Квадратные уравнения с параметрами

(b-1)x² – 2bx + b + 1 = 0 имеет:

а) два  положительных корня;

б) два  отрицательных корня;

в) единственный корень?

Решение:(b-1)x² – 2bx + b + 1 = 0

Если b ≠ 1, то х² - x + = 0

а) согласно теореме Виета  , b € (-∞; -1)U(-1; +∞);

б) ,  решений нет;

в) если b = 1, то -2х + 2 = 0

                            х = 1,

если b ≠ 1, то D = 4b² – 4(b² – 1) = 4b² - 4b² + 4 = 4 ≠ 0.

Ответ: а) при b € (-∞; -1)U(-1; +∞) уравнение имеет два положительных                корня;

       б) при любых b уравнение не имеет отрицательных корней;

       в) при b = 1 уравнение имеет единственный  корень.

 Задания  для самостоятельного решения  (по вариантам):

(Дети  решают на листочках и сдают).

Вариант 1

При каких  значениях параметра а уравнение  х² – (2а +1)х + а² + а – 6 = 0 имеет:

а) два  положительных корня;

б) два  отрицательных корня;

в) корни  разных знаков?

Ответ: а) а  (2; +∞);

       б) а  (-∞; -1);

       в) а  (-1; 2).

Вариант 2

При каких  значениях параметра b уравнение  у² – (2b-1)y + b² – b – 2 = 0 имеет:

а) два  положительных корня;

б) два  отрицательных корня;

в) корни  разных знаков?

Ответ: а) b (2; +∞);

       б) b (-∞; -1);

       в) b (-1; 2).

Пример 2. При каком значении q один корень уравнения 4х² – 15х + 4q³ = 0 равен квадрату второго?

Решение: Если корни х₁ и х₂ уравнения связаны соотношением х₂ = х₁², то по теореме Виета х₁ ∙ х₁² = q³,

                        х₁ + х₁² = 15/4.

Тогда х₁ = q, q² + q – 15/4 = 0,

q_1,2 = = ;

q₁ = -2,5; q₂ = 1,5.

Ответ: при  q₁ = -2,5 и q₂ = 1,5 один корень уравнения 4х² – 15х + 4q³ = 0 равен квадрату второго.

Рассмотрим  решение следующего примера.

Пример 3. При каких значениях параметра а уравнение ах² + 3х + 2а² – 3 = 0 имеет только целочисленные корни?

Решение: Очевидно, что при а = 0 уравнение имеет единственный целочисленный корень х =1. Если а ≠ 0, то исходное уравнение равносильно уравнению х² + х + 2а - = 0 (*). Значения параметра а должны быть таковыми, чтобы числа (- ) и (2а - ) были целыми (на основании теоремы Виеты), а значит  целым должно быть и число 2а.

Итак, пусть  = m, где m – целое.

Тогда, а = , 2a = , где m и 2а – целые. Последнее равенство возможно лишь тогда, когда m = ±1, ±2, ±3, ±6.

Найдя теперь при каждом из восьми возможных  значений m соответствующее значение параметра а, непосредственной проверкой  убеждаемся, что уравнение (*) (а значит и исходное уравнение) имеет целые  корни только при значениях а = 3/2 (в случае m = 2), и тогда х₁ = х₂ = -1,

а = -1/2 (в  случае m = -6) и тогда х₁ = 1, х₂ = 5.

Ответ: а  .

4. Домашнее задание:

При каких  значениях параметра с уравнение (х+3с+2)² – (х-3с-2)² = 40

а) имеет  корни;

б) не имеет корней;

в) имеет  положительный корень;

г) имеет  отрицательный корень?

Ответ: а) с  (-∞; -2/3) U (-2/3; +∞);

      б) с = -2/3;

      в) с  (-2/3; +∞);

      г) с  (-∞; -2/3). 

Урок 4. Решение квадратных уравнений, содержащих параметр, используя теорему Виета

Цели  урока:

- развивать  умение учащихся самостоятельно  работать с материалом;

- развить  навыки решения квадратных уравнений,  содержащих параметр, используя  теорему Виета.

Тип урока: урок-закрепление.

Ход урока:

1. Организационный момент
2. Решение задач

Учитель просит одного из учеников выйти к  доске записать теорему Виета  и проговорить. А затем все  начинают решать уравнения, предложенные учителем.

Пример 1. Дано квадратное уравнение ах² + bx +  c = 0. Составьте новое квадратное уравнение, корни которого обратные корням данного уравнения.

Решение: Пусть х₃ и х₄ – корни нового уравнения, а х₁ и х₂ – корни данного. Тогда с ≠ 0, b² ≥ 4ac,

х₃ + х₄ =   = = = (ясно, что а ≠ 0),

х₃ ∙ х₄ = = . По обратной теореме Виета х₃ и х₄ - корни уравнения

х² + х + = 0 <=> сх² + bх + а = 0.

Ответ: сх² + bх + а = 0, с ≠ 0, b² ≥ 4ас.

Пример 2. При каких а разность корней уравнения 2х² – (а+1)х + (а-1) = 0 равна их произведению?

Решение: Прежде всего заметим, что теорема Виета применима при любом а так как D = (а + 1)² – 8(а – 1) = а² – 6а – 9 = (а – 3)² ≥ 0.

По теореме  Виета   и кроме того х₁ – х₂ = х₁ ∙ х₂,

Тогда => х₁ = , х₂ = .

Тогда - = , а = 2.

Ответ: при а = 2 х₁ – х₂ = х₁ ∙ х₂.

Пример 3. Найти наименьшее значение выражения х₁² + х₂², если х₁ и х₂ – корни уравнения х² – 2tх + t + 6 = 0.

Решение: По теореме Виета х₁ + х₂ = 2t,  х₁ ∙ х₂ = t + 6.

Тогда х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2 х₁х₂ = 4t² – 2t – 12.

Казалось  бы, мы должны найти наименьшее значение выражения 4t² – 2t – 12, а оно достигается в вершине параболы у = 4t² – 2t – 12,

t_в = 2/8 = 1/4 и t = 1/4.

На самом  деле мы опять допускаем ту же ошибку, т.е. если подставить t = 1/4 в уравнение, то оно не имеет решений. Поэтому мы должны найти, при каких а теорема Виета применима, то есть D = 4t² – 4t – 24 ≥ 0.

Решая неравенство, получим t ≤ -2 или а ≥ 3.

Из графика  функции у = 4t² – 2t – 12 видно, что наименьшее значение будет среди двух чисел f(-2) и f(3):

f(-2) = 8; f(3) = 18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ответ: наименьшее значение выражения х₁ + х₂ равно 8 при t = -2.

Домашнее  задание:

 При  каких значениях параметра а  все корни уравнения 3ах² + (3а³ – 12а² –   1) х – а(а – 4) = 0 удовлетворяют условию │х│< 1.

Ответ: а  {0}U(2 + ; 2 + ).

(Для  нахождения корней данного квадратного  трехчлена воспользуйтесь теоремой  Виета)

Урок 5. Исследование корней квадратного уравнения.

Цель  урока:

- формировать  навыки решение квадратных уравнений,  исследуя корни;

- развить  умение работать самостоятельно;

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Повторение.

Учитель: Перед тем как приступить к новому материалу, давайте повторим. Вспомним, как формулируется теорема Виета.

Ученики (отвечают):Сумма корней квадратного уравнения равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. 
 

;

. 

Итак,  . 

3.Изучение  нового материала.

Учитель: Рассмотрим на примере, как исследуются корни квадратного уравнения.(стр.146, учебное пособие Ю.Н. Макарычев)

Не решая  уравнение, 6 выясним, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки.

Решение: определим сначала знак дискриминанта  D=

Не выполняя вычислений, можно установить, что  D, так как а и с. Значит, уравнение имеет два различных корня.  Так как то знаки корней различные. Из условия следует, что положительный корень уравнения имеет больший модуль, чем отрицательный.

     Пример 2. . Определим, при каких значениях a и b уравнение

(х-а) (х-b) = имеет корни.

Решение. Преобразовав данное уравнение, получим :

,

.

Найдем  дискриминант квадратного уравнения:

D==

4.

Замечаем, что при любых значениях a и b дискриминант D. Значит, данное уравнение имеет корни при любых a и b.

Учитель: Давайте решим примеры у доски (вызывает учеников для решения примеров).

Пример 3. Выясните, имеет ли уравнение 289 корни и сколько.

Решение.D=(

Ответ: имеет один корень.

Пример 4. Выясните, имеет ли уравнение корни и сколько.

 Учитель: Решите пример самостоятельно.

Решение: D=(

Ответ: имеет один корень.

Учитель: решим пример у доски ( один из учеников решает, учитель помогает).

Докажите, что ни при каком значении а уравнение

 

Решение:

;

Так как  следовательно, , значит корни имеют одинаковые знаки. Учитывая, что можно сделать вывод, что оба корни отрицательные.

4.Домашнее  задание.

Решить  стр. 151 № 532 ( Ю.Н. Макарычев)

Стр.152 № 547. 
 

Урок 8: Решение квадратных уравнений, содержащих параметр, графическим  способом

Цели  урока:

- научить  решать графическим способом  уравнения с параметром;

- развивать  умение учащихся слушать и  самостоятельно работать с наглядными  материалами;

- развивать  познавательную и исследовательскую  деятельность учащихся.

Тип урока: изучение нового материала.

Ход урока:

1. Организационный  момент

2. Вспомнить:

Опрос:

- Что  называется квадратным трехчленом?

(Квадратным  трехчленом называется многочлен  вида ах²+bх+с = 0, де х – переменная, a, b и с – некоторые числа, причем а ≠ 0).

Например: 3х²-2х-5=0.

- Что  называется корнем квадратного  трехчлена?

(корнем  квадратного трехчлена называется  значение переменной, при котором  значение этого трехчлена равно  нулю).