Кинематика абсолютно твердого тела. Уравнение движения центра масс

    Любая другая зависимость между штрихованными  и не штрихованными координатами означала бы неравноправие систем отсчета. Только линейные преобразования оставляют равномерное прямолинейное движение равномерным прямолинейным во всех инерциальных системах отсчета. Линейный характер преобразований Галилея и Лоренца означает, что эти преобразования должны отличаться только коэффициентами пропорциональности. Коэффициент пропорциональности в преобразованиях Галилея равен единице:

    

.

    В преобразованиях Лоренца он равен  :

    

.

    Здесь мы вновь считаем, что инерциальная система  неподвижна, а система движется относительно в положительном направлении оси с постоянной скоростью . Коэффициент должен отражать принцип постоянства скорости света. Пусть и - это расстояния, на которые сместится фронт световой волны вдоль иксовых осей в системах и . Тогда и . Подставив это в предыдущее соотношение, получим:

    

.

    Перемножим  эти два соотношения, левые и  правые части, получим:

    

,

    или, если сократить на :

    

.

    Вычислив , можно получить преобразования Лоренца для координат и времени:

    

,   (*)

    

.   (**)

    Для рассматриваемого случая движения вдоль  оси  координаты и не изменяются

    

.

    Подставив (*) в (**), получим формулу перехода от к

    

.

    Подставив (**) в (*), получим формулу перехода от к

    

.

    Из  этих формул видно, что преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея при  . При выражения для и , и становятся мнимыми. Это означает, что движение со скоростями, большими скорости света, невозможно. Особое внимание обратим на формулы преобразования времени. В них отражено одно из самых важных открытий теории относительности: понятие времени неотделимо от понятия длины, которое, в свою очередь, неотделимо от материальных тел, от систем отсчета. Пространство, время, материя существуют в неразрывном единстве. Скорости, соизмеримые со скоростями света, называются релятивистскими. Формулы и соотношения, в которых величина играет существенную роль, также называются релятивистскими. 

    Следствия из преобразований Лоренца. Относительность  понятия одновременности 

    Рассмотрим  две инерциальные системы отсчета  и . Пусть роль системы играет вагон равномерно движущегося поезда, а роль системы - полотно железной дороги. Вдоль вагона расставлены синхронизированные часы, вдоль полотна – тоже. В какой-то момент в центре вагона производится вспышка света. Одновременно ли свет достигнет передней и задней стенок вагона с точки зрения наблюдателя, находящегося в вагоне (т.е. в системе ) и наблюдателя, стоящего у полотна дороги (в системе )?

    Относительно  вагона свет распространяется со скоростью  . Так как передняя и задняя стенки вагона в системе, связанной с вагоном ( ) находятся на одинаковом расстоянии от места вспышки, свет достигнет стенок одновременно.

    Но  относительно полотна дороги свет также  распространяется со скоростью  . Место вспышки относительно полотна не перемещается, стенки же вагона движутся – задняя приближается к месту вспышки, передняя на столько же удаляется. Пока свет распространяется, задняя стенка успеет приблизиться к месту вспышки на некоторое расстояние, а передняя – на столько же удалится.

    Следовательно, фронт световой волны с точки зрения наблюдателя, стоящего у полотна дороги, задней стенки коснется раньше, чем передней. Таким образом, события, одновременные в системе , будут неодновременными в системе . Понятие одновременности относительно, а не абсолютно, как это считалось в классической механике. 

    Относительность промежутков времени  между событиями 

    Рассмотрим  тело, покоящееся в  и, следовательно, движущееся в системе . Пусть в некоторой точке этого тела с координатой происходят два события. Каковы промежутки времени между этими событиями в системах и ? Промежуток времени в системе будем отсчитывать по одним и тем же часам , находящимся в точке, где происходят события. Промежуток времени в системе придется отсчитывать по двум синхронизированным часам и , находящихся в точках и (тело, в котором происходят события, перемещается относительно , поэтому события в системе происходят в разных точках пространства, а следовательно, требуется двое часов).

    Промежуток  времени между событиями в  системе  равен

     ,

    а в системе 

    

.

    Относительно  системы  события происходят в одной и той же точке пространства . Тогда, согласно преобразованию Лоренца для времени, имеем:

     ,

    

.

    Подставив эти два выражения в предыдущее, получим:

    

.

    Таким образом, промежуток времени  , отсчитываемый в системе отсчета , больше промежутка времени , отсчитанного в системе отсчета

    

.

    В связи с этим говорят, что движущиеся часы идут медленнее покоящихся, т.е. в движущихся системах происходит замедление времени по сравнению с ходом  времени в покоящихся системах.

    Время , отсчитанное в системе, относительно которой тело покоится, называется собственным временем тела.

    Время , измеренное в системе, относительно которой тело движется, называется координатным временем. Координатное время всегда больше собственного времени. Замедление времени подтверждено экспериментально. В частности, в опытах с -мезонами, среднее собственное время жизни которых равно 2,5*10^-8 сек, после чего они распадаются. Если бы релятивистского замедления времени не было, то даже двигаясь со скоростью света -мезоны, смогли бы пройти расстояние всего лишь в несколько метров

    3*10⁸*2,5*10^-8 = 7,5 м

    Однако  вследствие замедления времени, происходящего  при скоростях, близких к скорости света  -мезоны живут гораздо дольше (в координатном времени) и успевают пролететь сотни метров. Замедление времени относительно и носит взаимный характер (Пример) 

    Изменение размеров движущихся тел (Лоренцево сокращение) 

    Рассмотрим  стержень, покоящийся в системе и, следовательно, движущийся в системе . Стержень расположен вдоль осей и . Найдем длину стержня в системах и .

    Измерить длину стержня в системе , где он покоится, просто. Нужно переложить вдоль стержня единичный масштаб столько раз, сколько это необходимо, или, что то же самое, определить координаты концов стержня и найти их разность:

    

.   (*)

    Чтобы определить длину стержня в системе  (длину движущегося стержня) нужно: 1) в один и тот же момент времени , отсчитанный по двум синхронизированным в системе часам, определить, в каких точках системы находятся концы стержня, то есть найти координаты и концов стержня; 2) измерить покоящимся относительно масштабом расстояние между этими точками. Это расстояние равно

    

.   (**)

    Согласно  преобразованиям Лоренца для  координат 

    

    

.

    Подставив эти два выражения в (*) и сравнив  с (**), получим:

    

 или  .

    Таким образом, длина стержня  , измеренная в системе, в которой стержень движется, меньше длины , измеренной в системе, относительно которой он покоится. Происходит так называемое лоренцево сокращение длины. Длина называется собственной длиной стержня (можно привести пример с изменением объема куба). 

    Релятивистский  закон сложения скоростей 

    В теории относительности классический закон сложения скоростей Галилей  заменяется релятивистским законом Эйнштейна.

    Пусть некоторое тело движется вдоль оси  . Обозначим скорости этого тела относительно и через и , и их проекции на оси и соответственно через и :

    

,    .

    Продифференцировав  преобразования Лоренца для координаты   и времени , получим:

    

,     .

    Следовательно, разделив на , получим:

    

.

    Разделив  числитель и знаменатель правой части этого равенства на , получим:

    

.

    Но  . Таким образом, для переходов из системы в и из в получим:

    

    

.

    Пример. В системе  распространяется свет . Найдем скорость света относительно системы , если система движется относительно системы со скоростью :

    

.

    Таким образом, и в системе  свет распространяется со скоростью . Это говорит о том, что в любой системе отсчета скорость движения не может быть больше скорости света в вакууме .