Векторный метод и его применение к решению задач школьного курса геометрии

Вектор, противоположный  вектору  , обозначается .

Из Теоремы [1.2.] следует, что если   0, то и . Также очевидно, что для любого вектора имеем: -(-)= .

1.1.9. СЛОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ

Суммой трех векторов , и будем считать вектор = (+ ) + . На основании ассоциативного закона (теорема[1.2]) сложения векторов + ( + ), поэтому при записи суммы трех векторов мы можем опустить скобки и записать ее в виде + + . Больше того, из теоремы [1.2] следует, что сумма трех векторов не зависит от порядка слагаемых.

Пользуясь доказательством  теоремы [1.2], можно указать следующий способ построения суммы трех векторов , и . Пусть О — начало вектора . Перенесем вектор в конечную точку вектора , а вектор — в конечную точку вектора . Если С — конечная точка вектора , то + + = ОС (рис. 8).

Обобщая правило, данное для  построения суммы трех векторов, можно  указать следующее общее правило  сложения  нескольких векторов. Чтобы  построить сумму векторов ,…, достаточно вектор перенести в конечную точку вектора , затем вектор перенести в конечную точку вектора и т. д. Суммой данных векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом  вектора , а конец — с концом .

Сумма векторов ,… обозначается: …+ . На рисунке 9 дано построение суммы векторов ,:

= .

Указанное выше правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

1.1.10. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Вычитание вводится как операция, обратная сложению. Разностью векторов и называется такой вектор , что + = .

Разность векторов и обозначается так: - .

Таким образом, выражение  = - означает, что + = .

Вектор  называется  уменьшаемым, а вектор — вычитаемым.

Теорема [1.3] Каковы бы ни были векторы и , всегда существует и единственным образом определяется разность - .

Доказательство. Возьмем  произвольную точку О и перенесем  векторы  и , в эту точку. Если = и = , то вектор есть искомая разность, так как + = , или + =. Данное построение выполнимо при любых векторах и , поэтому разность - всегда существует.

Теперь докажем, что разность определяется единственным  образом. Пусть + = и + = . К обеим частям этих равенств прибавим вектор

+ +()= +(),

+ +()= +().

Пользуясь теоремой [1.2], после  элементарных преобразований получаем: = +(),  = +(), поэтому = . Теорема доказана.

Следствия. 1°.Для построения разности двух векторов  нужно эти векторы перенести в некоторую точку пространства. Тогда вектор, идущий от конца вычитаемого к концу уменьшаемого, есть искомый вектор.

2°. Для любых двух  векторов  и имеем: - = +(- т. е. разность двух векторов равна сумме уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому.

1.1.11. МОДУЛИ СУММ И РАЗНОСТЕЙ ВЕКТОРОВ

Для  произвольных векторов и имеют место следующие соотношения:

а)

б) .

В соотношении а) знак равенства  имеет место только в случае, если или если хотя бы один из векторов и нулевой.

В соотношении б) знак равенства  имеет место только в случае, если или если хотя бы один из векторов и нулевой.

 

 

 

 

 

1.2. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

1.2.1. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Произведением ненулевого вектора  на действительное число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

а) | | = | | | |, где | | — модуль числа ;

б) если > 0, то и сонаправлены; если < 0, то и   противоположно направлены.

Произведение нулевого вектора  на произвольное число или  произвольного  вектора на число 0 равно нуль-вектору.

Произведение вектора  на число обозначают так: или .

Легко видеть, что, каковы бы ни были и , их произведение есть вполне определенный вектор.

Лемма [2.1]. Для того чтобы  вектор был коллинеарен ненулевому вектору , необходимо и достаточно, чтобы существовало число , удовлетворяющее условию =.

Доказательство. Пусть  коллинеарен ненулевому  вектору . Возможны следующие три случая: 1) 2) , 3) = 0.

Покажем, что в каждом из этих случаев существует число  ,  удовлетворяющее условию =,. В самом деле, в первом случае , т. е. . Во втором случае ,, поэтому . В третьем случае = 0 • , =0. Необходимость доказана.

Достаточность условия непосредственно  следует из  определения произведения вектора на число.

1.2.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРА  НА ЧИСЛО

Теорема [2.2]. Для произвольных чисел и векторов имеют место следующие свойства:

а) 1 •  = ; (-1) = - , где - вектор,  противоположный ;

б) ;

в) ;

г) .

Свойство а) непосредственно  следует из данного выше определения. Если хотя бы одно из чисел  равно нулю или хотя бы один из векторов равен нулю, то справедливость остальных свойств  очевидна, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда . Докажем свойства б) и г). 

Доказательство.

б). Пусть = и =. Докажем, что =. Для этого необходимо убедиться в том, что векторы и имеют равные модули и сонаправлены. 

Вычислим модули этих векторов:

||=||||=||(||||) = ||||||;

||=||||==(||||)||=||||||.

Таким образом, =. Векторы и по определению коллинеарны вектору , поэтому они коллинеарны между собой. 

Остается доказать, что и имеют одно и то же направление. 

Возможны четыре случая:

1) ; 3);

2) ;  4) .

Рассмотрим доказательства случаев 1) и 2).

1) . В этом случае по определению:и =, поэтому . С другой стороны, так как , то . Таким образом, , и в силу  равенства их модулей =.

2) . В этом случае , ,  поэтому . С другой стороны, так как , то =. Итак, , поэтому =.

Доказательство свойства г). Пусть и = . Докажем, что =. Возможны два случая: 1)векторы не коллинеарны; 2) векторы коллинеарны. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1) Сначала предположим,  что . Пользуясь правилом треугольника, построим сумму . Пусть = , = , тогда = (рис. 10). Пусть далее = Так как , то точка Р лежит на луче ОВ. Проведем в плоскости ОАВ через точку Р прямую, параллельную АВ, и обозначим через Q точку пересечения этой прямой с прямой ОА. Так как треугольники ОАВ и OQP подобны, то .

Отсюда следует, что = и = . Но = + , поэтому .

Случай, когда  < 0, рассматривается аналогично.

2) Так как  коллинеарны, то из леммы [2.1] следует, что существует некоторое число , удовлетворяющее условию: , поэтому [( + )] = [( + 1) ] = [ ( + 1)] . Здесь мы воспользовались свойствами б) и в).

Точно так же = () + = + .

Поэтому =. Теорема доказана полностью.

 

 

 

 

 

1.3. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

1.3.1. ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ

Пусть на плоскости даны векторы ,…. Линейной комбинацией этих векторов называется всякий вектор вида +…, где — произвольные числа.

Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то такая линейная комбинация называется тривиальной, в  противном случае она называется нетривиальной. Легко  видеть, что тривиальная линейная комбинация любого числа векторов есть нуль-вектор.

1.3.2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ

В векторной алгебре всякое множество векторов, конечное или  бесконечное, принято называть системой векторов. Система векторов ,… (1) называется линейно зависимой, если существуют такие числа не равные нулю одновременно, что +…, (2)

В противном случае система  векторов называется линейно независимой. Другими словами, система (1) линейно  независима, если из соотношения (2) следует, что  = 0.

Определение линейной зависимости  применимо также и в том случае, когда система состоит из одного вектора, т. е. когда k = 1. В этом случае, как легко видеть, система будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда вектор системы нулевой.

Если система (1) линейно  зависима, то в соотношении (2) по  крайней мере один из коэффициентов не равен нулю. Пусть, например, 0. Разделив соотношение (2) на , получаем:

 В этом случае вектор  является линейной комбинацией векторов ,…Говорят также, что вектор линейно выражается через векторы ,…. Итак, если система линейно зависима, то хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через другие.

Докажем вспомогательное  предложение. 

Лемма [3.1]. Если часть данной системы линейно зависима, то вся система также линейно зависима.

Доказательство. Пусть (1) —  данная система. Допустим, например, что  система векторов ,…, где , линейно  зависима+…. По определению хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Это соотношение можно переписать так: +…+ = 0. Мы видим, что система (1) также линейно зависима.

1.3.3. СИСТЕМА КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ

Конечная или бесконечная  система векторов называется коллинеарной, если любые два вектора этой системы коллинеарны. Например, векторы , , , на рисунке 1, а (стр. 4) образуют коллинеарную систему, а векторы , , , на рисунке 2 не образуют коллинеарной системы.

Отметим, что если система  коллинеарна, то всякая ее часть также  коллинеарна. В частности, если бесконечная  система векторов  коллинеарна, то всякая ее конечная часть коллинеарна.

Рассмотрим один частный, но весьма важный случай бесконечной  системы коллинеарных векторов. Возьмем  в пространстве прямую и рассмотрим множество всех векторов пространства,  параллельных этой прямой. Это множество, очевидно, образует коллинеарную бесконечную  систему векторов. Эта система  называется одномерным векторным подпространством.

Итак, одномерное векторное  подпространство — это совокупность всех векторов пространства, параллельных некоторой прямой . Следует подчеркнуть, что любое одномерное векторное подпространство содержит нуль-вектор. Очевидно, каждое одномерное векторное подпространство имеет хотя бы один ненулевой вектор , через который линейно выражается любой вектор подпространства. В случае подпространства, в отличие от общего случая системы коллинеарных векторов, для любого действительного числа вектор , принадлежит подпространству.

Таким образом, одномерное векторное  подпространство есть множество  векторов вида при всевозможных значениях .

1.3.4. СИСТЕМА КОМПЛАНАРНЫХ ВЕКТОРОВ

По аналогии с предыдущим введем следующее определение: конечная или бесконечная система векторов называется компланарной, если в пространстве  существует плоскость, которой параллельны все векторы системы (2). На рисунке 11 векторы , , образуют  компланарную систему. Векторы , , не образуют компланарной  системы.

Легко видеть, что любая  система, состоящая из двух векторов, всегда компланарна. Далее, если некоторая  система компланарна, то любая ее часть также компланарна. Если все  векторы  компланарной системы перенести  в одну точку О пространства, то, очевидно, их концы А вместе с  точкой О будут лежать в одной  плоскости. Этим по существу объясняется  термин «компланарность», что означает принадлежность одной и той же плоскости.

Рассмотрим один частный, но весьма важный случай бесконечной  системы  компланарных векторов. Возьмем  в  пространстве некоторую плоскость  и рассмотрим множество всех векторов пространства, параллельных этой  плоскости. Это множество, очевидно, образует компланарную систему векторов, которая называется двумерным векторным  подпространством. Итак, двумерное векторное подпространство — это совокупность всех векторов пространства, параллельных некоторой плоскости . Отметим, что любое двумерное подпространство, так же как и  одномерное, содержит нуль-вектор.

1.3.5. БАЗИС СИСТЕМЫ КОМПЛАНАРНЫХ ВЕКТОРОВ

Теорема [3.2]. Если конечная или бесконечная система компланарных векторов содержит хотя бы два неколлинеарных вектора и , то любой вектор этой системы линейно выражается через и , т. е. = + (3), где — действительные числа.

Любая конечная система компланарных векторов, состоящая более чем  из двух векторов, линейно зависима.

Доказательство. Пусть  — произвольный вектор  системы (1). Перенесем векторы , и в произвольную точку О пространства и обозначим через A, , их концы. В силу компланарности данной системы точки О, , и А лежат в одной плоскости. Но  векторы и не коллинеарны, поэтому О, и не лежат на одной прямой (рис. 12).

Проведем через точку  А прямые, параллельные векторам и . Обозначим через и точки пересечения этих прямых соответственно с прямыми и . Очевидно, = + . С другой стороны, векторы и , коллинеарны и , , поэтому существуют такие =, . Подставив эти выражения в предыдущее соотношение, получим (3).

Теперь докажем вторую часть теоремы. Пусть (1)—данная система  и . Если векторы коллинеарны, то они линейно зависимы, поэтому согласно лемме [3.1] система (1) линейно зависима. Если не коллинеарны, то согласно первой части теоремы имеем: = + . Мы видим, что часть системы (1) линейно зависима, следовательно, согласно лемме [3.1] вся система линейно зависима.

Введем следующее определение: базисом системы компланарных векторов называется совокупность любых двух неколлинеарных векторов этой системы, взятых в определенном порядке.

Предыдущая теорема показывает, что любой вектор компланарной системы  линейно выражается через базис.