Лекция  №2

    Кинематика  абсолютно твердого тела. Уравнение движения центра масс 

    Любое движение абсолютно твердого тела можно  свести к сумме двух движений –  поступательного и вращательного. Абсолютно твердым телом мы будем  называть тело, деформациями которого можно в условиях данной задачи пренебречь.

    Поступательным  движением твердого тела называется такое движение, при котором любая  прямая, проведенная внутри тела, перемещается параллельно самой себе.

    В зависимости от формы траектории поступательное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным (пояснить случай криволинейного движения на примере "колеса обзора").

    Вращательным  движением твердого тела вокруг неподвижной  оси называется такое движение, при  котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одно неподвижной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может лежать как внутри, так и вне его.

    Разбив  твердое тело на отдельные малые  элементы, мы можем представить его  как систему материальных точек, взаимное расположение которых не изменяется в процессе движения. При поступательном движении все элементы твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают одинаковое перемещение. Поэтому поступательное движение твердого тела можно заменить движением любой из составляющих тело материальных точек, масса которой равна массе тела.

    При непоступательном движении твердого тела ускорения отдельных его элементов  разные. Однако центр масс твердого тела движется так, как двигалась  бы материальная точка с массой, равной массе тела, если бы к ней были приложены все внешние силы, действующие на тело.

    Центром масс системы материальных точек  называется точка  , положение которой задается радиус-вектором , определяемым следующим образом:

    

.

    Здесь и - масса и радиус-вектор -й материальной точки.

    Уравнением  движения центра масс твердого тела имеет  вид:

    

.

    Решив это дифференциальное уравнение (дважды проинтегрировав его), можно найти закон движения центра масс

    

.

    Кинематические  характеристики вращательного  движения

 

    При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси радиусы-векторы, проведенные из центров окружностей к точкам тела, за время поворачивается на один и тот же угол , называемый угловым перемещением твердого тела.

     Угловое перемещение  твердого тела - вектор, численно равный углу поворота тела и направленный вдоль оси вращения так, что если смотреть с его конца, то вращение тела кажется происходящим против часовой стрелки (подробно объяснить на правиле буравчика).

    Быстроту  изменения углового перемещения с течением времени характеризует угловая скорость.

    Угловая скорость твердого тела - это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения углового перемещения тела с течением времени и равная угловому перемещению, совершаемому телом за единицу времени

    

.

    Направлен вектор вдоль оси вращения в ту же сторону, что и .

    Быстроту  изменения угловой скорости характеризует  угловое ускорение.

    Угловое ускорение твердого тела - это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела с течением времени и равная приращению угловой скорости за единицу времени:

    

.

    Направлен вектор вдоль оси вращения. Вектор углового ускорения направлен в ту же сторону, что и вектор угловой скорости, если движение ускоренное, и направлен против направления , если движение замедленное (объяснить подробнее).

    Модули  углового перемещения  , угловой скорости и углового ускорения равны соответственно:

    

,   ,   . 

    Связь между линейными  и угловыми характеристиками вращательного движения 

    Кроме угловых величин движения каждой точки вращающегося твердого тела характеризуют  линейные величины: линейное перемещение  , линейный путь , линейная скорость , тангенциальное и нормальное линейные ускорения.

     За время  произвольная точка твердого тела переместится на , пройдя путь . Легко видеть, что равно векторному произведению углового перемещения на радиус-вектор точки :

    

.

    Действительно, направление  перпендикулярно и , если смотреть с конца , то поворот от к происходит против часовой стрелки. Модуль равен

    

.

    Такое же направление, как и  , и такой же модуль имеет векторное произведение , следовательно, предыдущее утверждение (о векторном произведении) верно.

    Разделив  предыдущее выражение на промежуток времени  , в течение которого произошло перемещение точки на , и учитывая, что и , получаем:

    

.

    Линейная  скорость данной точки вращающегося вокруг неподвижной оси твердого тела равна векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор точки , проведенный из центра окружности, по которой движется точка.

    Модуль  мгновенной скорости равен

     .

    Продифференцируем выражение  по времени:

    

.

    Учитывая, что  - линейное ускорение, - угловое ускорение, получим:

    

.

    Первый  вектор в правой части направлен  по касательной к траектории точки. Он характеризует изменение модуля линейной скорости. Следовательно –  это вектор тангенциального ускорения точки

    

.

    Второй  вектор в правой части выражения  направлен к центру окружности и  характеризует изменение направления  линейной скорости. Этот вектор – нормальное ускорение точки

    

.

    Модуль тангенциального ускорения равен:

    

.

    Модуль  нормального ускорения равен:

    

,

    или, учитывая, что  ,

    

.

    Равномерное вращательное движение ( ) характеризуется также периодом вращения и частотой вращения.

    Период  вращения - промежуток времени, в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси вращения, т.е. поворачивается на угол . Если угловая скорость тела равна , то

    

.

    Частота вращения - число оборотов, совершаемых за единицу времени

    

.

    Отсюда  следует, что  . 
 
 
 
 
 

    Лекция 4

    Момент  силы, момент инерции и момент импульса твердого тела относительно оси. Основной закон динамики вращательного движения 

    Вращательное  действие силы, т.е. сообщение телу углового ускорения, зависит не только от модуля силы, но и от того, в каком направлении  сила действует и к какой точке тела приложена. Величиной, которая учитывает все эти факторы, является момент силы.

     Пусть на твердое  тело, имеющее неподвижную ось  вращения , в произвольном направлении действует сила . Разложим эту силу на две составляющие: , действующую в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и , параллельную оси вращения. Составляющая вращательного движения вызвать не может, а составляющая - может.

    Величина

    

    называется  моментом силы относительно оси вращения. Если сила действует в плоскости, перпендикулярной оси вращения, т.е. , то момент этой силы равен:

    

.

    Вектор  направлен вдоль оси вращения. Если смотреть с конца вектора , то поворот от к по кратчайшему пути происходит против часовой стрелки.

    Модуль  вектора  равен

    

,

    где - угол между и . Из рисунка видно, что - кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы . Эта величина называется плечом силы .

    Найдем  зависимость углового ускорения  твердого тела от момента сил, действующих  на тело. Пусть на произвольный элемент тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, действуют внутренняя и внешняя силы. Составляющие этих сил, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, равны и .

    По  первому закону Ньютона

    

,

    где - тангенциальное ускорение элемента .

    Умножим это соотношение векторно слева  на - радиус-вектор элемента относительно оси:

    

.

    Слагаемые в правой части этого уравнения  – моменты сил  и относительно оси вращения, следовательно

    

.

    Из  предыдущих лекций мы знаем, что  , подставим это выражение в предыдущую формулу:

    

.

    Двойное векторное произведение раскроем по формуле:

     , следовательно

    

,

     , а  , следовательно,

    

.

    Таким образом,

    

.

    Интегрируя  это выражение по всем элементам  , составляющим твердое тело, получим:

    

.

      по следующей причине. Все  внутренние силы можно разбить  на равные по модулю и противоположные  по направлению силы действия  и противодействия. Модули и  плечи сил действия и противодействия  равны, а направления противоположны, следовательно, и их моменты относительно оси равны по модулю и противоположны по направлению, следовательно, сумма их равна нулю. Следовательно, равен нулю и результирующий момент всех внутренних сил. Интеграл - результирующий момент всех действующих на тело внешних сил. Следовательно,

    

  (*).

    Интеграл  , взятый по всем элементам твердого тела, называется моментом инерции тела относительно оси вращения