Векторный метод и его применение к решению задач школьного курса геометрии

Легко видеть, что каждое двумерное векторное подпространство  содержит хотя бы два неколлинеарных вектора, т. е. базис. Из  теоремы [3.2] следует, что любой вектор этого подпространства линейно выражается через и . В случае подпространства, в отличие от общего случая системы компланарных векторов, вектор , имеющий вид (3), при любых действительных принадлежит  подпространству. Таким образом, если , — базис двумерного подпространства, то это подпространство есть множество векторов вида (3) при всевозможных действительных значениях .

Теорема [3.3]. Для того чтобы  три вектора , были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.

Доказательство. В самом  деле, если система векторов , компланарна, то согласно теореме [3.2] она линейно  зависима.

Обратно, пусть система  линейно зависима+

Если, например, , то из данного соотношения получаем:

Если  — некоторая плоскость, параллельная векторам , то отсюда видно, что является вектором, параллельным той же плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 2 МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

2.1 ВЕКТОРЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

Далее в дипломной работе я рассматриваю векторы в школьном курсе геометрии на основе учебников  геометрии для общеобразовательных  учреждений следующего коллектива авторов: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.

Понятие вектора и действия над векторами вводятся в 9 классе( в 8 классе – 2-ой вариант программы), так, как это принято в физике. Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением, называются в физике векторными и изображаются отрезками со стрелкой. Поэтому геометрический вектор вводится как направленный отрезок, т.е. отрезок на котором дано направление от одного конца к другому.

На изучение главы «Векторы», в которой рассматриваются 3 учебные  темы, отводится 8 часов(12 часов – 2 вариант программы).

Основная цель изучения темы «Векторы» в 8-9 классах - научить обучающихся выполнять действия над векторами как направленными отрезками, что важно для применения векторов в физике; познакомить с использованием векторов при решении геометрических задач.

Основное внимание уделяется выработке умений выполнять операции над векторами (складывать векторы по правилам треугольника и параллелограмма, строить вектор, равный разности двух данных векторов, а также вектор, равный произведению данного вектора на данное число):

На примерах показывается, как векторы могут применяться  к решению геометрических задач.

В результате изучения данной главы в основной школе учащиеся приобретают следующие знания и умения, соответствующие требованиям стандарта основного общего образования (Таблица 1).

На изучение главы «Векторы в пространстве» отводится 6 часов. При изучении геометрии на базовом  уровне (1-ый вариант программы – 51 час в год) данную тему проходят в 4 четверти в 10 классе, а при изучении геометрии на профильном уровне  (2-ой вариант программы – 68 часов в год) данную тему проходят в 1 четверти в 11 классе.

Основная цель изучения темы «Векторы в пространстве» в 10-11 классах - закрепить известные учащимся из курса планиметрии сведения о векторах и действиях над ними, ввести понятие компланарных векторов в пространстве и рассмотреть вопрос о разложении любого вектора по трём некомпланарным векторам.

Основные определения, относящиеся  к действиям над векторами  в пространстве, вводятся так же, как и для векторов на плоскости. Поэтому изложение этой части материала является достаточно сжатым. Более подробно рассматриваются вопросы, характерные для векторов в пространстве: компланарность векторов, правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов, разложение вектора по трём некомпланарным векторам.

В результате изучения данной главы в средней школе учащиеся приобретают следующие знания и умения, соответствующие требованиям стандарта среднего общего образования (Таблица 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

Учебная тема	Требования стандарта  образования
	знать	уметь
Понятие вектора	Понятия вектора, его начала и конца, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных, сонаправленных, противоположно направленных и равных векторов	Изображать и обозначать векторы откладывать от данной точки вектор, равный данному решать типовые задачи
Сложение и вычитание  векторов	определение суммы двух векторов законы сложения векторов (правило треугольника и параллелограмма) понятие суммы трёх и более векторов определение разности двух векторов какой вектор называется противоположным данному	объяснить, как определяется сумма двух или более векторов строить сумму двух или более данных векторов, пользуясь правилами треугольника, параллелограмма, многоугольника строить вектор, равный разности двух векторов решать типовые задачи
Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач	понятие умножения вектора на число свойства умножения вектора на число понятие средней линией трапеции и её свойства	формулировать свойства умножения вектора на число формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции применять векторы к решению задач

 

 Таблица 2

Учебная тема	Требования стандарта  образования
	знать	уметь
Понятие вектора в пространстве.	Понятие вектора в пространстве, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных, сонаправленных, противоположно направленных и равных векторов	откладывать от данной точки вектор, равный данному решать типовые задачи
Сложение и вычитание  векторов. Умножение вектора на число.	правило треугольника и параллелограмма сложения векторов в пространстве переместительный и сочетательный закон сложения два способа построения разности двух векторов правило сложения нескольких  векторов в пространстве правило умножения вектора на число сочетательный и распределительные законы умножения	строить сумму двух или более данных векторов, пользуясь правилами треугольника, параллелограмма, многоугольника решать типовые задачи
Компланарные векторы	определение компланарных векторов и признак компланарности трёх векторов правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов	формулировать и доказывать теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам решать типовые задачи

 

2.2. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ    ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ

2.2.1. ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Вектор – одно из фундаментальных  понятий современной математики и широко используется в различных  её областях. В работах Г. Бесселя, Ж. Аргана и К. Гаусса по теории комплексных  чисел установлена связь между  арифметическими операциями над векторами в двумерном пространстве. В работах В. Гамильтона, Г. Грассмана, Ф. Мёбиуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трёхмерного пространства. В настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, функциональный анализ.

К понятию вектора как  направленного отрезка приводят многие задачи механики и других областей физики: теории упругости, теории электромагнитных полей.

 Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить

Цели изучения векторного метода в средней школе:

• дать эффективный метод решения различных геометрических задач (как аффинных, так и метрических) и доказательства теорем;
• показать широкое применение векторного аппарата в других областях знаний: технике, физике, химии, лингвистике – и на базе этого форматировать у учащихся диалектико-материалистическое мировоззрение;
• использовать векторный метод при решении задач с целью форматирования у учащихся выполнять обобщение и конкретизацию;
• формировать у учащихся такие качества мышления, как гибкость (нешаблонность), целенаправленность, рациональность, критичность и др.

 

2.2.2. ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА                     РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Формирование векторного метода решения  аффинных геометрических задач должно начинаться еще в девятом (восьмом) классе. Для решения задач учащиеся должны владеть следующими умениями, которые и являются компонентами векторного метода:

1. перевод условия задачи на язык векторов, в том числе:
• введение в рассмотрение векторов;
• выбор базисных векторов;
• разложение всех введенных векторов
2. составление системы векторных равенств (или одного равенства).
3. упрощение векторных равенств
4. замена векторных равенств алгебраическими уравнениями и их решения
5. объяснение геометрического смысла полученного решения этой системы (или одного уравнения).

2.2.3. ПОНЯТИЙНЫЙ АППАРАТ

Понятийный аппарат и  умения, которыми должен овладеть ученик, чтобы научиться решать аффинные задачи векторным методом:

• основные понятия: вектор, начало вектора, конец вектора, одинаково направленные векторы, противоположно направленные векторы, абсолютная величина вектора (модуль вектора), равные векторы, нулевой вектор, неколлинеарные векторы;
• основные действия, умение выполнять которые должно быть сформулировано у учащихся: сложение векторов (пользуясь «правилом треугольника», «правилом параллелограмма» и «правилом параллелепипеда»); вычитание векторов; умножение векторов на число; представление вектора в виде суммы, разности двух векторов, в виде произведения вектора на число; замена вектора ему равным при помощи параллельного переноса; представление вектора в виде его разложения по двум неколлинеарным векторам; переход от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и выполнение обратного действия; 
• действия для овладения компонентами метода: перевод геометрических терминов на язык векторов и решение обратной задачи; перевод условия задачи на язык векторов, т.е. составление системы векторных равенств по условию задачи; выбор базисных векторов, разложение всех введенных в рассмотрение векторов по базисным векторам; упрощение системы векторных равенств; замена векторных равенств алгебраическими.

Для овладения учащимися  указанными умениями в своей работе я использую тематические карточки с заданиями.(Приложение №1)

С целью систематизации и  обобщения знаний учащихся по теме «Векторы», для повторения основных понятий темы уместно использовать опорные таблицы (методика Шаталова В.Ф.)(Приложение №№2-4).

2.2.4. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ, РЕШАЕМЫЕ ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ

Рассмотрим задачи трёх типов, которые целесообразно решать с помощью векторов.

Первый  тип: задачи, связанные с доказательством параллельности прямых и отрезков, прямых и плоскости

Второй  тип: задачи, в которых доказывается, что некоторая точка делит отрезок в заданном отношении.

Третий  тип: задачи на доказательство принадлежности трех и более точек одной прямой.

Выделение таких типов полезно  по следующим соображениям:

1. Эти виды наиболее многочисленны и, в силу простого перевода на векторный язык, могут служить образцами для учащихся.
2. Навык, приобретенный при решении этих задач, можно переносить на более сложные (где данные задачи могут встречаться в виде части задач).

Указанные выше типы задач охватывают довольно большую часть тех задач, которые приходиться решать учащимся. В задачах такого рода традиционные методы решения связаны обычно со значительными трудностями: или с необходимостью тонких дополнительных геометрических построений, или с довольно громоздкими тригонометрическими преобразованиями.

Решение геометрических задач векторным  методом позволяет отработать у  учащихся навыки перевода условия с  геометрического языка на векторный  и формировать навыки, необходимые  для перевода с векторного языка  на геометрический.

Для овладения умением переходить от геометрического языка к векторному и обратно необходимо знать, как то или иное векторное соотношение выражается на геометрическом языке. (Таблица 3)

Таблица 3

Рисунок	Что необходимо доказать или определить на геометрическом языке.	Что достаточно определить или доказать на векторном языке.
		= ( - некоторое число), где
	C    – произвольная точка
Продолжение таблицы 3
	C    – произвольная точка
	–центроид произвольная точка
5)                               B                                        C       A                             O	произвольная точка
6)                         О       А                         С     D                                   B	O-произвольная точка
7)                                  B                                                       C     A                                                                O		и определяются однозначно
Продолжение таблицы 3
8)                                 B           M      A         C                              D	M - середина AB – середина CD