Кинематика абсолютно твердого тела. Уравнение движения центра масс

    

 и  .

    Полагая, что масштабы перемещения значительно меньше радиуса земли, можно считать, что одинакова во всех точках рассматриваемой области пространства. Вынесем за интеграл:

    

,   .

    Поскольку по любому пути равен перемещению точки из положения 1 в положение 2, а перемещение это одно и то же, то обе эти работы равны . Таким образом, сила тяжести – консервативная сила.

    Сила  называется неконсервативной или непотенциальной, если совершаемая ею работа зависит от формы пути, по которому материальная точка переходит из начального положения в конечное.

    Найдем  работу силы тяги , действующей на автомобиль при его равномерном перемещении из пункта 1 в пункт 2 по двум различным горизонтальным путям и . Искомые значения работы равны соответственно:

    

,   .

    Направление силы тяги в процессе перемещения  автомобиля изменяется, поэтому выносить за знак интеграла нельзя. Но так как в любой точке траектории направлена так же, как , то проекция на одна и та же во всех точках траектории и, следовательно, ее можно вынести за знак интеграла:

    

,

    

.

    Так как  , то . Таким образом, сила тяги, развиваемая двигателем автомобиля – неконсервативная сила. Неконсервативными силами являются силы трения, давления газа, силы вихревого электрического поля, силы, развиваемые любым двигателем.

    Как консервативные, так и неконсервативные силы могут быть стационарными и  нестационарными (зависят ли явно от пути). 

    Работа  и энергия 

    Неуничтожимость движения материи и способность  различных форм движения к взаимным превращениям привели физиков к  мысли о том, что должна существовать единая мера различных форм движения, характеризующая любое движение с точки зрения возможностей превращения его в другие формы. Такая мера была найдена и ее назвали энергией.

    Энергия – это единая мера различных форм движения материи и типов взаимодействия материальных объектов, являющаяся однозначной  непрерывной конечной дифференцируемой функцией параметров состояния объекта.

    Параметрами состояния объекта называются все  измеряемые свойства, характеризующие  состояние этого объекта. Так, параметрами  механического состояния материальной точки являются ее радиус-вектор и скорость ; параметрами термодинамического состояния тела – температура , объем , давление , плотность и т.д.; параметрами состояния электромагнитного поля – векторы напряженности и индукции . Следовательно, энергия есть функция этих параметров состояния.

    Материальные  объекты могут участвовать в  различных формах движения (перемещаться в пространстве в них могут происходить различные молекулярные, электромагнитные, ядерные и т.д. процессы). Обычно изменения, обусловленные участием объекта в различных формах движения, рассматривают отдельно. В связи с этим энергию

    

    можно представить в виде суммы нескольких слагаемых, каждое из которых зависит  от одного-двух параметров. В механике различают следующие виды энергии:

    1) энергию механического движения  тел, т.е. кинетическую (сюда относятся  энергия движения материальной точки, энергия поступательного и вращательного движения твердого тела, энергия последовательного движения упругих тел);

    2) энергию взаимодействия, т.е. потенциальную  (сюда относятся энергия тел  в поле сил тяготения, в поле  электростатических сил, в поле магнитных сил, энергия различных видов деформации). 

    Работа  и кинетическая энергия 

    Функция состояния – это такая физическая характеристика материального объекта, изменение которой при переходе объекта из одного состояния в  другое не зависит от пути перехода, а целиком определяется параметрами начального и конечного состояний. Функциями состояния являются, например, энергия, энтропия, плотность, вязкость и т.д.

    Покажем, что механическая работа однозначно связана с вполне определенной функцией механического состояния материального объекта, который эту работу получает. Пусть на материальную точку с массой действует переменная сила . Найдем работу этой силы за время, в течение которого модуль скорости точки изменяется от до . Элементарная работа силы на перемещение равна

    

.

    Преобразуем правую часть этого соотношения

    

.

    Полная  работа, совершаемая силой при изменении скорости точки от до , равна интегралу

    

.

    Таким образом, работа не зависит от пути перехода точки из начального состояния в конечное. Если модуль скорости точки изменился от до , то совершенная над точкой работа равна . Следовательно, разность эта есть приращение некоторой функции механического состояния точки , зависящее от скорости

    

    или

    

,   ,

    если  много сил, то , .

    Функция механического состояния, которая зависит от массы материальной точки и квадрата ее скорости и приращение которой равно работе всех действующих на точку сил, называется кинетической энергией точки

    

.

    Отметим свойства кинетической энергии:

    1) кинетическая энергия – однозначная конечная непрерывная дифференцируемая функция механического состояния объекта;

    2) кинетическая энергия не может  быть отрицательной;

    3) кинетическая энергия – величина  аддитивная, т.е. кинетическая энергия  системы материальных точек равна  сумме кинетических энергий отдельных точек

    

;

    4) изменение кинетической энергии  точки обусловлено работой всех  действующих на точку сил. Если  эта работа положительна –  кинетическая энергия точки возрастает, если отрицательна – уменьшается;

    5) тело, обладающее кинетической энергией, способно передать ее другим  телам, т.е. совершить работу. В  этом смысле говорят об энергии  как о способности тела совершать  работу. 

    Энергия вращательного движения твердого тела 

    Кинетическая  энергия, которой обладает твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс тела, называется энергией вращательного движения этого тела. Эта энергия складывается из кинетических энергий отдельных элементов тела. Кинетическая энергия элемента , отстоящего на расстоянии от оси, равна

    

.

    Кинетическая  энергия вращения всего ела равна

    

,

    где - момент инерции тела относительно оси вращения, - модуль угловой скорости вращения тела.

    Как известно, плоское движение твердого тела может быть представлено в виде суммы двух движений: поступательного  вместе с центром масс и вращательного  вокруг оси, проходящей через центр  масс и сохраняющей неизменную ориентацию в пространстве. Можно показать, что кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоское движение, равна сумме

    

,

    где - масса тела, - модуль скорости центра масс тела, - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, - модуль угловой скорости тела относительно оси, проходящей через центр масс.

    Первое  слагаемое – энергия поступательного движения тела, второе слагаемое – энергия вращательного движения. 

    Работа  при вращательном движении 

    Найдем  работу, совершаемую внешней силой  при повороте твердого тела на некоторый  угол вокруг неподвижной оси. Элементарная работа dA силы , действующей на тело, равна

    

    где - угол между и , - проекция на направление .

    Поскольку

    

    Получаем:

    

  (*)

    если  М=const,

       .

    Перепишем   и подставим в формулу (*)

    

 

    Проинтегрировав это выражение, найдем работу силы F при повороте тела на конечный угол

    

.

    Как известно, такое движение твердого тела может быть представлено в виде суммы двух движений – поступательного  и вращательного вокруг оси, проходящей через центр масс. Полная кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоское движение, равна

    

    где m – масса тела, - скорость центра масс тела, I_c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела. Первое слагаемое – энергия поступательного движения твердого тела, второе –энергия вращательного движения твердого тела. 

    Работа  и потенциальная  энергия 

     Как уже говорилось ранее, для того, чтобы найти работу силы , нужно знать, как она зависит от скорости ,радиуса-вектора , времени t, закон движения точки Однако, в частном случае, когда на точку действуют только консервативные силы, работу и энергию точки можно найти и не зная закона ее движения. Убедимся в этом, обратившись к работе силы тяжести. Пусть материальная точка с массой переместилась по произвольной траектории из точки 1 в точку 2, находящихся на расстоянии и от поверхности Земли. Совершенная при этом работа равна

     ,

    где - перемещение точки.

    Преобразуем это выражение:

    

,

    где - проекция перемещения на направление .

    Проекцию  можно выразить через приращение высоты . Так как , а , то

    

.

    Подставив это выражение в уравнение  для работы, получим:

    

.

    Мы  видим, что работа силы тяжести зависит  только от модуля , а также от начального и конечного положения точки, и не зависит от пути перехода из точки 1 в точку 2.

    По  какой бы траектории мы ни перемещали материальную точку, результат остался  бы тот же. Следовательно, изменение  есть изменение (убыль) некоторой функции состояния , зависящей от положения материальной точки относительно земли

    

    или

    

    или

    

.

    Для элементарного изменения состояния