Векторный метод и его применение к решению задач школьного курса геометрии

 

Соотношения 2-3 дают единый подход для решения большого числа геометрических задач. При их применении один и тот же вектор двумя различными способами представляется в виде линейной комбинации двух векторов (на плоскости) или трех векторов (в пространстве), а затем используется единственность разложения.

Знание условия коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов позволяет в векторной  форме решать аффинные задачи стереометрии - задачи, в которых изучаются вопросы взаимного расположения прямых и плоскостей.

Рабочими формулами при  векторном способе решения аффинных задач стереометрии являются соотношения 3 и 4.

При использовании в решении  понятия компланарности трёх векторов, в качестве базиса в пространстве можно выбрать любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов. Тогда любой вектор  пространства единственным образом можно разложить по векторам этого базиса:

В общем виде критерий компланарности трех ненулевых векторов  выражает равенство: =0 (при условии, что не все коэффициенты одновременно равны нулю). Если в задаче требуется доказать, что три данные прямые параллельны некоторой плоскости (ее положение определять не нужно), то достаточно на каждой из этих прямых выбрать вектор и, используя признак компланарности трех векторов, доказать, что выбранные векторы компланарны.

2.3. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ АФФИННОЙ ГЕОМЕТРИИ      ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ

 

2.3.1.ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ И ОТРЕЗКОВ,

ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

При решении этих задач наиболее часто используется признак коллинеарности двух векторов (соотношение 1) и единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам (соотношение 7).(Приложение №5)

Задача 1. Доказать что вектор, концами которого являются середины двух противолежащих сторон, равен половине векторной суммы двух других противолежащих (соотношение 8)                                 

Дано:                                                           

ABCD– четырехугольник                                                                              

M– середина AB

N– середина CD

Доказать:

Решение. Пусть О – произвольная точка. Согласно соотношению 3 имеем

Поэтому  .

Задача 2. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

Дано:                                                           

ABCD– трапеция                                                

AC, ВD – диагонали

M– середина AC                                                        

N– середина ВD

Доказать: MN || AD.                      

Анализ. Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что  коллинеарен

Решение. Так как M и N – середины отрезков AC и BD, то(соотношение 3)

Следовательно,

Но   коллинеарен вектору , поэтому   Тогда

 Тогда (по соотношению 1)  коллинеарен   что и требовалось доказать.

 

Задача 3.Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и длина ее равна полусумме длин оснований.

Дано:                                                           

ABCD– трапеция 

M– середина AВ                                                        

N– середина СD

Доказать: MN || AD.                      

 

Анализ. Для доказательства параллельности достаточно показать, что векторы  и  коллинеарны

Решение.

1) Согласно рассмотренной  задаче 1 .

2) Так как  , то и, значит, MN || AD.

3) Так как  , то = AD + BC, поэтому

MN =

(AD + BC).

 

Задача 4. Точки  K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.

Дано:                                                           

ABCDЕ– пятиугольник

K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE

P и Q – середины отрезков KM и LN

Доказать PQ || AE и PQ = 1/4 AE.

Решение.

Пусть О – произвольная точка. Согласно соотношению 3

.

Аналогично,

.

Из этих равенств следует, что

Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.

Задача 5. В параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ точка М — середина диагонали А₁С₁ грани A₁B₁C₁D₁, точка K— середина ребра ВВ₁. Докажите, что прямые А₁В₁, KМ и ВС₁ параллельны некоторой плоскости.

Дано:                                                           

АВСDА₁В₁С₁D₁– параллелепипед

М— середина диагонали А₁С₁

K— середина ребра ВВ₁

Доказать А₁В₁, KМ и ВС₁

Решение. Введем векторы:

Тройку  некомпланарных векторов  примем в качестве базиса. Разложим векторы   по векторам этого базиса.

Имеем:

Тогда

Это означает, что векторы  компланарны, следовательно, они параллельны некоторой плоскости , тогда этой плоскости параллельны и прямые А₁В₁, KМ и ВС₁, для которых векторы являются направляющими.

2.3.2. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО  ДЕЛЕНИЯ НЕКОТОРОГО ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ ИЛИ НА НАХОЖДЕНИЕ

ОТНОШЕНИЯ, В КОТОРОМ ТОЧКА ДЕЛИТ  ОТРЕЗОК

Решение задач этого типа базируется на соотношении 2(№ 806, [2])

Для того чтобы точка С делила отрезок АВ так, что , необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки О выполнялось равенство:

Доказательство. По условию , следовательно

n =m.       Но

 

                  Поэтому

 

       Отсюда следует

Задача 6. Доказать, что медианы произвольного треугольника ABC пересекаются в одной точке М такой, что точка М делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Решение. Пусть точка М дeлит медиану AD треугольника ABC в отношении 2:1.Тогда по соотношению 2 получаем (m = 2, n = 1)

 где О — произвольная точка пространства. Точка   D — середина стороны ВС, поэтому, согласно соотношению 3 : 

Следовательно,  

Тот же результат получится для  любой другой медианы треугольника ABC. Это говорит о том, что М  — общая точка всех трех медиан.

 

 

Практика решения более сложных  задач такого типа показала, что  работу нужно вести в следующем  направлении: постараться разложить  один из векторов (чаще всего конец такого вектора – точка, которая делит данный отрезок в заданном отношении) по двум основным векторам (они неколлинеарны) двумя различными способами. Используя единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам, установить зависимость между коэффициентами в разложении вектора, что потом дает возможность найти искомое соотношение.

Задача 7. На стороне AC треугольника ABC взята точка M так, что , а на продолжении стороны BC такая точка N что . В каком отношении точка P пересечения AB и MN делит каждый из этих отрезков.

 

 

Дано:

ABC– треугольник                                                        

 

                                                                            

Найти: ,                                                   

Решение:

Пусть и =y

Выберем базисные векторы

Разложим вектор по базисным двумя различными способами

а) =y,  тогда =, т.к. векторы сонаправлены

 

 

б) ,

 

Но. Поэтому

 

Учитывая единственность разложения вектора по двум неколлинеарным векторам(соотношение 7) , получим систему

Следовательно, и =

 

Задача 8. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, называется медианой этого тетраэдра. Докажите что все медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и эта точка делит каждую из медиан в отношении 3:1, считая от вершины.

 

 Доказательство.

Пусть Н₁, Н₂, Н₃, Н₄ — центроиды граней соответственно АВС, АВР, ВСР, АСР; М — точка, делящая медиану РН₁ тетраэдра РАВС в отношении РМ:МН₁ = 3:1.

Тогда РМ : РН₁ = 3 : 4, откуда Для любой точки О пространства и центроида Н₁ грани АВС выполняется:

(соотношение 4)

Тогда

Аналогично доказывается, что для точек М₁, М₂ и М₃, делящих медианы соответственно СН₂, АН₃, ВН₄ тетраэдра в отношении 3 : 1, считая соответственно от вершин С, А и В, выполняется то же равенство, то есть

Это означает, что точки  М, М₁, М₂ и М₃ совпадают, то есть все четыре медианы РН₁, СН₂, АН₃ и ВН₄ тетраэдра пересекаются в одной точке М и делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от соответствующей вершины, что и требовалось доказать.

Задача 9. На диагоналях АВ₁ и ВС₁ граней AA₁B₁B и ВВ₁С₁С параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты точки соответственно Н и M так, что отрезки MН и A₁C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.

 

Решение.

Введем векторы:

Тройку  некомпланарных векторов примем в качестве базиса и разложим векторы по векторам этого базиса. Имеем:

Так как точка Н лежит  на диагонали АВ₁, то векторы коллинеарны, поэтому (соотношение 7) существует такое число х, что Аналогично, в силу коллинеарности векторов существует такое число у, что

По правилу ломаной  находим:

По условию MН A₁C, значит, существует такое число t, что то есть выполняется равенство:

 Вследствие некомпланарности  векторов  и единственности разложения вектора по базису, приходим к выводу: 1– х–t =0, t–у=0, х–у–t = 0. Решением этой системы уравнений является: Тогда значит, МН:СА₁ = 1 : 3.

2.3.3. ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО  ИЛИ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ  ТРЁХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ

Задача 10. Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM:MD=BN:NC== 3:4.

Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.

 

Доказательство. Пусть K₁ – середина AB, K₂ – середина MN, K₃ – середина CD. Согласно соотношению 8 имеем  

.

Из условия следует, что  ,

поэтому .

Таким образом, векторы  и коллинеарны, и, значит, точки K₁, K₂ и K₃ лежат на одной прямой.

 

Задача 11.  В трапеции ABCD точки M и N середины оснований BC и AD соответственно. Докажите, что точка О пересечения диагоналей AC и BD лежит на прямой MN.                                                            

Доказательство.                                                                                         

Для того, чтобы доказать, что достаточно доказать, что и коллинеарны.

Для этого нужно разложить векторы  и по базисным векторам.

В качестве базисных векторов возьмём = =. По соотношению 3  

 

 

Из подобия треугольников  BOC и AOD:

Значит k=n, т.е. , ,

 , значит .

Из разобранных примеров видно, что если задачу можно перевести  на язык векторов, то она решается с  помощью векторов. И для успешного  использования векторной алгебры к решению геометрических задач необходимо уметь переводить геометрические факты на язык векторов.(Приложение №6-7)

 

 

 

 

Заключение

Многообразие возможностей применения векторного аппарата и его  роль в повышении и развитии математической культуры учащихся трудно переоценить. Векторное решение задач аффинной геометрии зачастую проще их решения средствами элементарной геометрии. При этом можно обойтись без тех дополнительных построений, которые иногда затрудняют поиск решения задачи.

В процессе работы я познакомилась  с рядом новых источников методической и научной литературы, систематизировала и углубила знания о линейных операциях над векторами, коллинеарных и компланарных векторах.