Подземная нефте-газовая гидродинамика

В случае плоско-радиального  потока (j=1) соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства:

                                                                  3.9                                                                          

 

                                                                3.10                                                                       

 

Т.о., формулы (3.9), (3.10) действительны  только для плоско-радиального потенциального потока любой жидкости. Для других видов одномерного движения имеем формулы (3.7), (3.8). Распределение градиента потенциала описывается зависимостью (3.3).

 

3.2.3. Потенциальные функции

 

В предыдущем разделе были получены соотношения , определяющие массовый дебит (3.7, 3.9),  распределения потенциала (3.8, 3.10) и градиента потенциала (3.3). В тоже время для задач исследования необходимо определение объёмного дебита, давления и скорости фильтрации. В связи с этим определим выражения потенциальной функции

 

.                                                                     2.5

 

для случаев флюидов различной  физической природы (жидкость или газ), а также различных типов коллекторов (пористые или трещиноватые).

 

3.2.3.1.  Несжимаемая  жидкость и недеформируемый пласт

В данном случае k=const, r=const, и кроме того для простоты будем считать h=const. Т.о

 

.                                                                         3.11

 

3.2.3.2. Несжимаемая  жидкость и трещиноватый (деформируемый)  пласт

 

Для данных условий r=const и как в предыдущем случае считаем h=const, но

                                                         1.43

 

где b^*  изменяется в пределах от 0,01^.10^-5 м²/н до 0,006^.10^-5 м²/н.  

 В таком  случае

 

.                                               3.12

 

3.2.3.3. Упругая  жидкость и недеформируемый пласт

 

Считаем k=const, h=const, но

 

,                                                                     2.27

 

или

.                                                                             3.13

В этом случае

 

.                                                                      3.14

 

3.2.3.4. Совершенный  газ и недеформируемый пласт

 

В данных условиях k=const, h=const, но при изотермической фильтрации

 

r =r_cт р/ р_ст.                                                                          2.29

 

При подстановке выражения (2.29) в (2.5) имеем после интегрирования

 

.                                                                 3.15

 

Данная потенциальная функция  получила название функции Лейбензона по имени автора впервые её предложившего.

 

3.2.3.5. Реальный  газ и недеформируемый пласт

 

Как и в предыдущем случае полагаем k=const. Уравнение состояния реального газа имеет вид

 

р=zr R T .                                                                             2.30

 

В случае изотермического  течения газа справедливо следующая  модификация данного уравнения

,                                                                3.16

 

где z(p_cm) полагают равным 1.

С учетом (3.16) потенциальная функция запишется в виде

,                                                                  3.17

где .

Для вычисления интеграла f(p) наиболее часто применяется следующий способ: по графикам или эмпирическим зависимостям z(p), h(p) определяются значения z(p_с) = z_с , h(p_с)= h_с , z(p_к) = z_к , h(p_к)= h_к ; переменные z , h под знаком интеграла заменяются постоянными, равными z = (z_c+z_r) / 2; h = (h_c+h_к) / 2. В этом случае можно вычислить интеграл f

.                                                                           3.18  

 

3.2.4. Анализ основных  видов одномерного течения по  закону Дарси

 

Для практического  исследования фильтрационных потоков необходимо знать распределение не абстрактной функции - потенциала, а конкретных физических параметров - давления, скорости, закона движения и т.д. Следовательно необходим переход от зависимостей (3.3, 3.7-3.10) к зависимостям, определяющим выше перечисленные параметры при использовании, приведенных в  разделе 3.2.3.  выражений для потенциальной функции.

В связи с тем, что для  разработки месторождений наибольшее значение имеет плоско-радиальный тип  течения (приток к скважине), то ограничимся получением указанных зависимостей для данного вида течения. При этом исходными будут уравнения:

• изменения потенциальной функции                                                              3.10  

где ;                                                                  

• притока                                                                         3.9  
• изменения градиента потенциала

 

.                                                                           3.3

 

3.2.4.1. Течение несжимаемой жидкости через недеформируемый пласт

В данном случае k=const, r=const , h=const,

.                                                                         3.11

Следовательно:

 распределение  давления

                                         3.19  

 

 градиент  давления

 

                                                                                3.20

 

 объёмный дебит (формула  Дюпюи)

 

                                                                         3.21

 скорость фильтрации 

 

                                                               3.22

 

 закон движения частиц  флюида

 

Движение частицы описывается  уравнением .

Интегрируем данное соотношение  по времени от 0 до t и по расстоянию от R₀ до r, где R₀ - начальное положение частицы флюида. В результате получим

 

.                                                               3.23

Время отбора всей жидкости из кругового пласта

.                                                                 3.24

• средневзвешенное давление

  .                                                               3.25

С целью получения выражения  для средневзвешенного давления определим

 

                     3.26

 

и, подставив в (3.25) выражение (3.19),  проинтегрируем от r_c  до  r_к. Пренебрегая r_с по сравнению с  r_к получим

 

.                                                                              3.27

 

 

Анализ:

Дебит не зависит  от r, а только от депрессии d р_к. График зависимости Q от d р_к  (Рис.3.4) называется индикаторной  диаграммой, а сама зависимость - индикаторной. Отношение дебита к депрессии называется коэффициентом продуктивности скважины

.                                               3.28

 

 

2. Градиент давления и  скорость обратно пропорциональны  расстоянию (рис.3.5) и образуют гиперболу с резким  возрастанием значений при приближении к забою.

3. Графиком зависимости р=р( r ) является логарифмическая кривая

(рис.3.6), вращением которой  вокруг оси скважины образуется  поверхность, называемая  воронкой депрессии. Отсюда, основное влияние на дебит оказывает состояние призабойной зоны, что и обеспечивает эффективность методов интенсификации притока.

4. Изобары - концентрические,  цилиндрические поверхности, ортогональные траекториям.

1. Дебит слабо зависит от величины радиуса контура r_к для достаточно больших значений r_к /r_c,  т.к. r_к /r_c входят в формулу под знаком логарифма.

 3.2.4.2. Течение несжимаемой жидкости в трещиноватом (деформируемом) пласте

 

Для данных условий r=const , h=const, и  

.                                              3.12

 

Основные зависимости:

 распределение давления

                                                             3.29 

 

 

• градиент давления

                                              3.30

 

 

 

 

 

•  объёмный дебит (формула Дюпюи)

 

,                                                              3.31

где знаки перед выражением в правой части зависят от того, является ли скважина эксплуатационной или нагнетательной;

• скорость фильтрации

 

                                                         3.32

При малых депрессиях на пласт  из-за малости b^* можно считать, что

 

и тогда зависимость для  давления  (3.29) переходит в вид, аналогичный распределению давления в недеформируемом пласте.

При b^*=0, т.е. для недеформируемого трещиноватого пласта, после раскрытия неопределённости в формуле(3.31) получаем формулу Дюпюи.

Анализ:

1. В общем случае воронка  депрессии для деформируемого  пласта более  крутая, чем для недеформируемого пористого (рис. 3.7). Указанный характер графиков подтверждает, что в деформирумом трещиноватом пласте, за счет уменьшения раскрытости трещин, при снижении пластового давления возникают дополнительные фильтрационные сопротивления, вызывающие резкое понижение давления на сравнительно небольшом расстоянии от скважины, причем более резко снижается давление в пласте с большим b^*.

2. Из формулы для объёмного  дебита (3.31) следует, что индикаторная  кривая - парабола четвёртого порядка с координатами вершины:

.                                                    3.33

Парабола проходит через начало координат, симметрична относительно оси, параллельной оси дебитов; вторая ветвь смысла не имеет (рис.3.8). Однако, если учесть реальные пластовые условия (полного смыкания трещин не происходит: не учитываются факторы, связанные с изменением характеристик течения из-за изменения раскрытия трещин в направлении потока), то можно говорить только о приближённом выполнении экстремальных условий (3.33).

3. Комплексный параметр b^* можно определить или графоаналитически или непосредственно из (3.31), взяв по индикаторной кривой два известных значениях дебита Q₁ и Q₂ при двух значениях депрессии Dр_с1 , Dр_с2 , т.е. из соотношения

.                                                        3.34

По найденному b^* можно из уравнения (3.31) определить проницаемость k⁰_т.

 

3.2.4.3. Потенциальное  движение упругой жидкости через  недеформируемый пласт

 

Считаем k=const, h=const, но

.                                                                     3.14

Подобно тому как  в случае однородной несжимаемой  жидкости существует линейная зависимость между потенциалом j и давлением р, так в установившимся потоке малосжимаемой жидкости существует линейная зависимость между j и плотностью r . Это означает, что для упругой жидкости зависимость между r координатой r выражается точно теми же формулами, какими выражается зависимость между р и r при однородной несжимаемой жидкости. Чтобы найти зависимость для давления подставим в уравнения, связывающие переменные r и r, значения r,r_к и r_с, определяемые уравнением состояния (2.27). Тогда для плоскорадиального течения имеем