Кинематика абсолютно твердого тела. Уравнение движения центра масс

    

.

    Момент  инерции – это мера инерции тел при их вращательном движении. Чем больше момент инерции, тем медленнее изменяется скорость вращения тела под действием данного момента силы. Момент инерции зависит от массы тела и от распределения этой массы относительно оси вращения. Приведем выражения для моментов инерции некоторых твердых тел правильной геометрической формы:

    1) тонкостенный цилиндр (тонкий  обруч)   ;

    2) сплошной цилиндр (диск)     ;

    3) толстостенный цилиндр     ;

    4) шара        ;

    5) тонкого стержня      .

    Оси вращения проходят через центр инерции  тел.

    Моменты инерции тел относительно произвольных осей рассчитываются по теореме Штейнера, которая гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

    

,

    где - момент инерции тела относительно произвольной оси, - относительно оси, проходящей через центр масс, - масса тела, - расстояние между осями.

    Введем  момент инерции в (*)

    

.

    Это основной закон динамики вращательного  движения твердого тела

    

.

    Угловое ускорение, приобретаемое твердым  телом, прямо пропорционально результирующему  моменту всех внешних сил, действующих  на тело, обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси и направлено в сторону момента сил. 

    Момент  импульса твердого тела и материальной точки 

    Вспомним, что

    

,

    и подставим это выражение в  основной закон динамики вращательного  движения твердого тела. Тогда

    

.

    Если  распределение массы относительно оси не меняется, то и его можно внести под знак производной:

    

    или

    

    или

    

,

    где - момент импульса твердого тела относительно оси вращения, - импульс момента силы.

    Момент  импульса твердого тела относительно оси вращения – это вектор, равный произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

    Импульс момента силы относительно оси вращения – это вектор, равный произведению момента силы относительно этой оси  на время действия момента силы.

    Проинтегрировав последнее соотношение, найдем приращение момента импульса за конечный промежуток времени

    

.

     Если  , то

    

.

    Понятие момента импульса применимо к  материальной точке.

    Моментом  импульса материальной точки относительно оси вращения называется вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора материальной точки, проведенной от оси вращения в плоскости вращения, на импульс материальной точки

    

,

    

. 

    Закон изменения и сохранения момента импульса 

    Закон изменения момента импульса твердого тела, вращающегося вокруг оси – это основной закон динамики вращательного движения в его дифференциальной и интегральной форме

    

,

    

.

    В частности, если , то

    

.

    Подставив , получим закон сохранения момента импульса твердого тела

    

,  (*)

    Если  внешние силы на тело не действуют  или действуют так, что их результирующий момент относительно оси вращения равен  нулю, то момент импульса тела относительно этой оси сохраняется.

    Из (*) следует, что если момент инерции  вращающегося твердого тела изменяется, то его угловая скорость тоже изменяется

    

 (пример фигуриста).

    Рассмотрим  систему из двух вращающихся твердых тел, взаимодействующих между собой  с другими внешними телами. Моменты импульсов тел и моменты сил будем отсчитывать относительно одной и той же неподвижной оси.

    Моментом  импульса системы относительно оси  называется сумма моментов импульсов  всех тел системы относительно этой оси:

    

.

    Изменение момента импульса каждого из тел  рассматриваемой системы обусловлено  действием моментов внутренних и  внешних сил. Согласно основному  закону динамики вращательного движения имеем

    

,

    где и - моменты внутренних сил, действующих на первое и второе тела, и - суммарные моменты внешних сил, действующих на первое и второе тела.

    Найдем  быстроту изменения момента импульса нашей системы. Для этого сложим два предыдущих выражения

    

.

    При этом мы учтем, что суммарный момент внутренних сил равен нулю. - момент импульса системы, - результирующий момент внешних сил, поэтому

    

.

    Полученный  результат справедлив для системы, состоящей из произвольного числа  тел. Последнее соотношение –  закон изменения момента импульса системы в дифференциальной форме.

    Производная по времени от момента импульса системы, взятого относительно произвольной оси, равна результирующему моменту  внешних сил относительно этой же оси.

    Для замкнутой системы  и тогда мы получаем закон сохранения момента импульса системы:

    

,   .

    Момент  импульса замкнутой механической системы  сохраняется

    

,

    где - момент импульса -й частицы в момент времени ,

     - момент импульса  -й частицы в момент времени . 
 
 

    Лекция 5

    Механическая  работа и мощность 

    Опыт  показывает, что различные формы  движения материи способны к взаимным превращениям. Так, в тепловой машине хаотичное молекулярное движение частично превращается в упорядоченное механическое, а при движении с трением механическое движение превращается в хаотическое молекулярное. Движение бесследно не исчезает. Исчезновение одной формы движения всегда сопровождается возникновением эквивалентного количества движения другой форы.

    Работа  – это физическая величина, характеризующая  процесс превращения одной формы  движения в другую.

    По  определению, элементарная работа , совершаемая силой , равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение точки приложения силы

    

.

    Работа  на конечном перемещении равна интегралу

    

,

    где и - радиусы-векторы начального и конечного положений точки приложения силы. От интегрирования по радиусу-вектору можно перейти к интегрированию по времени. Выразим элементарное перемещение через мгновенную скорость :

    

,

    тогда получим:

    

.

    Интегрируя  это выражение по времени, получим  работу силы за конечный промежуток времени  :

    

.

    Для вычисления работы в общем случае нужно знать силу , радиусы-векторы начального и конечного положений движущейся точки и (или начальный и конечный моменты времени и ) и закон движения точки .

    В случае, если в процессе перемещения  сила не изменяется ни по модулю, ни по направлению, то ее можно вынести  за знак интеграла

    

,

    где - перемещение точки, - угол между и .

    Если  при этом перемещение происходит по прямолинейной траектории, то , где - пройденный путь.

    Тогда

    

,

    угол  - угол между направлением силы и направлением движения. Тогда - проекция силы на направление движения.

    Работа  – величина алгебраическая: она  может быть положительной  и отрицательной. Если угол между и острый  - работа силы положительна, если угол тупой – работа отрицательная.

    Сила, действующая на материальную точку, не совершает работу, если: а) точка  покоится ( ), б) направление силы перпендикулярно к направлению перемещения (скалярное произведение взаимно неперпендикулярных векторов равно нулю). (Примеры).

    Если  на материальную точку одновременно действует несколько сил, то из принципа независимости действия сил следует, что работа равнодействующей силы (полная работа) равна сумме работ составляющих сил

    

.

    Работа  может быть вычислена графически. Построим график зависимости  от . Если , то работа силы на пути численно равна площади прямоугольника, покрытого штриховкой. Если , то графиком будет некоторая кривая. Работой силы на пути в этом случае равна площади заштрихованной криволинейной трапеции

    

,   .

    Элементарная  работа равна площади узкой полоски.

    Быстроту  совершения работы характеризует мощность. Мощность равна работе, совершаемой  за единицу времени. Различают среднюю и мгновенную мощности. Средняя за промежуток времени мощность равна:

    

,

    где - работа, совершаемая силой за время .

    Мгновенная  мощность равна

    

.

    Подставив сюда и принимая во внимание, что - мгновенной скорости, получим:

    

.

    Мгновенная  мощность равна скалярному произведению силы на скорость. 
 
 
 
 

    Консервативные и неконсервативные силы 

    Силы, работа которых не зависит от формы  пути, по которому материальная точка  переходит из некоторого начального положения в конечное, называются консервативными или потенциальными.

     Найдем работу, совершаемую силой тяжести при  перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2 по двум разным путям и . Искомые работы равны соответственно