Квадратные уравнения с параметрами

     х₁=р+2; х₂=р-1» [4]

       Практическая часть в задачнике представлена уравнениями с параметрами, где необходимо: выяснить вид квадратного уравнения и решить его при найденных значениях параметра; найти значения параметра, если известен корень квадратного уравнения.

     Типы  примеров:

     1. При каких значениях р уравнение х² – 2х + 1 = р имеет один корень.

     2. При каких значениях параметра р, уравнение является:

     а) приведенным квадратным уравнением, б) неполным приведенным квадратным уравнением, в) неполным не приведенным квадратным уравнением, г)линейным?

     3. При каких значениях параметра  р уравнение х² + рх + 24=0 имеет корень, равный 6?

     4. При каких значениях параметра  m уравнение      х² + 3mx + m = 0 имеет один корень?

     5. Докажите, что при любом значении  параметра р  уравнение             3х² – рх – 2 = 0 один корень?

     6. Решите уравнение с параметром  р: х² – (2р – 2)х + р² = 0.

     7. Докажите, что не существует такого  значения параметра р, при котором уравнение х² – рх + р – 2 = 0 имело бы только один корень.

       Учебник Макарычева Ю.Н.[3]

     При изучении темы «Квадратные уравнения» в разделе дополнительных упражнений для более углубленного изучения материала предлагаются уравнения, содержащие параметр, где необходимо найти значение переменной (параметра), если известен корень уравнения или какое-то соотношение корней.

     8 класс.

     1. В уравнениях х²+рх-35=0 один из корней равен 7. Найти другой корень и коэффициент р.

     2. Разность корней квадратного  уравнения х²+х+с=0 равна 6. Найдите с.

     9 класс.

     1. При каком значении р выражение  2рх²-2х-2р-3 становится квадратным трехчленом, одним из корней которого является нуль? Найдите второй корень.

     2. При каких значениях b уравнение  2х²+6+b имеет 2 корня, не имеет корней, один корень.

     3. При каких значениях  к уравнение х⁴-13х²+к=0 имеет а)4 корня, б)2 корня.

     Задачи  с параметрами предложены только для повторения пройденного материала.

       Сделаем выводы:

       - в каждом учебнике задания, содержащие параметр, используются для проверки знаний и умений, приобретенных ранее по той или иной теме;

     - во всех учебниках задания  достаточно однотипны.

     Для более глубокого изучения задач с параметрами подходит учебник Мордковича А.Г.[4], там встречаются задачи разных типов, в отличие от остальных учебников. Кроме того, вводятся понятия «параметр», «уравнения с параметром», которых нет в других школьных учебниках.

     В учебнике Макарычева Ю.Н. [3] за 9 класс в темах «Функция и ее свойства», «Квадратный трехчлен», «Квадратная функция и ее график», «Уравнения и системы уравнений» встречаются задачи с параметрами. На решение квадратных уравнений с параметрами задач мало.

     В школьной программе по математике задачам  с параметрами отводится незначительное место. Укажем некоторые разделы  общеобразовательного курса математики, в которых вообще существует идея параметра:

     - линейная функция у = кх +b (х и у – переменные, к и b - параметры);

     - линейное уравнение ах + b = 0 (х – переменная, а и b – параметры);

     - квадратное уравнение ах² + bх + с = 0 (х – переменная, а, b и с – параметры, а≠0).

     К задачам с параметрами в школьном курсе можно отнести, например, поиск  решений линейных и квадратных уравнений  в общем виде; исследование числа  корней в зависимости от значений параметра.

     Естественно, чтобы усвоить методы решения  уравнений с параметрами этих задач недостаточно. 

         3. Разработка занятий элективного курса

     Пояснительная записка

     Основным  направлением модернизации математического  школьного образования является отработка механизмов государственной итоговой аттестации. В заданиях ГИА по математике в части 2 встречаются задачи с параметрами. Так как в школьном курсе изучению данной темы отводится недостаточно времени, можно предложить курс «Решение квадратных уравнений с параметрами».

     Данный  элективный курс предполагает углубленное изучение темы «Решение квадратных уравнений с параметрами». Решение уравнений, содержащих параметры, - один из труднейших разделов школьной математики. Требуют свободного владения материалом и довольно высокого математического уровня. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить частные случаи. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для учебно-исследовательской работы.

     В этом курсе предлагаются уроки на тему «Решение квадратных уравнений с параметрами».  Упражнения подобраны так, чтобы учащиеся постепенно усваивали достаточно трудный материал. 

     Цели:

     - развитие способностей школьников  к выбору профиля;

     - формирование положительной мотивации  к изучению математики в профильном  классе;

     - выявление и развитие математических  способностей;

     Задачи  курса:

     1. Формировать у учащихся следующих  умений:

     - самостоятельно приобретать и  применять знания;

     - работать в паре, обосновывать решения;

     - правильно пользоваться математической терминологией, находить рациональные приемы вычислений и тождественных преобразований и т.д.

     2. Овладевать учащимися методами  решения квадратных уравнений  с параметрами.

     3. Углубить знания учащихся по  предмету;

     4. Формировать у учащихся устойчивого  интереса к предмету;

     5. Выявить и развить их математические  способности;

     6. Подготовить к государственной итоговой аттестации учащихся в 9-ом классе и к обучению в старших классах.

     Требования  к учащимся:

     1. Знать:

     - свойства квадратных уравнений;

     - формулы нахождения корней квадратного  уравнения;

     - теорему Виета и обратную ей;

     - основные методы решения квадратных  уравнений.

     2. Уметь:

     - решать квадратные уравнения  с параметрами; 

     - решать уравнения, сводящиеся  к квадратным уравнениям, с помощью  преобразований;

     - самостоятельно работать с книгой.

     3. Быть способными:

     - к обобщению и систематизации  учебного материала;

     - к использованию символического  и графического математического  языка;

     - последовательному изложению мыслей, их аргументации.  

     Тематическое  планирование элективного  курса « Квадратные уравнения с параметрами»

     

№	Темы	Всего часов
1	Решение простейших квадратных уравнений с параметрами	1 час
2	Решение различных  квадратных уравнений по типам: - решение для  любого значения параметра	1 час
3	Решение уравнения, используя теорему Виета	2 часа
4	Исследование  корней	1 час
5	Графическое решение  уравнения с параметрами	1 час
6	Решение текстовых  задач с параметрами	1 час
7	Решение квадратных уравнений с параметрами ( обобщающий  урок)	1 час
8	Решение квадратных уравнений с параметрами (контрольная  работа)	1 час
9	Решение квадратных уравнений с параметрами (работа над ошибками)	1 час

 

     Урок 1. Решение простейших квадратных уравнений с параметрами

     Цели  урока:

     -  сформировать понятие о параметрах и рассмотреть некоторые способы решения квадратных уравнений с параметрами;

     - научить решать простейшие квадратные  уравнения с параметрами.

     Тип урока: изучение нового материала.

     Ход урока:

1. Организационный момент
2. Повторение пройденного материала

     Учитель: Сегодня мы будем учиться решать квадратные уравнения, содержащие параметр, но перед этим вспомним,  какое уравнение называется квадратным?

     Определение: квадратным уравнением называется уравнение вида

     ах² + bх +с = 0, где х – переменная a, b и c – некоторые числа, причем

       а ≠ 1.

     Учитель: Приведите пример квадратного уравнения.

     - 3х² + 7х – 4 = 0 (учащиеся приводят пример).

       (Учащиеся дают определение квадратного уравнения, а учитель потом еще раз повторяет его громко и четко.)

     Какое уравнение называют неполным квадратным?

     Определение: если в квадратном уравнении ах² + bх +с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

     Приведите пример неполного квадратного уравнения.

     (- 2х² + 7 = 0, 3х² – 10х = 0, - 4х² = 0)

     Ответьте  мне на следующие вопросы (дети должны знать ответы на эти вопросы, если они забыли, то учитель им помогает, приводя простейшие примеры):

          1) Какое выражение называется дискриминантом квадратного уравнения, чему он равен?

     (Выражение  b² – 4ас называется дискриминантом квадратного уравнения ах² + bх + с = 0).

     2) Сколько корней имеет квадратное уравнение, если:

              а) D>0

     (если D>0, то уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два корня

     х₁ =   и х₂ = ).

     б) D=0

     (Если D=0, то уравнение ах² + bх + с = 0 имеет один корень).

     в) D<0

     (Если D<0, то уравнение ах² + bх + с = 0 не имеет корней).

     3) Сколько корней имеет уравнение: