Геологические системы являются весьма сложными структурами, находящимися под влиянием большого числа трудно учитываемых факторов, поэтому математическое моделирование не может дать их исчерпывающую характеристику. Следовательно, любая математическая модель является приближенным отражением реальных природных систем и для каждой природной системы можно построить несколько математических моделей различной степени сложности. Обычно по мере усложнения математической модели повышается достоверность прогнозирования и надежность выводов. Но существует оптимальная степень сложности математических моделей, такая, при которой дальнейшее усложнение не будет повышать достоверность прогнозирования и может даже ухудшить работоспособность модели. Нередко степень сложности математических моделей ограничивается техническими возможностями вычислительной техники.

ПРИНЦИПЫ  И МЕТОДЫ

ГЕОЛОГО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

    Применение  математического моделирования  в геологии сопряжено с рядом  трудностей.

    Математическая  модель, как и любая другая, является упрощенным аналогом исследуемого объекта. Из-за сложности геологических объектов ни одна математическая модель не может воспроизвести все их свойства. Поэтому для описания различных свойств одного и того же объекта часто приходится использовать различные математические модели. При этом необходимо убедиться в том, что выбранная модель достаточно полно отражает именно те свойства объекта, которые непосредственно влияют на решение поставленной задачи.

    Математические  модели не могут исчерпывающе полно  характеризовать изучаемые свойства. Они основаны на определенных допущениях о характере свойств объекта  моделирования. Поэтому необходимо следить за тем, чтобы эти допущения не приводили к принципиальному искажению реальных свойств объекта в рамках поставленной задачи. В связи с тем, что встречающиеся в практике геологических исследований задачи также весьма разнообразны, может возникнуть ситуация, когда для моделирования одного и того же свойства объекта необходимо использовать различные модели.

    Определенные  сложности иногда возникают также  из-за отсутствия четких границ геологических  совокупностей и рассмотренных  выше особенностей их изучения.

    Итак, решение геологических задач  на основе математического моделирования  представляет собой довольно сложный  процесс, в котором можно выделить следующие этапы:

  1) формулировка геологической задачи;

  2) определение геологической совокупности, то есть установление границ геологического объекта или временного интервала геологического процесса;

  3) выявление главных свойств объекта  или параметров процесса в  рамках поставленной задачи;

  4) переход от геологической совокупности  к опробуемой и выборочной с учетом особенностей методов исследования;

  5) выбор типа математической модели;

  6) формулировка математической задачи  в рамках выбранной математической  модели;

  7) выбор метода решения математической  задачи;

  8) решение математической задачи на основе вычисления параметров математической модели объекта;

  9) интерпретация полученных результатов  применительно к геологической  задаче;

  10) оценка вероятности и величины  возможной ошибки за счет неадекватности  модели и объекта.

    Таким образом, этапу собственно математического моделирования предшествуют этапы создания геологической модели (опробуемой и выборочной геологической совокупности). Поэтому модели, используемые для решения геологических задач математическими методами, можно назвать геолого-математическими.

    Справедливость  конечного вывода при решении  задач на основе геолого-математического  моделирования зависит от правильности решений, принимаемых на каждом этапе. Нетрудно заметить, что решения на большинстве этапов принимаются  исходя из особенностей геологических задач и свойств геологических объектов, поэтому они полностью находятся в компетенции геолога. Консультант математик может оказать существенную помощь геологу лишь при выборе метода решения математической задачи. Как показал многолетний опыт, большинство ошибок, допускавшихся при использовании математических методов в геологии, было обусловлено не слабой математической подготовкой геологов, а тем, что не учитывалась специфика геологических объектов и задач. Поэтому при изложении дальнейшего материала на эти аспекты геолого-математического моделирования обращено особое внимание.

ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

   Последовательность  операций математического моделирования  можно показать на нескольких примерах.

     Пример 1. Рудное тело имеет длину по простиранию a = 500 м, по падению b = 200 м, видимую среднюю мощность на дневной поверхности m = 8 м, угол падения a = 65°. Необходимо оценить объем рудного тела.

     Из  условия задачи понятно, что определена система (объект исследования) – рудное тело, измерены его параметры: размеры по простиранию и падению, мощность и угол падения, т.е. выполнены две операции моделирования.

     Наиболее  ответственна третья операция – создание геологической модели рудного тела. Возможно несколько альтернативных вариантов предположений о форме рудного тела:

     а) рудное тело сохраняет протяженность и мощность на глубине, т.е. имеет форму параллелепипеда;

     б) рудное тело выклинивается на глубине в линию, т.е. имеет форму клина;

     в) рудное тело выклинивается на глубине в точку, т.е. имеет форму пирамиды.

     Возможны  и другие предположения о форме  рудного тела на глубине. При существующем объеме геологической информации сделанные  предположения о форме рудного  тела равновероятны.

     Четвертая операция – это выражение в  виде математических формул геологических предположений о форме рудного тела. Предварительно необходимо уточнить, как ориентирована видимая мощность. Положим, что она горизонтальная, тогда истинная мощность рудного тела m_ист = msina. Запишем три формулы объема:

     а) объем параллелепипеда V = abmsina;

     б) объем клина   V = 1/2 abmsina;

     в) объем пирамиды  V = 1/3 abmsina.

     Из  сравнения формул видно, что объем  рудного тела существенно зависит от предположения о его форме, различаясь по вариантам в 3 раза.

     Пятая операция – вычисление (прогнозирование) объема рудного тела по приведенным формулам:

     а) объем параллелепипеда V = 725,0 тыс.м³;

     б) объем клина   V = 362,5 тыс.м³;

     в) объем пирамиды  V = 241,7 тыс.м³.

     Шестая  операция – проверка совпадения вычисленного и фактического объемов. Очевидно, что фактический объем рудного тела установить трудно. Это требует проведения дополнительных работ, например детального изучения рудного тела на глубине с помощью разведочных выработок или добычи руды. Предположим, что рудное тело добыто и его объем оказался 350 тыс.м³, тогда можно заключить, что ближе всего к истине второй вариант (выклинивание рудного тела в линию). Погрешность прогнозирования объема рудного тела по второму варианту в абсолютном выражении δ = 362,5×350 = = 12,5 тыс.м³, в относительном 12,5/350 = 0,036 = 3,6 %.

     Пример 2. В рудах полиметаллического месторождения пробы проанализированы на цинк и кадмий. При построении графика обнаружено, что с возрастанием содержаний цинка растет содержание кадмия (рис. 1). Требуется дать геологическое объяснение зависимости и построить математическую модель.

     Исходными данными для построения модели являются содержания цинка x и кадмия y в пробах руды. Пока не будем рассматривать конкретные числовые данные и их обработку, а ограничимся логическими рассуждениями. 

     

     Зависимость между содержаниями цинка и кадмия вызвана тем, что оба компонента входят в состав одного минерала – сфалерита. При увеличении количества сфалерита растет содержание цинка и кадмия в руде. Это предполагаемая геологическая модель зависимости.

     Математическая  модель сводится к составлению уравнения зависимости между содержаниями цинка и кадмия. Пренебрегая неизбежными колебаниями состава сфалерита, можно принять, что содержание в нем компонентов постоянное (это одно из допущений модели). Тогда между содержаниями цинка x и кадмия y должна существовать пропорциональная зависимость y = bx (b – коэффициент пропорциональности). Прямая y = bx должна проходить через две точки графика – начало координат и центр тяжести точек, соответствующий средним содержаниям цинка и кадмия в пробах.

     Графический анализ зависимости (линия 1 на рис. 1) показывает, что данная прямая не соответствует расположению точек. Это говорит о том, что геологическая и математические модели не соответствуют действительности. Прямая линия должна проходить вдоль удлинения облака точек, но тогда это будет не пропорциональная, а линейная зависимость, выражаемая уравнением y = a + bх (a и b – коэффициенты). Линия уравнения не проходит через начало координат, а отсекает на оси ординат отрезок а, т.е. при нулевом содержании цинка и, следовательно, сфалерита содержание кадмия равно не нулю, а значению а. Геологическое объяснение данного факта состоит в том, что некоторая часть кадмия имеется в других минералах и нужно проверить их состав.

     В данном случае математическое моделирование  позволяет из двух моделей (пропорциональной и линейной) выбрать одну, более  достоверную, и помогает более правильно  объяснить наблюдаемую зависимость.

     Пример 3. Известна плотность руды и содержание в ней полезного компонента. Необходимо построить математическую модель зависимости этих величин, что актуально для руд многих черных и цветных металлов.

     Для упрощения модели с целью выделения  ее главных особенностей примем, что руда состоит из двух минералов (рудного и нерудного), их массы m₁ и m₂, объемы V₁ и V₂, плотности ρ₁ и ρ₂, содержания в них компонента С₁ и С₂, причем положим ρ₁ > ρ₂ и C₁ > C₂ . В качестве аргумента x будет служить содержание компонента в руде:

.                                    (1.2)

     В качестве функции y будет плотность руды:

.                                        (1.3)

Требуется найти математическое выражение  зависимости плотности y от содержания x.

Очевидно, что V₁ = m₁/ρ₁ и V₂ = m₂/ρ₂. Подставляя их в формулу (1.3), получим

.                                  (1.4)

     Из  формулы (1.3) найдем величину m1:

     Подставим ее в выражение (1.4). После преобразований получим

     Обозначим

, .

     В результате имеем гиперболическую  зависимость плотности руды у от содержания в ней компонента x (рис. 2):

     

     Формула (1.5) представляет собою математическую модель зависимости.

,        (1.5)

     где a и b – постоянные коэффициенты.

     Подобная  зависимость часто используется на практике. Ее характер принципиально не изменится, если руда состоит из нескольких минералов, но появится разброс исходных данных около гиперболической зависимости, что вызвано колебаниями количественных соотношений минералов в руде и их состава.