Математические методы в геологии

     Математическая (Аналитическая) геология, [4] — научная дисциплина, занимающаяся математическим моделированием геологических процессов и примыкающими к этому вопросу задачами. В русской литературе термин был предложен в 1944 году и поддержан академиком В. И. Вернадским, а в 1947 году появился в английской литературе. Математическая геология охватывает обширный круг вопросов, делящихся по соотношению между геологическим материалом и методом ввода в задачу математического аппарата на три раздела.

     I — собственно математическая  геология — ставит целью построение  математических моделей геологических процессов, исходя из генетических представлений современной геологии. Это необходимо для проверки непротиворечивости генетических построений геологии материалу наблюдений. Анализ постановки вопросов происхождения тех или иных объектов в геологии показывает, что интересны не столько частные, конкретные объекты, сколько представления о том, как они возникают и формируются. Так как в геологии повторение явлений в фиксированных условиях невозможно, то геолог вынужден строить заключение о процессе по единичным, частным результатам этого процесса. Таким образом, задачи геологии — задачи обратного типа. Изучение геологических объектов, как порождений процессов, показывает, что ситуация, в которой реализуется в природе процесс, такова, что точное предсказание свойств объектов невозможно. Поэтому исследуемые в геологии объекты, как правило, являются случайными величинами. Это значит, что вероятностный подход к ее явлениям наиболее приемлем. Поэтому математические модели геологических процессов являются вероятностными (стохастическими). В настоящее время осуществлено вероятностное моделирование ряда процессов: формирование слоистых структур, последовательность образования зерен в гранитах, активность кратера вулкана.

     II — построение вероятностной модели  процесса требует вполне конкретных  представлений об особенностях  процесса, порождающего геологические объекты. Но генетические схемы геологии очень часто недостаточно конкретны для того, чтобы построить стохастическую модель. В этом случае используются модели-отклики; это — функция, описывающая основные свойства геологического объекта. Например, многим осадочным толщам свойственно циклическое строение, но причины его не ясны. Таким образом, для проверки тех или иных построений относительно свойств геологического объекта необходимо иметь метод, основанный на учете свойств этого объекта, а не механизма его образования. В этом случае задача решается введением функции, параметры которой оцениваются наблюдениями, а вид задается представлениями о специфике свойств объекта. Если наши представления о свойствах объекта адекватны действительности, то найденные из опыта оценки параметров выявят свойства функции, согласующиеся с проверяемой гипотезой. Если же гипотеза не отражает свойств материала, то оценки параметров дадут такие специфические черты функции, которые укажут на несоответствие гипотезы материалу. Например, мы хотим проверить гипотезу о том, что на Дальнем Востоке количество К в мезозойских гранитоидах падает по направлению к Тихому океану. Для этого вводится такая функция от географических координат, линии ур. которой могут обрисовывать изменения в содержании К по направлению к океану. Затем по данным наблюдений оцениваются параметры этой функции. В зависимости от полученных оценок, линии ур. функции (модели-отклика) укажут либо на снижение содержания К к океану, либо дадут узор, не поддающийся геологической интерпретации. Последнее укажет, что предлагаемая гипотеза не согласуется с наблюдениями в терминах данной модели-отклика. Модели-отклики строились в литологии, региональной геологии, при подсчете запасов. В частности, введение модели-отклика размещения концентраций Аu в конгломератах Рэнда (Ю. Африка) позволило Криге и Матерому создать новый метод подсчета запасов.

     III — использование в геологии  математического аппарата с описательными  целями. Работы этого типа часто  называют «статистической обработкой геологических наблюдений». В этом случае имеют место два типа исследований:

     1) разумное сокращение информации;

     2) проверка каких-либо гипотез при  постулированных математических свойствах обрабатываемого материала.

     При сокращении информации используется следующая  идея. Мы имеем множество наблюдений и не можем по ним составить мнение о некоторых характеристиках изучаемого объекта. Пожертвуем частью информации, но зато рельефно представим интересующее нас свойство. Например, нас интересует, насколько велик разброс наблюдений. Ясно, что наиболее полная информация дается всеми наблюдениями. Но это неудобно. Для удобства можно взять самое большое и самое малое наблюденные значения. Это рельефно покажет разброс, хотя часть информации и будет потеряна. Проверка гипотез, осуществляемая с помощью описательной статистики, может быть выяснена проще всего на примере. Допустим, имеются месторождения А со средним содержанием металла и соответственно месторождения В с . Необходимо проверить гипотезу о равенстве средних и . Для решения этой задачи средствами описательной статистики необходимо знать точные значения средних квадратичных отклонений σ²_A и σ²_В и число наблюдений. На практике ни σ²_A, ни σ² не известны; из наблюдений известны только их опытные аналоги — S²_A и S²_B. Практик, пользуясь общеизвестными формулами, допускает, что σ²_A = S²_A и σ²_В = S²_B. Для точного решения задачи необходимо, чтобы концентрации металла в пробах были независимы и распределены по нормальному закону. В этом случае можно вынести ответственное суждение — равны средние или нет. Но при описательном применении статистики большая часть указаний аксиоматики опускается и счет ведется по готовым формулам. В этом случае, если аксиоматика, положенная в основу метода, совпадает с тем, что наблюдается в природе, то результат получается реальный, если же аксиоматика не отвечает соотношениям, существующим в природе, то результат оказывается фиктивным. Таким образом, эти методы не допускают механического применения. Например, коэффициент корреляции — очень полезен во многих задачах геохимии, минералогии, петрологии, палеонтологии и т. п., но было бы грубой ошибкой использовать его для выяснения связи между структурными поверхностями при анализе тектонических поднятий.

     Если  сравнивать положение математики в  задачах каждого из выделенных разделов математической геологии, то в I разделе представления о геологическом процессе целиком определяют математические построения, математика целиком подчинена геологии. Во II разделе геология определяет выбор функции. Наконец, в задачах III раздела всё основывается на априорном признании геологом уместности использования готового аппарата и соответствии его решаемым задачам.[4].

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ

     ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически  нет такой области человеческой деятельности, где не применялась  бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.

     Для использования ЭВМ при решении  прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.

     Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта  А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

     Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

     Моделирование широко используется в различных сферах человеческой деятельности, особенно в сферах проектирования и управления, где особенными являются процессы принятия эффективных решений на основе получаемой информации.

     Модель  всегда строится с определенной целью, которая оказывает влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие - нет. Модель представляет собой как бы проекцию объективной реальности под определенным углом зрения. Иногда, в зависимости от целей, можно получить ряд проекций объективной реальности, вступающих в противоречие. Это характерно, как правило, для сложных систем, у которых каждая проекция выделяет существенное для определенной цели из множества несущественного.

     Теорией моделирования является раздел науки, изучающий способы исследования свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит теория подобия. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и лишь стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

     Все модели можно разделить на два  класса:

1. вещественные,
2. идеальные.

     В свою очередь вещественные модели можно  разделить на:

1. натурные,
2. физические,
3. математические.

     Идеальные модели можно разделить на:

1. наглядные,
2. знаковые,
3. математические.

     Вещественные  натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

     Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

     Вещественные  математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

     Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные  и геометрические модели.

     Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.

     Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

     В приведенной классификации некоторые  модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

     Остановимся на одном из наиболее универсальных  видов моделирования - математическом, ставящим в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений, решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэффективной.

     Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

     Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.

     В общем случае математическая модель реального объекта, процесса или системы представляется в виде системы функционалов

     Ф_i (X,Y,Z,t)=0,

     где X - вектор входных переменных, X=[x₁,x₂,x₃, ... , x_N]^t,

     Y - вектор выходных переменных, Y=[y₁,y₂,y₃, ... , y_N]^t,

     Z - вектор внешних воздействий, Z=[z₁,z₂,z₃, ... , z_N]^t,

     t - координата времени.

     Построение  математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

     Обычно  их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. При построении математической модели перед исследованием возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат (математическая модель обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и факторами, введенными в математическую модель. Такая связь зачастую выражается системами дифференциальных уравнений в частных производных (например, в задачах механики твердого тела, жидкости и газа, теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и электродинамического полей).

     Конечной целью этого этапа является формулирование математической задачи, решение которой с необходимой точностью выражает результаты, интересующие специалиста.