Векторный метод и его применение к решению задач школьного курса геометрии

Содержание

Введение            3

Глава 1 Векторная алгебра          5

1.1. Понятие вектора; сложение  и вычитание векторов      

1.1.1. Понятие вектора         5

1.1.2. Нуль-вектор          6

1.1.3. Коллинеарные векторы        6

1.1.4. Модуль вектора         7

1.1.5. Равенство векторов         7

1.1.6. Перенос вектора в  данную точку       8

1.1.7. Сумма двух векторов        8

1.1.8. Основные свойства  сложения векторов       9

1.1.9. Сложение нескольких  векторов       10

1.1.10. Вычитание векторов        11

1.1.11. Модули сумм и  разностей векторов       12

 

1.2. Умножение вектора  на число        

1.2.1. Умножение вектора  на число       13

1.2.2. Основные свойства  произведения вектора на число    13

1.3. Линейная зависимость    

1.3.1. Линейная комбинация  векторов       16

1.3.2. Линейная зависимость  векторов       16

1.3.3. Система коллинеарных  векторов        17

1.3.4. Система компланарных  векторов       18

1.3.5. Базис системы компланарных  векторов      18

 

Глава 2 Методические рекомендации         21

2.1. Векторы в школьном  курсе геометрии       21

2.2. Методика решения задач  аффинной геометрии векторным методом   24

2.2.1. Цели изучения векторного  метода в средней школе    24

2.2.2. Основные компоненты векторного метода решения задач   25

2.2.3. Понятийный аппарат        25

2.2.4. Типовые задачи аффинной геометрии, решаемые векторным методом 26

2.3. Решение типовых задач  элементарной геометрии векторным  методом  30

2.3.1. Задачи, связанные с доказательством параллельности     прямых и отрезков, прямых и плоскости.      30

2.3.2. Задачи на доказательство деления некоторого отрезка в заданном    отношении или на нахождение отношения, в котором делится отрезок  33

п 2.3.3. Задачи на доказательство или использование принадлежности   трёх точек прямой         38

Заключение            40

Библиография           42

Приложения            44

 

Введение

Актуальность темы исследования: традиционно одной из самых сложных тем школьного курса геометрии является тема “Применение векторов к решению задач”. В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики, а векторный метод является одним из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач.

Гипотеза: успешность овладения  учащимися векторным методом  решения геометрических задач зависит от умения переходить от геометрического языка к векторному и обратно.

Основные цели данного  исследования:

1.рассмотреть цели изучения  векторного метода в школе;

2.выделить основные компоненты  решения задач этим методом;

3.рассмотреть понятийный  аппарат векторного метода решения  задач;

4.классифицировать задачи  аффинной геометрии, решаемые векторным методом

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: изучить  психолого-педагогическую и научно-методическую литературу по данной проблеме, выявить наиболее эффективную методику формирования векторного метода решения задач аффинной геометрии в школе.

Объектом исследования выступает  векторный метод решения задач  аффинной геометрии.

Предмет исследования - методика формирования векторного метода решения  задач аффинной геометрии в школе.

В процессе работы над исследованием  были использованы следующие методы и приёмы:

• анализ научной и методической литературы
• изучение и обобщение опыта передовых учителей
• анализ школьных учебников

Новизна исследования заключается  в том, что в результате работы по данной проблеме был отобран и  систематизирован методический материал, соотнесены геометрические и векторные интерпретации аффинных задач, разработаны опорные таблицы по теме «Векторы», а также разработаны конспекты уроков 9 классе по данной теме.

Практическая значимость: знание векторных интерпретаций задач аффинной геометрии способствует эффективному формированию навыка решения задач векторным методом.

Структура ВКР: работа состоит  из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, приложения.

В первой главе рассмотрен теоретический материал о линейных операциях над векторами, а также  коллинеарных и компланарных векторах.

Во второй главе рассмотрены  место и цели изучения темы «Векторы» в школьном курсе геометрии, методика решения задач аффинной геометрии векторным методом, приведена классификация задач аффинной геометрии, решаемых векторным методом и решены некоторые задачи каждого типа

В заключении делаются выводы и обобщения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1.1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ.

1.1.1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

Многие геометрические и  физические  величины полностью  определяются, если задана их числовая характеристика. Такими величинами являются длина линии, объем тела, масса, работа, температура и т. д. Число, характеризующее ту или иную  величину, получается в результате сравнения ее с выбранным эталоном,  принятым за единицу измерения. Такие величины в математике  называются скалярными величинами или просто скалярами.

Однако иногда встречаются  величины более сложной природы, которые не могут быть полностью  охарактеризованы их числовым значением. К подобным величинам относятся  сила, скорость,  ускорение и т. д. Для полной характеристики указанных  величин, кроме числового значения, необходимо указать их направление. Такие величины в математике называются векторными величинами или  векторами.

Для графического изображения  векторов пользуются  направленными  отрезками прямой. В элементарной геометрии, как известно, отрезком называется совокупность двух различных точек  А и В вместе со всеми точками  прямой, лежащими между ними. Точки  А и В называются концами отрезка, при этом порядок, в котором они  берутся, не существен. Однако если отрезок  АВ используется для  графического изображения векторной величины, то порядок, в котором указаны  концы отрезка, становится существенным. Пары точек АВ и В А задают один и тот же отрезок, но различные  векторные величины.

В геометрии вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок, для  которого указано, какая из концевых его точек  считается первой, какая  — второй. Первая точка направленного  отрезка называется началом вектора, а вторая точка — концом.

Направление вектора на чертеже  отмечается стрелкой, обращенной острием  к концу вектора.

В тексте вектор записывается двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху. Так, на рисунке 1,а изображены векторы  , , , , причем А, С, Е, G — соответственно начала, а В, D, F, Н — концы данных векторов. В некоторых случаях вектор обозначается также - одной строчной буквой, например,  , , (рис. 1,б)

1.1.2. НУЛЬ-ВЕКТОР

При определении вектора  мы предполагали, что начало вектора не совпадает с его концом. Однако в целях общности будем рассматривать и такие «векторы», у которых начало совпадает с концом. Они называются нулевыми векторами или нуль-векторами и обозначаются символом 0. На чертеже нуль-вектор изображается одной точкой. Если эта точка  обозначена, например, буквой К, то нуль-вектор может быть обозначен также через .

1.1.3. КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Два вектора АВ и CD называются коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых.

Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору.

На рисунке 1,а векторы , , , попарно коллинеарны. На рисунке 2 векторы и коллинеарны, а и не коллинеарны.

Если ненулевые векторы  и   коллинеарны, то они могут иметь одно и то же или противоположные направления. В первом  случае их называют сонаправленными, во втором случае — противоположно направленными.

На рисунке 1,а векторы и сонаправлены, а и или и противоположно направлены. В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями: запись || (или || ) будет означать, что векторы и коллинеарны; запись (или ) будет означать, что векторы и сонаправлены, а запись   — что они имеют противоположные направления. Например, для векторов,  изображенных на рисунке 1, а, имеют место соотношения: , , , || , .

1.1.4. МОДУЛЬ ВЕКТОРА

Длиной или модулем  ненулевого вектора называется длина  отрезка, изображающего данный вектор. Длиной нулевого вектора называется число нуль. Длина вектора обозначается символом ||, или просто АВ (без стрелки наверху!). Длина вектора обозначается так: || Очевидно, длина вектора равна нулю тогда и только тогда, когда — нулевой вектор. Вектор называется единичным, если его модуль равен единице.

1.1.5. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Два вектора  и называются равными, если выполнены  следующие условия: а) модули векторов и равны; б) если векторы и ненулевые, то они сонаправлены.

Из этого определения  следует, что два нулевых вектора  всегда равны; если же один вектор нулевой, а другой отличен от нуля, то они  не равны.

Равенство векторов и обозначается так: = .

Понятие равенства векторов обладает свойствами, которые аналогичны свойствам равенства чисел.

Теорема [1.1.] Равенство векторов удовлетворяет следующим условиям:

а) каждый вектор равен самому себе (условие рефлексивности);

б) если вектор равен вектору , то вектор равен вектору (условие симметричности);

в) если вектор   равен вектору , а равен вектору , то равен (условие транзитивности).

1.1.6. ПЕРЕНОС ВЕКТОРА В ДАННУЮ ТОЧКУ

Пусть дан некоторый вектор   = и произвольная точка А. Построим вектор равный вектору , так, чтобы его начало совпало с точкой А. Для этого достаточно провести через точку А прямую , параллельную прямой EF, и отложить на ней от точки А отрезок AВ, равный  отрезку EF. При этом точку В на прямой следует выбрать так, чтобы векторы и были сонаправлены. Очевидно, есть искомый вектор .

1.1.7. СУММА ДВУХ ВЕКТОРОВ

Суммой двух произвольных векторов и называется третий вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки О откладывается вектор , от его конца А откладывается вектор . Получившийся в результате этого построения вектор есть вектор (рис. 3).

На рисунке 4 изображено построение суммы двух коллинеарных векторов: а) сонаправленных, б) противоположно направленных, в) векторов, из которых один нулевой, г) равных по модулю, но противоположно направленных (в этом случае, очевидно, сумма векторов равна нуль-вектору).

Легко видеть, что сумма  двух векторов не зависит от выбора исходной точки О. В самом деле, если за исходную точку построения взять точку О', то, как  видно из рисунка 3, построение по указанному выше правилу дает вектор , равный вектору .

Очевидно также, что если

Из правила треугольника для сложения двух векторов вытекает простое и очень полезное для  решения задач правило: каковы бы ни были три точки A, В и С, имеет место соотношение: + = .

Если слагаемые векторы  не коллинеарны, то для получения  их суммы можно пользоваться другим способом — правилом  параллелограмма. На рисунке 5 дано построение суммы векторов и по этому правилу.

1.1.8. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Теорема [1.2.] Понятие суммы векторов удовлетворяет следующим условиям:

а) для любых трех векторов , и имеет место соотношение:

(+ ) + + ( + ) (ассоциативный закон);

б) для любых двух векторов и имеет место соотношение: + = + ,  т. е. сумма двух векторов не зависит от порядка слагаемых (коммутативный закон);

в) для любого вектора , имеем: =

г) для каждого вектора  существует противоположный вектор , т. е. вектор, удовлетворяющий условию: + = . Все векторы, противоположные данному, равны между собой.

Доказательство.

а) Пусть О — начало, а A —конец вектора . Перенесем вектор в точку A и от его конца В отложим вектор , конец которого обозначим через С (рис.6). Из нашего построения следует, что (1).

Из правила треугольника имеем:=+ и = + , поэтому =( + )+ . Подставив сюда значения слагаемых из (1), получаем: = (+ ) +

С другой стороны, = + и = + , поэтому = + ( + ). Подставив сюда значения слагаемых из (1), получаем: = + ( + ).

Из этого следует, что векторы (+ ) +   + ( + ) равны одному и тому же вектору , поэтому они равны между собой.

г) Пусть  = — данный вектор. Из правила треугольника следует, что + = = 0. Отсюда вытекает, что есть вектор, противоположный вектору . Все векторы, противоположные вектору = , равны вектору , так как если каждый из них перенести в точку А, то концы их должны совпадать с точкой О в силу того, что   + = . Теорема доказана.