Статистика вивчення виробництва озимої пшениці

_{– проста;}

_{– зважена.}

Мода – це та варіанта, що найчастіше повторюється в ряді розподілу.

В дискретному  варіаційному ряді моду легко відшукати  візуально, бо це варіанта, якій відповідає найбільша частота.

В інтервальному ряді моду визначають за допомогою додаткових розрахунків. Спочатку обчислюють модальний інтервал, тобто інтервал, який має найбільшу частоту. Після цього мода визначається приблизно за формулою:

 

де Mo—мода; X_{Mo min} — нижня межа модального інтервалу; h — величина модального інтервалу; n_Mo — частота модального інтервалу; n_Mo-1 — частота інтервалу перед модальним; n_Mo+1 — частота інтервалу після модального.

Медіана – це варіанта, що ділить ранжирований ряд на дві  рівні за чисельністю частини. Якщо непарне число варіант записати в порядку зростання чи спадання, то центральна з них і буде медіаною. Коли число варіант парне, медіана  розраховується як середня арифметична  двох центральних варіант.

При визначенні медіани  за даними ряду розподілу використовують кумулятивні частоти, які полегшують пошук центральної варіанти.

В інтервальному ряді розподілу  аналогічно визначається медіанний  інтервал. Конкретне значення медіани  обчислюється за формулою

 

де X_{Me min} — нижня межа медіанного інтервалу; h — величина медіанного інтервалу; n_Me — частота медіанного інтервалу; S_Me-1 —сума нагромаджених частот перед медіанним інтервалом.

Мода і медіана —  це особливий вид середніх величин. На відміну від середньої арифметичної, що є величиною абстрактною, ці характеристики центру розподілу статистичної сукупності завжди збігаються з конкретними  варіантами. Крім того, на їх величину не впливають значення варіант, не характерних  для даної сукупності, скажімо, надмірно малі чи надмірно великі. При обчисленні середньої арифметичної до уваги беруться усі без винятку варіанти. Саме через це мода і медіана в окремих випадках мають свої переваги перед середньою арифметичною і використовуються при вирішенні деяких практичних питань. Так, при плануванні обсягу виробництва господарства орієнтуються не на середній товар, а на найбільш «ходовий», тобто модальний. При виборі місця розташування заготівельного пункту зерна в тому чи іншому районі лише медіана визначить «точку», що дає найменшу відстань від тих сільськогосподарських підприємств, які мають здавати зерно саме в цей пункт.

Варіація, тобто коливання, мінливість значень будь-якої ознаки є властивістю статистичної сукупності. Вона зумовлена дією безлічі взаємопов'язаних причин, серед яких є основні і  другорядні. Основні причини формують центр розподілу, другорядні — варіацію ознак, сукупна їх дія — форму  розподілу. Наприклад, урожайність  сільськогосподарської культури залежить від якості ґрунту та способів його обробки, якості насіння і кількості  внесених добрив, метеорологічних умов і інших об'єктивних та суб'єктивних факторів. Сумісна дія їх і різне  поєднання зумовлюють той чи інший  рівень урожайності в окремих  господарствах, а також закономірність розподілу господарств за цією ознакою.

Статистичні характеристики центру розподілу (середня, мода, медіана) відіграють важливу роль у вивченні статистичних сукупностей. В одних  сукупностях індивідуальні значення ознаки значно відхиляються від центру розподілу, в інших — тісно  групуються навколо нього, а відтак виникає потреба оцінити поряд  з характеристиками центру розподілу  міру і ступінь варіації. Чим менша  варіація, тим однорідніша сукупність, отже, тим більш надійні і типові характеристики центру розподілу, насамперед середні величини.

Вивчення варіації має  велике значення для оцінки сталості та диференціації соціально-економічних  явищ, при використанні вибіркового  та інших статистичних методів.

Для виміру і оцінки варіації використовують систему абсолютних і відносних характеристик, а  саме: розмах варіації, середнє лінійне  і середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації, дисперсію. Кожна  з названих характеристик має  певні аналітичні переваги при вирішенні  тих чи інших завдань статистичного  аналізу.

Методика обчислення характеристик  варіації залежить від виду ознаки х і наявних даних (не згруповані чи згруповані).

Розмах варіації — це різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки:

_{R=xmax - xmin.}

Показник характеризує межі, в яких змінюється значення ознаки.

В інтервальному ряді розподілу  розмах варіації визначають як різницю  між верхньою межею останнього інтервалу  і нижньою межею першого або  як різницю між середніми значеннями цих інтервалів. Безумовною перевагою  розмаху варіації як міри коливання  ознаки є простота його обчислення і тлумачення. Але надійність такої  простої характеристики невисока, оскільки вона базується на двох крайніх значеннях  ознаки, які часто не є типовими для сукупності, або мають випадковий характер. Тому розмах варіації використовують для попередньої оцінки варіації.

Середнє лінійне і середнє  квадратичне відхилення призначені для вимірювання варіації ознаки її сукупності. Чим менша варіація, тим менше значення цих характеристик.

Розглянуті абсолютні  характеристики варіації — розмах варіації, середнє квадратичне і  середнє лінійне відхилення —  іменовані величини, мають одиниці  виміру варіюючої ознаки. При порівнянні варіації різних ознак використовуються відносні характеристики — коефіцієнти  варіації, які обчислюють як відношення абсолютних характеристик варіації до характеристики центру розподілу.

Дисперсія –  це середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від їхньої середньої  величини.

 

Середнє квадратичне  відхилення – це корінь квадратний з дисперсії.

_d=

Обчислимо характеристики інтервальних рядів розподілів.

Таблиця 2.4.

Інтервальний  ряд розподілу господарств за урожайністю зернових

Інтервал	Частота,n	Середина ряду,	Кумулятивна частота	xn	n/x	x2n	xn	|x-xс|n	(x-xс)2n
17,7-20,22	5	18,96	5	94,8	0,264	1797,41	2450144,31	25,2	127,01
20,22-22,74	3	21,48	8	64,44	0,14	1384,17	9910,67	7,56	19,05
22,74-25,26	7	24	15	168	0,292	4032	4586471424	0	0
25,26-27,78	7	26,52	22	185,64	0,264	4923,17	9226025234	17,64	44,45
27,78-30,30	3	29,04	25	87,12	0,103	2529,96	24490,06	15,12	76,2
Разом	x	x	x	600	1,062	14666,72	13814981203	65,52	266,72

 

Спочатку перевіримо мажорантність середніх. Для цього  обчислимо:

• Середнє арифметичне:

 

• Середнє гармонійне:

 

• Середнє квадратичне  відхилення: ;

 

• Середнє квадратичне:

 

• Середнє лінійне  відхилення:

 

Бачимо, що , тобто правило мажорантності середніх виконується. Знайдемо інші характеристики:

• Мода:;
• Медіана:;
• Розмах варіації: ;
• Дисперсія: ;
• Квартилі:

=20,22+2,52*

 

 

• Децилі:

 

 

 

 

 

 

 

 

                                      

                                                                                                             Таблиця 2.6.

Інтервальний  ряд розподілу господарств за

питомою вагою площі з підкормкою,%.

Інтервал	Частота,n	Середина ряду,x	Кумулятивна частота	xn	n/x	x2n	xn	|x-xс|n	(x-xс)2n
47,3-54,92	6,00	51,11	6,00	306,66	0,12	15673,39	17825235887,53	76,80	983,04
54,92-62,54	5,00	58,73	11,00	293,65	0,09	17246,06	698714899,34	25,90	134,16
62,54-70,16	6,00	66,35	17,00	398,10	0,09	26413,94	85318962013,41	14,64	35,72
70,16-77,78	7,00	73,97	24,00	517,79	0,10	38300,93	12116838820986,40	70,42	708,43
77,78-85,4	1,00	81,59	25,00	81,59	0,01	6656,93	81,59	17,68	312,58
Разом	x	x	X	1597,79	0,40	104291,25	12220681733868,30	205,44	2173,93

 

 

• Середнє арифметичне:

 

• Середнє гармонійне:

 

• Середнє квадратичне  відхилення: ;

 

• Середнє квадратичне:
• Середнє лінійне відхилення: ;
• Мода: ;
• Медіана:;
• Розмах варіації:
• Дисперсія: ;
• Квартилі:

=54.92+7.62*

,

 

• Децилі:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблиця 2.7.

Інтервальний  ряд розподілу господарств за

за  енергетичною потужністю на одного працівника к.с.

Інтервал	Частота,n	Середина ряду,x	Кумулятивна частота	xn	n/x	x2n	xn	|x-xс|n	(x-xс)2n
3,7-5,38	6	4,54	6	27,24	1,322	123,67	8756,59	18,96	59,91
5,38-7,06	5	6,22	11	31,1	0,804	193,44	9310,05	7,4	10,95
7,06-8,74	4	7,9	15	31,6	0,506	249,64	3895,01	0,8	0,16
8,74-10,42	6	9,58	21	57,48	0,626	550,66	773024,14	11,28	21,21
10,42-12,1	4	11,26	25	45,04	0,355	507,15	16075,1	14,24	50,69
Разом	X	x	x	192,46	3,613	1624,56	811060,88	52,68	142,93