Квадратные уравнения с параметрами

     (сумма  корней приведенного квадратного  уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно  свободному члену).

     С помощью теоремы Виета выводится  формула разложения квадратного  трехчлена на множители.

     Теорема 3.

     Если  х₁ и х₂ – корни квадратного трехчлена ах² + bх + с, то справедливо 

     Обратное  утверждение теоремы Виета: если х₁, х₂ таковы, что

       то эти числа – корни уравнения  

     Пример 5. Решить уравнение х² – 4х + 3 = 0

     Решение. По теореме Виета

     Ответ: = 3, = 1. 

     1.4. Квадратное уравнение с параметрами.

     Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления у школьников, но их решение вызывает затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.

     Если  в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми  значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение с параметром.

     Решить  уравнение – значит найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное (x, y, z), содержат другие буквы, называемые параметрами (a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.

     При одних значениях параметров уравнения  не имеет корней, при других - имеет только один корень, при третьих - два корня, при четвертых - бесконечно много корней.

     Существенным  этапом решения уравнений с параметрами  является запись ответа. Составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

     Рассмотрим  основные типы уравнений с параметрами

     Тип 1. Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

     Тип 2. Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

     При решении задач данного типа нет  необходимости ни решать заданные уравнения, их системы и совокупности и т.д., ни приводить эти решения; такая  лишняя в большинстве случаев  работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако иногда прямое решение  в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения  ответа при решении задач типа 2.

     Тип 3. Уравнения, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

     Очевидно, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам    типа 2.

     Тип 4. Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

     Например, найти значения параметра, при которых:

     1) уравнение выполняется для любого  значения переменной из заданного  промежутка;

     2) множество решений первого уравнения  является подмножеством множества  решений второго уравнения и  т.д.

     Наиболее  часто встречающий тип уравнения с параметром – задачи с одной неизвестной и одним параметром.

     Рассмотрим  квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, учитывая, что параметры а, b и с определяют не только существование и количество корней, но и степень уравнения.

     Используя известные свойства дискриминанта D, с учетом того, что уравнение может стать линейным (при а = 0) и квадратным (при а≠0), составим таблицу зависимости между коэффициентами квадратного уравнения и числом его корней (табл.1).

     Таблица 1 - Зависимость между коэффициентами квадратного уравнения и числом его корней.

     

Уравнение ах2 + bх + с = 0	Условия на а, b, c, D
Имеет два различных корня	а ≠ 0, D >0
Имеет единственное решение	а ≠ 0, D = 0 а = 0, b ≠ 0
Не имеет корней	а ≠ 0, D < 0 a = b = 0, c ≠ 0
Имеет бесчисленное множество корней.	a = b = с = 0

     На  основе теоремы  Виета и обратного  ему утверждения составим таблицу условий знакопеременности корней (табл. 2).

     Таблица 2 – Условия знакопеременности корней

     

Корни квадратного уравнения  ах2 + bх + с = 0	Условия на а, b, c, D
Имеют положительные знаки	D ≥ 0,  0, - 0
Имеют отрицательные знаки	D ≥ 0,  0, - 0
Имеют разные знаки	D ≥ 0,  0

 

     Решить  уравнение с параметром – значит указать, при каких допустимых значениях параметра существуют решения, выяснить их число, каковы они; кроме того, обычно при решении уравнений с параметром необходимо выяснить, при каких допустимых значениях параметра решений нет.

     Для понимания сущности и структуры  задач с параметрами важное значение имеет определение понятия «параметр». Неопределенность ключевого понятия не позволяет в полной мере реализовать их методические и дидактические возможности.

     В связи с этим, в широком смысле под параметром в математической задаче понимается математический объект, количественно и качественно  характеризующий задачу и влияющий как на процесс, так и на результат  ее решения.

     В рамках условия конкретной алгебраической задачи параметр можно рассматривать  в качестве:

1. Фиксированного, но неизвестного числа;
2. Независимой переменной (или функции);
3. Алгебраического выражения.

     Главная задача параметра заключается в  его неопределенности. Степень неопределенности зависит от условия конкретной задачи. Решить задачу с параметром – значит указать ее решение для каждого  значения параметра из заданного  множества, называемого областью изменения  параметра.

1. Алгебраические задачи с параметрами представляют собой содержательный математический объект для исследования.
2. Обобщенным методом решения задач с параметрами является исследовательский анализ, основу которого составляют функциональный подход и комплексное использование аналитических и конструктивных приемов.
3. Исследовательский анализ выражения F(х, а) с двумя переменными позволяет получить достаточно рациональное решение задач с параметрами.

          У учащихся возникают трудности на этапе систематизации полученных результатов, в том числе и при записи ответов. Для решения этой трудности наиболее рационально использовать графический способ. С целью ее преодоления используется прием получения результата с одновременным изображением его на координатной плоскости.

     Рассмотрим основные методы решения задач с параметром.

     I. Аналитический метод. Этот метод так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра, используя специальные формулы вычисления корней и свойства квадратного уравнения.

     Покажем суть данного метода на конкретном примере.

     Пример 6. Решить уравнение ах² + 3ах – (а+2) = 0, для любого значения параметра.

     При а = 0, -2 = 0, корней нет.

     При а ≠ 0, D = 9а² + 4а(а+2) = а(13а + 8).

     Если D>0, то при а(-∞;-8/13)U(0;∞):

     х₁ = a(-3а +), х₂ =   а(-3а -);

     Если D = 0, то при а = - :

     х₁ = х₂ = - ;

     Если D < 0, то при а  (- ;0]  корней нет.

     Ответ:  х₁ = a(-3а +), х₂ = а(-3а - ) при             а (-∞;)U(0;∞);

                 х₁ = х₂ = -   при а = - ; 

                 х Ø при а (- ; 0].               

     II. Графический метод. В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости

     (х; у), или в координатной плоскости (х; а).

     Рассмотрим  пример задачи, для решения которой  используется графический метод.

     Пример 7. При каких значениях параметра а (а  ≥ 3) произведение корней уравнения х² + 2х достигает наименьшего значения?

     Решение. Искомое значение параметра а найдем из условий:

       

      

     Чтобы не ошибиться, обеспечим наглядность  полученной задачи. Для этого в  системе координат (а, у) построим параболу у = - а² + 3а – 3 и отметим значения параметра а, а ≤ 1 или а ≥ 3.(рис. 5)

             

                         
 

             
 
 
 
 
 
 
 

     (рис. 5) 

     Наибольшее  значение функции у = - а² + 3а – 3 при а ≥ 3 равно -3.

     Ответ: при а=3 f(3)=-3 – наименьшее значение

     Рассмотрим  некоторые примеры решения квадратных уравнений с параметрами.

     Пример 8. Решить уравнение (а – 1)х² + (а + 1)х + а + 1 = 0.

1. Решение. При а = 1 уравнение имеет вид 2х + 2 = 0, его корень

     х = -1.

2. При а ≠ 1 уравнение является квадратным. Найдем дискриминант:

     D = (a + 1)² – 4(a – 1)(a + 1) = (a + 1)(а + 1 – 4а + 4) = (а + 1)(5 – 3а).

     Отметим на числовой прямой знаки дискриминанта: 
 
 
 

     При а (-∞; -1) U (; +∞) D < 0 и уравнение не имеет корней.

     При а  [-1; 1] U (1; ] D ≥ 0 и уравнение имеет два действительных корня

     х_1,2 = .

     Ответ: при а = 1 х = -1;

                при  а (-∞; -1) U (; +∞) корней нет;

                при а  [-1; 1] U (1; ]  х_1,2 = . 
 

     Пример 9. Найти все значения параметра р, при каждом из которых квадратное уравнение рх² + х + 2 = 0 имеет ровно одно решение.

     Решение. При р ≠ 0 исходное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант равен нулю. Получаем D = 1 – 8p = 0,  откуда р = 1/8.

     При р = 0 исходное уравнение становиться линейным, поэтому этот случай не рассматриваем.

     Ответ: при р = 1/8 уравнение имеет ровно одно решение.

     Пример  10. Найти все значения параметра р, при каждом из которых квадратное уравнение рх² + х + 2 = 0 имеет ровно одно решение.

     Решение. При р ≠ 0 исходное уравнение имеет ровно одно решение, если его дискриминант равен нулю. Получаем D = 1 – 8p = 0,  откуда р = .

     При р = 0 исходное уравнение становиться линейным, поэтому этот случай не рассматриваем.