Квадратные уравнения с параметрами

     а) 3х² + 2х – 1 = 0

     D = 4 - 4∙3∙(-1) = 16    (два корня)

     б) 7х² – 4х + 1 = 0

     D = 16 - 4∙7∙1 < 0       (действительных корней нет)

     в) 16х² – 8х + 1 = 0

     D = 64 – 64 = 0          (один корень)

3. Изучение нового материала и решение задач

     Учитель: Давайте решим такую задачу: при каких значениях уравнения являются квадратным:

     Выяснить, являются ли квадратным уравнением

     5b(b-2)x² + (5b-2)x – 16 = 0  при

     а) b=1; б) b=2; в) b=0,4; г) b=0?

     Решения:

     а) b=1, -5х²+3х-16=0 – квадратное уравнение;

     б) b=2, 0х²+8х-16=0

                 8х – 16 = 0 – линейное уравнение;

     в) b = 0,4; 2(-1,6)х² + 0х – 16 = 0

                  -3,8х² – 16 = 0 – квадратное уравнение, оно является неполным:

     г) b=0, -2х-16=0 – линейное уравнение.

     Учитель: Итак, ребята, в зависимости от значений параметра b, уравнение может быть квадратным или линейным уравнением.

     Параметры мы ранее использовали при изучении некоторых тем, сегодня мы подробнее  рассмотрим их при решении простейших квадратных уравнений с параметрами.

     Что же такое параметр? (учитель дает определение параметра, дети записывают).

     Определение: под параметрами мы понимаем входящие в алгебраические выражения величины, численные значения которых явно не заданы, однако считаются принадлежащими определенным числовым множествам.

     Решить  уравнение с параметром – значит указать, при каких допустимых значениях  параметра существуют решения, выяснить их число, каковы они; кроме того, обычно при решении уравнений с параметром необходимо выяснить, при каких допустимых значениях параметра решений  нет.

     Учитель предлагает рассмотреть конкретные примеры.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение ах(ах+3)+6=х(ах-6)

(2) является:

     а) квадратным;

     б) неполным квадратным;

     в) линейным

     Решение: Преобразуем уравнения, приведя его к стандартному виду:

     ах(ах+3)+6 = х(ах-6),

     а²х² +3ах +6 = ах² – 6х,

     х²(а² – а) + 3х(а+2) +6 = 0.

     а) Уравнение является квадратным,  если:

     =>

     б) Уравнение является неполным квадратным, если:

       =>     или   =>  

     в) Уравнение является линейным, если:

      =>

     Ответ: при а ≠ 1 и а ≠ -2 или при а ≠ 0 и а ≠ -2 уравнение (2) – квадратное;

                при а = 1 и а ≠ -2 или при а = 0 и а ≠ -2 уравнение (2) – неполное           

                квадратное;

                при а = 1, а = 0 и а = -2 уравнение (2) – линейное.

     Пример 3.При каких значениях параметра b  уравнение bx² – bx + b = 0

     а) имеет корни; б) не имеет корней?

     Решение:bx² – bx + b = 0,

     D = b² - 4∙b∙b = -3b^2,

     а) -3b² ≥ 0  │: (-3),

     b² ≥ 0, следовательно, b = 0 => уравнение bx² – bx + b = 0 имеет корни.

     б) -3b² < 0 │ : (-3),

     b² > 0 -  при любых значениях b, кроме нуля,

     если b € ( -∞; 0) U (0; +∞), то исходное уравнение корней не имеет.

     Подведем  итог сегодняшнего нашего урока:

     -мы  повторили квадратные уравнения;

     - перешли к изучению квадратных  уравнений с параметрами;

     - рассмотрели примеры, содержащие  параметр.

     Домашнее  задание:

Выясните  вид уравнения 2ах(х-1) + х(ах-12) = 3х + 8 относительно х при:

     а) а=1, б) а=-6, в) а=-2, г) а=0.

       Решите его для каждого случая.

     Ответ:

     а) линейное уравнение; х=-4/7;

     б) квадратное уравнение; корней нет;

     в) квадратное уравнение; х₁=х₂= -2/3;

     в) квадратное уравнение; х₁ = ,

                                                 х₂ = - 2 + .

     Урок 2. Решение квадратных уравнений с параметрами по типам.

     Решение для любого значения параметра.

     Цели  урока:

     - формировать навыки решения квадратных уравнений, содержащих параметр;

     -  развивать умение учащихся самостоятельно  работать.

     Тип урока: урок-закрепление.

     Ход урока:

1. Организационный момент
2. Повторение

     Перед тем как приступить к решению  уравнений, давайте повторим. Что же такое параметр? ( учитель спрашивает у одного из учеников).

     Ученик  отвечает определение параметра. Следующий  вопрос учителя к ученикам: что  значит решить уравнение с параметром. Один из учеников отвечает.

3. Решение задач

     Учитель: наша цель сегодняшнего урока рассмотреть другие виды уравнения, которые содержат параметр.

     Учитель записывает первый пример на доске, детям  дается две минуты, чтобы записать и подумать с чего можно начать решение.

     Пример 1. Решить уравнение а(а + 2)х² + 2х – а² + 1 = 0.

     Решение:

     1. а(а + 2) 0, т.е. а ≠ 0 и а ≠ -2;

       D = 1 + (а² – 1) ∙ а ∙ (а + 2) = а⁴ + 2а³ – а² – 2а + 1 = (а² + а – 1)² ≥ 0 при любом значении а, значит уравнение имеет два действительных корня:

     х_1,2 = => х₁ = , х₂ = - .

     2. а(а + 2) = 0, т.е. а = 0 или а = -2:

     1) а = 0, 2х + 1 = 0, корень х_о = - ;

     2) а = -2, 2х – 3 = 0, корень х₀ = .

     Ответ: при а ≠ 0 и а ≠ -2  х₁ = и х₂ = - ;

                при а = 0 х_о = - ;

                 при а = -2 х₀ = .

     Последующие примеры решаются учащимися у  доски, учитель им помогает.

     Пример2. Решить уравнение (5m+1)x² + (7m + 3)x + 3m = 0.

     Решение. 1,5m + 1 ≠ 0, т.е. m ≠ - ;

     D = (7m + 3)² – 12m(5m + 1) = - 11m² + 30m + 9 = -11(m – 3)(m +

1. -11(m – 3)(m + ≥ 0, т.е. при - ≤ m ≤ 3 уравнение имеет два действительных корня х_1,2 = ;
2. -11(m – 3)(m + < 0, т.е. при m < -   и m > 3 уравнение действительных корней не имеет.

     2. 5m + 1 = 0, т.е. m = -  , получается линейное уравнение с единственным корнем х = .

     Ответ: при - ≤ m < -  и - < m 3 х_1,2 = ;

                при m = -      х = ;

                при m < -   и m > 3 корней нет.

     Пример 3. Решить уравнение (а – 1)х² + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0  (3)

     Решение.

     1. при а – 1 = 0, т.е. при а = 1 уравнение (3) примет вид 6х + 7 = 0. Из этого уравнения находим х = - .

     2. при а – 1 ≠ 0, т.е. при а ≠ 1 получаем квадратное уравнение, у которого

     D = (4а + 2)² – 4(а – 1)(4а + 3) = 5а +4

1. Если 5а +4 > 0, т.е. а > - , то х_1,2 = ;
2. Если а < - , то уравнение не имеет корней;
3. Если а = - , то D = 0 и х = - .

     Ответ: при а = 1   х = - ;

                при  а > - х_1,2 = ;

               при а = - ;

               при а < -   уравнение (3) корней не имеет.

     Пример 4. Решить уравнение х² – 2(а + 1)х + 4а = 0.

     Решение: D = (2а + 2)² – 16а = 4а² – 8а + 4 = 4(а – 1)² ≥ 0 при любом значении а. Значит уравнение имеет два действительных корня

     х₁ = = 2а,   х₂ =  = 2.

     Ответ: при любом а х₁= 2а, х₂ = 2.

4. Домашнее задание:

     Решить  уравнение: а(а+1)х² + х –а(а – 1) = 0

     Решение:

     1. а(а + 1) ≠ 0, т.е. а ≠ 0 и а ≠ -1

     D = 1 – 4 ∙ (-а( а - 1)) ∙ а(а + 1) = (2а² – 1 )² ≥ 0 при любом значении а. Значит уравнение имеет два действительных корня

     х₁ = = , х₂ = = .

     2. а(а + 2) = 0, т.е. а = 0 или а = -1

     1) а = 0, х = 0;

     2) а = -1, х = 2.

     Ответ:  при а ≠ 0 и а ≠ -1  х₁ = = , х₂ = = ;

                 при а = 0  х = 0;

                 при а = -1  х = 2.

     Урок 3.Решение квадратных уравнений, содержащих параметр, используя  теорему Виета

Цели  урока:

- формировать  навыки решения квадратных уравнений,  содержащих параметр, используя  теорему Виета;

- развивать  активную жизненную позицию за  счет полученных знаний и развития  мыслительной деятельности;

- развивать  умение учащихся самостоятельно  работать с материалом.

Тип урока: изучение нового материала.

Ход урока:

1. Организационный момент
2. Изучение нового материала

Учитель: Вспомним, формулировку теоремы Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

(Дети  записывают формулы)

х² + рх + q = 0

D = p² – 4q

D > 0:  x₁ = , x₂ =

х₁ + х₂ = + = - р

х₁ х₂ = ∙ = = = q

Итак   х₁ + х₂ = - р,  х₁ х₂ = q.

3. Решение задач

Теперь  используем теорему Виета при  решении квадратных уравнений с  параметрами.

(Первый  пример решают вместе)

Пример 1. При каких значениях параметра b уравнение