Кинематика абсолютно твердого тела. Уравнение движения центра масс

    

.

    Функция называется потенциальной энергией материальной точки в поле силы тяжести Земли.

    Рассмотрим  пример работы, совершаемой стационарной консервативной силой, действующей  между частями одного и того же поля. Рассмотрим растяжение (или сжатие) пружины. Элементарная работа упругой силы при растяжении или сжатии пружины равна:

    

,

    где - приращение вектора удлинения (или сжатия) пружины.

    Учтем, что  и воспользуемся свойством скалярного произведения:

    

.

    Для того, чтобы определить работу при  удлинении пружины от до , нужно проинтегрировать следующее выражение

    

.

    Работа  упругой силы не зависит от того, как произошло удлинение пружины. Следовательно, разность есть изменение (убыль) некоторой функции состояния пружины u, зависящей от взаимного расположения частей пружины:

    

    или

    

.

    Для элементарного удлинения (или сжатия) имеем:

    

.

    В данном случае эта функция состояния  называется потенциальной энергией деформированной пружины. Поскольку  консервативные силы бывают как стационарными, так и нестационарными, то в общем  случае потенциальная энергия есть функция как координат, так и времени

    

.

    Материальная  точка может одновременно обладать и потенциальной и кинетической энергией. Сумма потенциальной и  кинетической энергии материальной точки называется ее полной механической энергией Е

    

. 
 

    Связь потенциальной энергии  с консервативной силой. Понятие о  градиенте скалярной  функции. 

    Между потенциальной энергией материальной точки и консервативной силой, действующей  на точку существует связь. Установим  эту связь.

    Если  в каждой точке пространства на материальную точку действует консервативная сила, то говорят, что точка находится  в потенциальном поле сил.

     Пусть материальная точка, находясь в потенциальном  поле сил, переместилась в произвольном направлении  на величину . Консервативная сила , действуя на точку, совершает при этом работу:

    

    где - проекция силы на направление r.

    Работа  консервативной силы равна убыли потенциальной энергии:

     поэтому

    

    величина  - производная потенциальной энергии по r; она показывает, как быстро изменяется потенциальная энергия вдоль направления r.

    Таким образом, проекция консервативной силы на произвольное направление r равна по модулю и противоположна по знаку производной от потенциальной энергии по этому направлению.

    Предыдущее  соотношение справедливо для  любого направления в пространстве, в частности для осей x,y,z декартовой системы координат:

    

.

    Зная  проекции силы, можно найти сам  вектор силы:

    

,

    

.

    Вектор, стоящий в правой части этого  выражения, называется градиентом функции  U и обозначается символом

    

    Градиент  потенциальной энергии – это  вектор, указывающий направление  быстрейшего возрастания потенциальной  энергии и численно равный приращению энергии, приходящемуся на единицу  длины этого направления.

    Консервативная  сила, действующая на материальную точку, равна по модулю и противоположна по направлению градиенту потенциальной  энергии этой точки. 

    Лекция  №6

    Закон сохранения энергии 

    Закон сохранения энергии – результат  обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М.В. Ломоносову, изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814-1878гг.) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821-1894гг.)

    Выведем закон сохранения энергии. Для этого  рассмотрим замкнутую систему материальных точек массами m₁, m₂, …, m_n, движущихся со скоростями

    Пусть - равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а - равнодействующие внешних сил.

    Запишем II закон Ньютона для каждой из точек:

    

.

    Пусть все точки за какой-то интервал времени  dt совершают перемещения Умножим каждое из выражений на соответствующие перемещения скалярно:

    

.

    Сложим  эти уравнения и учтем, что  - работа внешней консервативной силы над i-й материальной точкой, , т.к. по условию система замкнута, т.е. внешние силы работу не совершают.

    

.

    Учтем следующее:

    

,

    где - бесконечно малое изменение кинетической энергии всей системы,

    

    где - бесконечно малая работа всех действующих в системе внутренних консервативных сил, взятая с обратным знаком, равна бесконечно малому изменению потенциальной энергии системы (т.к. ).

    Следовательно, для всей системы в целом

    

, т.е.  .

    Проинтегрируем  это выражение

    

.

    Это выражение представляет собой закон  сохранения механической энергии:

    В замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем. 
 
 

    Удар  абсолютно упругих  и неупругих тел.

    Абсолютно неупругое столкновение 

    Абсолютно неупругим называется такое столкновение, при котором механическая энергия сталкивающихся тел полностью или частично превращается в немеханические виды энергии и по завершении которого столкнувшиеся тела движутся (или покоятся) как единое целое.

    Например, столкновение тел из мягкого воска  или пластилина, столкновение двух разноименных ионов, сопровождающееся образованием молекулы, захват свободного электрона положительным ионом, поглощение фотона атомом вещества и т.д.

     Рассмотрим  абсолютно неупругое центральное  столкновение двух тел с массами  и , движущихся до столкновения со скоростями и . После столкновения оба тела движутся с одной и той же скоростью . По закону сохранения импульса имеем

    

,

    откуда

    

.

    Таким образом, движение тел после абсолютно  неупругого столкновения происходит вдоль  диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .

    Найдем убыль кинетической энергии тел при абсолютно неупругом столкновении. Суммарная кинетическая энергия тел до столкновения

    

,

    после столкновения

    

.

    Тогда убыль кинетической энергии равна

    

.

    Эта формула выражает кинетическую энергию, превратившуюся при абсолютно неупругом  ударе в другие виды энергии:

    

,

    где - угол между и . Если , то и потери кинетической энергии системы максимальные (встречный удар). , то и потери кинетической энергии минимальны (одно тело догоняет другое). 

    Абсолютно упругое столкновение 

    Абсолютно упругим называется такое столкновение, при котором механическая энергия  сталкивающихся тел сохраняется.

    Столкновения  макроскопических тел в реальных условиях всегда бывают в той или  иной степени неупругим, ибо они  всегда сопровождаются нагреванием тел, их пластической деформацией и т.д., т.е. превращением механической энергии тел в другие ее виды. Однако в некоторых случаях столкновения таких тел можно с достаточной степенью точности считать абсолютно упругими (например, столкновение шаров из слоновой кости или стали).

    Важную  роль упругие столкновения играют в  физике атомных явлений. Например, столкновения молекул газа друг с другом и со стенками сосуда можно считать абсолютно  упругим. Упруго рассеиваются -частицы при прохождении через тонкие пленки вещества, рентгеновские кванты при взаимодействии со свободными электронами, нейтроны в ядерных реакторах и т.д.

    Рассмотрим  центральное абсолютно упругое  столкновение со скоростями и . В процессе столкновения тела деформируются, после чего полностью восстанавливают свой объем и форму и разлетаются со скоростями и . Полагая, что тела образуют замкнутую систему и взаимодействуют друг с другом только в процессе столкновения, и применим к ним законы сохранения импульса и энергии:

    

.

    Поскольку тела на расстоянии не взаимодействуют  друг с другом, их механическая энергия  складывается только из кинетической энергии

    

.

    Эту формулу можно преобразовать  к виду:

    

    или

    

.  (*)

    Преобразуем закон сохранения импульса:

    

.  (**)

    Разделив (*) на (**), получим:

    

.

    Умножим это выражение на и вычтем полученный результат из (**) и найдем :

    

.

    Формулу для  получим, поменяв в последнем уравнении индексы:

    

.

    При прямом центральном ударе все вектора параллельны, поэтому, спроектировав и на направление , получим формулы для и :

    

,

    

.

    Знак "-" относится к случаю, когда  и "+", когда . 

    Механический  принцип относительности  Галилея 

    Механический  принцип относительности Галилея  отвечает на вопрос: одинаково ли протекают  механические явления в разных инерциальных системах отсчета, можно ли с помощью механических опытов обнаружить равномерное прямолинейное движение системы отсчета, равноправны ли с механической точки зрения инерциальные системы отсчета.