Подземная нефте-газовая гидродинамика

При изотермическом процессе (Т= const ) используют соотношение

r =r_cт р/ р_ст.                                                                           2.29

 

Если р_пл > 9 Мпа, то надо использовать обобщённое уравнение состояния реального газа

 

р=zr R T,                                                                                2.30

 

где z - коэффициент сверхсжимаемости, являющийся функцией давления при изотермическом течении

 

  ,                                                                     2.31

 

2.4.2. Зависимость  вязкости от давления

 

До давления меньшего давления насыщения  вязкость можно принимать не зависящей от давления, а при больших значениях давления

 

,                                                                  2.32

 

2.4.3.  Зависимость  пористости от давления

 

Пористость связана в первую очередь с давлением между  частицами пористой среды - эффективным  давлением s_эф, передающимся через поверхности контакта зёрен породы. Считается,что

 

s_эф+р_пл=р_горн=const.                                                           2.33

 

Здесь р - поровое давление; р_горн= r_горн g H -горное давление, возникающее под действием масс горных пород над кровлей пласта средней плотности r_горн; Н - глубина залегания пласта.

При разработке р_пл падает и, согласно (2.34), растёт s_эф. Увеличение s_эф приводит к деформации пласта, а именно, переупаковке зёрен в сторону уплотнения и даже их разрушения. Принимается, что

 

,                                                                 2.34

 

где b_т - коэффициент объёмной упругости породы с пределами изменения (0,3 - 2)10^-10Па^-1.

 

2.4.4. Зависимость  проницаемости от давления

 

В связи с уменьшением пористости при увеличении давления, также по аналогичному закону уменьшается проницаемость

 

,                                                                  2.35

 

При D р < 10 Мпа показатель в (2.27, 2.31 -2.34) меньше 1 и, следовательно, данные экспоненциальные зависимости можно разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь первыми двумя членами, получим

 

,                                                            2.36

 

где j - общее обозначение выше приведённых параметров.

3. УСТАНОВИВШАЯСЯ  ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

 

При данных условиях

 

 ¶ / ¶ t=0 и Dj=0.                                                                  3.

 

3.1. Виды одномерных  потоков

 

Одномерным называется поток, в котором параметры являются функцией только одной пространственной координаты, направленной по линии тока. К одномерным потокам относятся:

1. прямолинейно-параллельный:
2. плоскорадиальный;
3. радиально-сферический.

3.1.1. Описание  одномерных потоков

 

1.Прямолинейно-параллельный  поток. Траектории всех частиц жидкости - параллельные прямые, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока равны между собой, поверхности равных потенциалов (эквипотенциальные поверхности) и поверхности равных скоростей (изотахи) являются плоскими поверхностями перпендикулярными траекториям. Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока идентичны, а потому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за ось координат - ось х.

Примеры.

 

 

 а) Пласт (рис.3.1) имеет  в плане полосообразную форму  шириной B и длиной L, толщина пласта h постоянна, граничный контур непроницаем и непроницаемы кровля и подошва пласта. Батарея эксплуатационных скважин  расположена параллельно начальному контуру нефтеносности. Приближение тем больше, чем меньше расстояние между скважинами и если заменить батарею сплошной прямолинейной выработкой - галереей, то движение жидкости к галерее будет строго прямолинейно-параллельным.

б) Поток между круговыми  батареями нагнетательных и эксплуатационных скважин  в случае больших радиусов батарей (угол схождения векторов скорости бесконечно мал). При этом толщина пласта постоянна, а его кровля и подошва непроницаемы.

в) в лабораторных условиях при течении через цилиндрический керн или прямую трубу постоянного  сечения, заполненную пористой средой.

 

2. Плоскорадиальный поток. Траектории всех частиц жидкости - прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру скважины,  а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока параллельны и равны между собой; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют цилиндрические окружности с осью, совпадающей с осью скважины. Схемы линий тока в любой горизонтальной плоскости потока будут идентичными и для характеристики потока достаточно рассмотреть движение жидкости в одной горизонтальной плоскости.

 

Примеры.

 

а) Горизонтальный пласт постоянной толщины (h) и неограниченной протяженности, подошва и кровля пласта непроницаемы. Пласт вскрыт единственной гидродинамически совершенной скважиной (рис. 3.2), т.е. вскрыт на всю толщину и забой полностью открыт. Для эксплуатационной скважины поток - радиально-сходящий, а для нагнетательной - радиально-расходящий. Плоско-радиальным потоком будет занята вся зона от стенки скважины до контура питания.

б) Гидродинамически- несовершенная скважина - вблизи скважины линии тока искривляются и поток можно считать плоско-радиальным только при некотором удалении от скважины.

в) Круговая батарея эксплуатационных скважин - поток плоско-радиален на некотором удалении, т.к. жидкость движется как бы к укрупнённой скважине радиуса, равного радиусу окружности батареи.

 

3. Радиально-сферический поток. Траектории всех частиц жидкости - прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру полусферического забоя; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют сферические поверхности. Скорость фильтрации в любой точке потока является функцией только расстояния этой точки от центра забоя. Следовательно, этот вид фильтрационного потока также является одномерным.

 

 Такой поток может  реализовываться, когда скважина  вскрывает только плоскую горизонтальную, непроницаемую кровлю пласта (рис.3.3). Пласт при этом должен быть неограниченной толщины, а забой иметь полусферическую форму. Приближение к данному виду потока тем лучше, чем глубина вскрытия меньше толщины пласта.

 

Описанные три вида одномерного потока играют большую роль при решении многих задач нефте-газопромысловой практики. Они лежат в основе ряда исследований закономерностей течения жидкости в пласте в зависимости от принятой системы разработки или от конструктивных особенностей скважин. Естественно, моделируя каждый из трёх видов одномерного потока, мы прибегаем к некоторой схематизации реальных пластов и течений жидкости. Тем не менее рассмотренные схемы не только воспроизводят хотя и приближенно простейшие случаи течения жидкости в реальном пласте, но и помогают изучать более сложные виды потоков пластовой жидкости в тех случаях, в которых сложный фильтрационный поток удобно представить себе состоящим из простейших видов потока.

К числу сложных потоков  можно отнести: плоский фильтрационный поток в случае, когда число  скважин не менее двух; многофазные  течения и т.д.

 

3.2. ИССЛЕДОВАНИЕ  ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ

 

3.2.1. Задача исследования

 

Задача исследования установившегося  фильтрационного потока заключается в определении дебита (расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объёму порового пространства пластового давления.

 

3.2.2. Решение  общего дифференциального уравнения  установившегося потенциального  одномерного потока. Показатель  формы потока

 

При условии вытеснения флюида из пласта или его нагнетания в пласт через галерею или скважину условимся принимать за координату произвольной точки пласта расстояние r до этой точки от:

1. галереи (для прямолинейно- параллельного потока);
2. центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы пласта) фильтрации (для плоско-радиального потока);
3. центра полусферического забоя скважины (для сферически-радиального потока).

В случае одномерного потока пласт представляется своего рода укрупнённой трубкой тока, а из условия неразрывности потока следует, что при установившейся одномерной фильтрации расход массы жидкости в единицу времени (массовый дебит G) через все изобарические (эквипотенциальные) поверхности, определяемые уравнением r=const, в трубке тока будет один и тот же. Т.о.

 r u= G /F( r ),                                                                       3.2

где F=F( r ) - площадь эквипотенциальной поверхности в функции координаты r. Отметим, в данном случае средняя скорость фильтрации на некоторой эквипотенциальной поверхности совпадает со скоростью фильтрации в любой точке этой поверхности.

Определим величину площади F для различных видов одномерных потоков:

 прямолинейно-параллельный  поток  - F( r )=Bh;

 плоско-радиальный  поток                 - F( r ) =2p h r;

 радиально-сферический поток           - F( r ) = 2p r².

Обратившись к  уравнению (2.7) следует отметить, что  положительный массовый дебит будет  в тех случаях, когда r отсчитывается от стока, т.е. галерея или скважина - эксплуатационная. Приравнивая правые части (2.7) и (3.2), получим общее дифференциальное  уравнение трех простейших видов потенциального одномерного потока:

 

                                                                              3.3

 

где А и j имеют значения:                    

• прямолинейно-параллельный поток  - A=Bh, j=0;
• плоско-радиальный  поток                 - A =2p h,  j=1;
• радиально-сферический поток           - A = 2p,  j=2.

Параметр j получил название показателя формы потока, т.к. характеризует вид одномерного течения.

Разделив в (3.3) переменные и проинтегрировав, получим

 

,                                                                   3.4

 

где С - произвольная постоянная, определяемая из граничных условий.

Из формулы (3.4) следует, что  она верна при значениях j=0;2. При j=1 (плоско-радиальный поток) интегрирование (3.3) даёт

 

.                                                                    3.5

 

Найдем единственное решение, соответствующее заданным граничным  условиям, т.е. определим постоянную С. Наиболее часто представляются следующие два варианта задачи.

1. Известны: постоянный массовый дебит G и значение потенциала j  на одной из граничных поверхностей рассматриваемой области пласта, например, на питающем контуре (пластовое значение потенциала) эксплуатационной галереи или скважины ( G=G₀=const,  j =  j _к  при r=r_к ).

Подставляя данные значения в (3.4) получим

 

.                                                       3.6

 

Для замыкания данного уравнения необходимо соотношение для массового дебита

G=G₀=const.

2. Известны: значения потенциалов  на двух граничных поверхностях  пласта, например, на забое скважины  и на границе пласта с областью  питания (на контуре питания). Т.о. j = j _с  при r=r_c ;   j =  j _к  при   r=R_к . Подставляя в равенство (3.4) один раз значения R_к  и j _к, а другой раз значения j _с и r_c, исключая  из двух полученных уравнений постоянную С, найдём массовый дебит G или объёмный дебит Q:

                                                           3.7

 

где значения А  и j приведены выше.

Исключая из (3.6) величину G / A, при помощи формулы (3.7) получим

 

.                                                      3.8

 

По (3.8) можно определить значение потенциала для любой точки пласта с координатой r, если дебит не известен.