Подземная нефте-газовая гидродинамика

 

.                                                        3.35

 

Если взять приближенное линейное уравнение состояния, то придём к тем же зависимостям между р и r , что и при однородной несжимаемой жидкости.

Массовый дебит для  упругой жидкости определяется из (3.5) при подстановке j из (3.14)

 

                                                                   3.36

 

Приближенная формула массового  дебита получаются при использовании  линейного уравнения состояния

 

                                                              3.36

Разделив G на плотность r, найдем объёмный дебит Q , приведённый к тому давлению, которому соответствует плотность r. Так, приводя объёмный дебит к стандартному давлению в 0,1013 МПа , делим G на r_ст . В этом случае формула (3.36) будет совпадать с формулой (3.21), справедливой для несжимаемой жидкости.

Пренебрегать сжимаемостью жидкости в установившемся потоке можно только при условии достаточно малой величины коэффициента b_ж и не очень большого перепада давления D р_с=р_к - р_с . В этом случае можно, как для несжимаемой жидкости, считать постоянным вдоль потока не только массовый дебит, но и объёмный. В противном случае вдоль потока: постоянен только массовый дебит; массовая скорость фильтрации изменяется по тому же закону, что скорость фильтрации для несжимаемой жидкости.

Время движения частицы упругой  жидкости рассчитывается так же, как  и для несжимаемой жидкости.

 

3.2.4.4. Течение  совершенного газа через недеформируемый  пласт

 

В данных условиях k=const, h=const, по (2.29) -r =r_cт р/ р_ст  и, согласно (3.15)   .  

 

В данной постановке имеем:

• Распределение давления из (3.10)

                                                            3.37

 

Если сравнить распределения  давления в случае потока газа с соответствующим распределением для однородной несжимаемой жидкости (рис. 3.9), то увидим, что для газа давление вблизи стенок скважины изменяется более резко, чем для несжимаемой жидкости. Пьезометрическая кривая для газа имеет, следовательно, более пологий характер на большем своём протяжении, чем кривая несжимаемой жидкости; однако у неё более резкий изгиб у стенки скважины, чем у кривой несжимаемой жидкости.  

• Уравнение притока

                                                                3.38

Если обе части уравнения (3.38) разделить на r_ст , то получим формулу для объёмного дебита, приведенного к стандартному давлению

                                                               3.39

Т.о. индикаторная зависимость для газа описывает линейную зависимость дебита от разницы квадратов пластового и забойного давлений в отличии от индикаторной зависимости для несжимаемой жидкости, где устанавливается линейная связь дебита с разницей самих значений пластового и забойного давленийэ

• Распределение градиента давления получим из (3.3)

.                                                                    3.40

Из данной формулы следует, что градиент давления вблизи забоя  резко возрастает как за счёт уменьшения r, так и за счёт падения давления р, вызванного сжимаемостью газа.

Изменение скорости фильтрации выведем из (2.7) при использовании уравнения состояния (2.29)

.                                                                     3.41

Из (3.41) видно, что  скорость фильтрации слабо меняется вдали от скважины и резко возрастает в призабойной зоне.

Уравнение индикаторной линии

Уравнение (3.39) устанавливает  линейную связь между дебитом  и разностью квадратов контурного и забойного давлений, поэтому для простоты исследований индикаторная диаграмма при фильтрации идеального газа по закону Дарси строится в координатах Q_ст –(р_к²-р_с²). В этом случае имеем прямую (рис.3.10) , проходящую через начало координат с угловым коэффициентом

.                       3.42

Преобразуем данное уравнение с целью анализа  вида данной индикаторной зависимости в координатах Q_ст – (р_к - р_с). Тогда Q_cт=a(р_к² - р_с²), но разность квадратов можно представить в виде р_к² - р_с² = 2р_кDр_с - (Dр_с)², где Dр_с= р_к - р_с . С учётом данного обстоятельства соотношение (3.39) перепишется в виде

,                                                 3.43

 

Т.о. для случая фильтрации совершенного газа по закону Дарси, имеем  параболу с осью, параллельной оси дебитов (рис.3.11). Ветвь параболы, изображенная пунктиром, физического смысла не имеет.

 

3.2.4.5. Реальный  газ и недеформируемый пласт

 

Следует использовать при  давлении р_пл>10МПа и депрессии на пласт р_с/р_к<0.9.

Как и в предыдущем случае полагаем k=const. Уравнение состояния реального газа имеет вид

р=zr R T .                                                                            2.30

или для изотермического  течения газа

,                                                                   3.16

Потенциальная функция имеет вид

,                                                               3.44

где `z  = (z<sub>c</sub>+z<sub>к</sub>) / 2; `h = (h_c+h_к) / 2; z_с =z(p_с), h_с =h(p_с),  z_к =z(p_к), h_к =h(p_к ).

Подставив в (3.9) выражение потенциала (3.44) и перейдя от массового дебита к объёмному, приведённому к стандартным условиям, Q_ст=G/r_cm получим уравнение притока                                                                                     

                                                            3.45

Полученное выражение для дебита реального газа отличается от выражения (3.39) совершенного газа среднепластовыми множителями `h   и `z. Если сравнить расчётные значения, то можно заметить, что дебиты реального газа ниже дебитов совершенного при тех же условиях. Для тяжелых углеводородов дебит природного газа может составлять всего лишь 72% дебита совершенного.

 

3.2.5. Анализ  одномерных  потоков при нелинейных законах  фильтрации

 

В области нарушения верхней границы закона Дарси необходимо использовать степенной или двухчленный законы фильтрации. В целях общности рассмотрим фильтрацию при двухчленном законе для случая плоско-радиального течения

,                                                                     3.46

где .

 

3.2.5.1. Несжимаемая  жидкость в недеформируемом пласте

 

Выразим скорость фильтрации через дебит Q

u=Q / (2p rh)

и перепишем выражение (3.46) в виде

.

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, в первом случае,  по радиусу от r до R_к  и по давлению от р до р_к , а, во втором случае, по радиусу от r_с до R_к  и по давлению от р_с до р_к, получим:

распределение давления в  пласте

;                              3.47

дебит скважины

.                                3.48

Дебит находится  как положительный корень квадратного  уравнения (3.48).  Из данного уравнения  видно, что индикаторная линия - парабола. Кривая распределения давления (3.47) - гипербола и воронка депрессии - гипербола вращения. Крутизна воронки депрессии у стенки скважины будет больше, чем у чисто логарифмической кривой при течении по закону Дарси.

 

3.2.5.2. Идеальный  газ в недеформируемом пласте

 

Найдём распределение  давления в круговом пласте и выведем формулу притока газа к скважине. С этой целью выразим скорость через приведённый объёмный расход

.                                        3.49

Подставим выражение (3.49) в (3.46) и заменив плотность по уравнению состояния (2.29) получим

.                                 3.50

Разделив переменные и проинтегрировав  в пределах р - р_с и r - r_c имеем

.               3.51  

Распределение давления по (3.51) отличается от распределения давления по закону Дарси наличием последнего члена, что диктует более резкое изменение давления в призабойной зоне.

Интегрируя уравнение(3.50) в пределах р_к - р_с и R_к - r_c получим выражение для притока при пренебрежении 1/R_к по сравнении с 1 / r_c

.                    3.52  

или в общепринятом виде

  .                                                    3.53 

Коэффициенты А и В определяют по данным исследования скважин при установившихся режимах.

3.2.5.3. Однородная несжимаемая  жидкость в деформируемом (трещиноватом)  пласте

 

Для трещиноватой среды двухчленный закон записывается в виде

 

,                                                                1.46

где ; l_бл - средний линейный размер блока.

Умножим все члены (1.46) на плотность r и вынесем за скобки вязкость h. Тогда применительно к плоско-радиальному потоку получим:

,                                 3.54

где .

После разделения переменных и интегрирования (3.54) в  пределах r_c - r_к ; j_с - j_к  получим

,   3.56

 Если в  (3.56) подставим выражение для трещинной  проницаемости и выразим массовый  дебит через объёмный, то будем  иметь окончательное выражение

  3.57

Как видно из (3.57), индикаторная кривая в этом случае определяется в результате сложения двух парабол - параболы четвёртого порядка, симметричной относительно оси, параллельной оси  дебитов, и параболы второго порядка (относительно дебита Q) симметричной относительно оси, параллельной оси депрессий (Dр_с) и отстоящей от последней на расстоянии, равном

 

.

3.2.5.4. Идеальный газ в  деформируемом (трещиноватом)  пласте

 

Из (3.56) при подстановке выражений для плотности, проницаемости и приведённого к стандартным условиям объёмного дебита можно получить следующее выражение

 

.            3.58

 

3.2.6. Фильтрация  в неоднородных средах.

 

В продуктивных пластах в  различных точках проницаемость не одинакова. При мелкомасштабном хаотичном изменении фильтрационных характеристик по пласту пласт считается в среднем однородно-проницаемым.

Пласт называется макронеоднородным, если его фильтрационные характеристики (проницаемость, пористость) значительно, скачкообразно отличаются в разных областях.

Различают следующие виды макронеоднородности:

а) Слоистая неоднородность (многослойный пласт), т.е. неоднородность по толщине пласта. Предполагается, что пропластки разделены непроницаемыми границами - гидравлически изолированы, либо учитываются перетоки между слоями различной проницаемости - гидравлически сообщающиеся; поток в каждом пропластке - прямолинейно-параллельный или плоско-радиальный; в пределах каждого пропластка фильтрационные параметры постоянны, а на границе соседних они претерпевают скачок.

Если течение потенциально, то полный дебит пласта определяется как сумма дебитов всех пропластков. При практических расчетах указанный  многослойный пласт можно заменить квазиоднородным с эффективной проницаемостью

,                                                                    3.58

где k_i , h_i - проницаемость и эффективная толщина i-го пропластка, h- эффективная толщина всего пласта.

б) Зональная неоднородность - пласт по площади состоит из нескольких зон различных фильтрационных параметрах, на границах которых данные параметры меняются скачкообразно.

Согласно уравнению неразрывности  массовый дебит постоянен и равен:

• при прямолинейно-параллельном потоке

;                                                                  3.59