  И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

 

Выше было показано, что  уравнения фильтрации сводятся к  одному уравнению второго порядка  относительно потенциала. В связи с этим рассмотрим начальные и граничные условия для потенциала.

2.3.1. Начальные  условия

 

j=j_о(x,y,z) при t=0.                                                             2.15

Если при t=0 пласт не возмущён, то j=j_о=const.

2.3.2. Граничные  условия

 

Число граничных условий  равно порядку дифференциального  уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).

А) Внешняя граница  Г:

1)постоянный потенциал

 j(Г, t)=j_к=const;                                                                2.16

т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный переток массы  через границу (из уравнения  2.7)

G=Fr`u=const, т.е.                                                      2.17

3) переменный поток массы  через границу

                                                                                     2.18

 

 

4) замкнутая внешняя граница

                                                                                           2.19

5) бесконечный  пласт

lim_x®¥ j(Г,t)=j_к=const                                                               2.20

            _y®¥

 

В) Внутренняя граница

1) постоянный  потенциал на забое скважины, радиуса r_c

j(r_c , t)=j_c=const;                                                                        2.21

2) постоянный  массовый дебит (при условии  выполнения закона Дарси)

 

;                  2.22

3) переменный потенциал  на забое

j(r_c ,t)=f₂(t)   при    r=r_c;                                                                2.23

 

4) переменный массовый  дебит

;                                                                 2.24

5) не работающая скважина

;                                                                      2.25

Основные граничные условия - А1, А5  и  В1, В2.

2.4. ЗАМЫКАЮЩИЕ  СООТНОШЕНИЯ

 

Для полного замыкания  системы уравнений фильтрационного  течения необходимо знание зависимостей r, m, k, h от давления.

2.4.1. Зависимость  плотности  или уравнения состояния

 

Различают жидкости:

а) Несжимаемую r=соnst.                                                   2.26

в) Упругую, имеющую место  при нестационарных процессах отбора нефти за счёт расширения её объёма при снижении давления

 

,                                                                     2.27

где  b_ж - коэффициент объёмного расширения, , V_ж - объём жидкости; b_ж= (7-30)10^-10 Па^-1- для нефти и (2,7-5)10^-10Па^-1 для пластовой воды.

с) Сжимаемую жидкость - газ, имеющую место при разработки газовых и газоконденсатных залежей. До р_пл < 9 Мпа и    D р < 1 МПа можно использовать уравнеие состояния совершенного газа

 

р=r R T,                                                                                2.28

 

где R - газовая  постоянная, Т - температура.

Совершенный газ - это газ молекулы которого не имеют  объёма и не взаимодействуют между  собой.