Кинематика абсолютно твердого тела. Уравнение движения центра масс

    Чтобы ответить на поставленный вопрос, нужно сравнить вид основных законов механики в разных инерциальных системах отсчета. Если окажется, что законы одной механики не изменяют своего вида при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то это и буде означать, что механические явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково.

    Для того, чтобы осуществить переход  от одной инерциальной системы отсчета  к другой, мы должны знать правила, по которым при этом преобразуются  координаты и время.

    Преобразования  координат и времени, в основе которых лежат классические представления о свойствах пространства и времени, называются преобразованиями Галилея.

    Рассмотрим  две инерциальные декартовы системы  координат  и . Систему будем считать неподвижной, систему - движущейся со скоростью в положительном направлении оси без поворота осей и . В начальный момент времени начала координат обеих систем и направления их осей совпадают. Обе системы снабжены синхронизированными часами.

Классическая механика постулирует, что время абсолютно, следовательно, часы, связанные с системами и всегда будут показывать одно и то же время:

    

.

    Найдем  связь между радиусами-векторами (координатами) одной и той же материальной точки  в системах и . Пусть в некоторый момент времени положение точки в системе определяется радиусом-вектором . Перемещение системы относительно за время равно

    

.

    По  правилу вычитания векторов

    

.

    Скорректировав  все векторы этого соотношения  на оси координат, найдем связь между компонентами векторов и

    

    Эти формулы позволяют найти координаты материальной точки в системе  , если известны ее координаты в системе .

    Аналогично, для перехода от к получаем

    

    или в проекциях на оси координат

    

    Эти две системы соотношений между  координатами и временами неподвижной  и движущейся  постоянной скоростью и системами координат называются преобразованиями Галилея.

    Из  преобразований Галилея вытекает закон  сложения скоростей в классической механике. Продифференцируем выражение  по времени:

    

.

    Но  - скорость точки относительно системы , - скорость точки относительно системы . Следовательно,

    

.

    Для перехода от системы к

    

.

    В проекциях эти два соотношения  запишутся так:

    

    .

    Пользуясь преобразованиями Галилея, можно показать, что некоторые физические величины и соотношения изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. являются относительными, другие – не изменяются, т.е. являются инвариантными по отношению к преобразованиям Галилея.

    Так как законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета, то все механические явления в таких системах протекают одинаково. Равномерное прямолинейное движение системы отсчета не влияет на ход механических процессов и его невозможно обнаружить механическим опытами. Так, изучая различные механические явления (например, свободное падение тел, колебания маятника и т.д.) в равномерно и прямолинейно движущемся вагоне, мы не сможем определить, движется вагон или нет. Эти явления будут протекать так, как если бы вагон покоился.

    Таким образом, никакими механическими опытами, проведенными внутри инерциальной системы  отсчета, невозможно установить, покоится эта система относительно другой инерциальной системы отсчета или  движется.

    Законы  механики инварианты относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой.

    Эти утверждения – эквивалентны формулировке механического принципа относительности  Галилея. 
 
 
 
 

    Лекция 7

    Элементы  специальной теории относительности 

    Теория  относительности создана А. Эйзенштейном в 1905-1916 годах. Теория относительности включает в себя специальную и общую теории. Первая рассматривает свойства пространства-времени в отсутствии полей тяготения, вторая – в неинерциальных системах при наличии полей тяготения. Мы будем изучать только специальную теорию относительности.

    Рассмотрим  сначала кратко представления классической механики в пространстве, времени  и движении.

    1) Классическая механика утверждает, что пространство абсолютно. Абсолютное  пространство – это некое неподвижное,  безграничное, пустое вместилище материи. Свойства абсолютного пространства не зависят от того, есть в нем материальные тела, или нет, движутся они или покоятся.

    Абсолютное  пространство трехмерно – оно  имеет при измерения и для  однозначного определения положения  каждой его точки необходимо задать три координаты.

    Абсолютное  пространство непрерывно, т.е. координаты, определяющие положение отдельных  его точек, могут принимать любые  значения.

    Абсолютное  пространство эвклидово, т.е. метрические  свойства описываются геометрией Эвклида.

    Абсолютное  пространство однородно, т.е. в нем  нельзя выделить особых точек, которые  могли бы послужить началом привилегированны систем координат.

    Абсолютное  пространство изотропно, т.е. в нем  не существует особых, привилегированных  направлений, все его направления равноправны.

    2) Классическая механика также  утверждает, что время абсолютно.  Абсолютное время – это некая  абсолютная длительность событий,  не зависящая от тел.

    Абсолютное  время одномерно – т.е. для  его определения необходимо задать одно число – временную координату.

    Абсолютное  время непрерывно – т.е. два его  мгновения могут быть абсолютно  близки друг к другу.

    Абсолютное  время однородно – т.е. в нем  нельзя выделить особого мгновения, которое могло бы служить началом  привилегированной системы отсчета времени.

    Абсолютное  время анизотропно, т.е. оно не обладает способностью течь сначала в одном  направлении, а затем в другом, оно течет всегда в одном направлении  – из прошлого в будущее.

    Считается, что абсолютное пространство и абсолютное время не взаимосвязаны, т.е. существуют независимо друг от друга, а также от материи и ее движения.

    В классической механике также считается, что все инерциальные системы  отсчета в механическом отношении  равноправны. 

    Экспериментальные основы специальной  теории относительности 

    Как известно, волновая теория света, выдвинутая Х. Гюйгенсом в XVII веке, основывалась на представлении о существовании материального светового носителя – эфира. Эфир считался средой, заполняющей пространство и пронизывающей все тела. Свет по Гюйгенсу – упругие поперечные волны механического эфира. Создание Максвеллом электромагнитной теории света (XIX век) привело к представлению об электромагнитном эфире.

    Возникает вопрос, вовлекается ли эфир в движение телами или нет? Были выдвинуты три  теории. По Г.Р. Герцу (Германия) эфир полностью увлекается движущимися телами, по А. Физо (Франция) – частично, по Г.А. Лоренцу (Голландия) – не увлекается вовсе.

    Остановимся на последнем предположении.

    Если  свет – колебания эфира, то скорость света относительно эфира не зависит от скорости , с которой источник или приемник света движется относительно эфира. Скорость же света относительно источника или приемника зависит от и согласно классическому закону сложения скоростей должна быть равна

     .

    Опыт  по проверке этого соотношения впервые  осуществили А.А. Майкельсон и Е.В. Морли (США) в 1887 году. Майкельсон и Морли  пытались определить скорость земли  относительно эфира. Идея их опыта состояла в следующем.

     Два луча света  посылались в двух взаимно перпендикулярных направлениях: один – в направлении  орбитального движения земли, другой –  в перпендикулярном к этому направлению. Определялись скорости света  и (относительно Земли) вдоль этих направлений. Так как в направлении орбитального движения Земли источник света относительно эфира двигался, а в направлении, перпендикулярном к орбите – был неподвижен, то считалось, что (скорость должна быть меньше , т.к. эфир движется навстречу Земле).

    Опыт  показал, что скорости и одинаковы, и, следовательно, никакого движения Земли относительно эфира не существует. Гипотеза неподвижного эфир оказалась несостоятельной. Несостоятельными оказались и две другие гипотезы: они также противоречили опытным фактам.

    На  основе экспериментальных данных были выдвинуты новые предположения: 1) Так как эфир невозможно обнаружить никакими опытами, то его вообще не существует; 2) Свет независимо от состояния движения источника распространяется в вакууме по всем направлениям изотропно – т.е. с одной и той же скоростью. Скорость света не складывается ни с какой другой скоростью. Свет проходит с одной и той же скоростью и мимо неподвижного тела, и мимо тела, движущегося навстречу свету, и мимо тела, догоняющего свет. 

    Постулаты специальной теории относительности 

    Обобщенную  формулировку принципа относительности называют первым постулатом специальной теории относительности. Вот некоторые его равноправные формулировки: 1) Никакими физическими опытами, проведенными внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно относительно других инерциальных систем; 2) Законы природы инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой.

    Второй  постулат специальной теории относительности, или принцип постоянства скорости света, гласит: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света.

    Скорость  света в вакууме  - предельная скорость распространения любых взаимодействий. Не существует взаимодействий, способных распространяться с бесконечной скоростью, как это принято считать в классической механике. Со скоростью передаются в вакууме все известные функциональные взаимодействия – электромагнитное, гравитационное, ядерное. 

    Преобразования  Лоренца 

    В этом параграфе мы рассмотрим преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы координат  к другой. Преобразования Галилея  несовместимы с постулатами Эйнштейна. Так, из преобразований Галилея следует, что скорость света в разных инерциальных системах отсчета разная, в то время как по второму постулату специальной теории относительности она одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

    Преобразования  координат и времени, в основе которых лежат постулаты специальной теории относительности, называются преобразованиями Лоренца.

    Из  равноправия всех инерциальных систем отсчета, из принципа постоянства скорости света, из однородности пространства и  времени следует, что преобразования Лоренца должны быть линейными относительно и .