Форма и принципы представления математической модели зависит от многих факторов.

     По  принципам построения математические модели разделяют на:

1. аналитические;
2. имитационные.

     В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей.

     Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:

1. уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),
2. аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование),
3. задачи оптимизации,
4. стохастические проблемы.

     Однако  по мере усложнения объекта моделирования  построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда  исследователь вынужден использовать имитационное моделирование.

     В имитационном моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов. Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем здесь затруднительно. Можно сказать, что имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.

     В зависимости от характера исследуемых  реальных процессов и систем математические модели могут быть:

1. детерминированные,
2. стохастические.

     В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно  определить. При построении детерминированных  моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра.

     Стохастическая  модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается  методами теории вероятности и математической статистики.

     По  виду входной информации модели разделяются  на:

1. непрерывные,
2. дискретные.

     Если  информация и параметры являются непрерывными, а математические связи  устойчивы, то модель - непрерывная. И  наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.

     По  поведению моделей во времени  они разделяются на:

1. статические,
2. динамические.

     Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.

     По  степени соответствия между математической моделью и реальным объектом, процессом или системой математические модели разделяют на:

1. изоморфные (одинаковые по форме),
2. гомоморфные (разные по форме).

     Модель называется изоморфной, если между нею и реальным объектом, процессом или системой существует полное поэлементное соответствие. Гомоморфной - если существует соответствие лишь между наиболее значительными составными частями объекта и модели.

     Для использования ЭВМ при решении прикладных задач прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель.

     Математические  модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.

     Для построения математической модели необходимо:

1. тщательно проанализировать реальный объект или процесс;
2. выделить его наиболее существенные черты и свойства;
3. определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;
4. описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);
5. выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;
6. определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.

     Математическое  моделирование, кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:

1. построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;
2. проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
3. корректировка модели;
4. использование модели.

     Математическое  описание исследуемых процессов  и систем зависит от:

1. природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности, теории упругости и т.д.
2. требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.

     На  этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.

     Математическая  модель никогда не бывает полностью  тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе. Основанная на упрощении, идеализации она является приближенным описанием объекта. Поэтому результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. Их точность определяется степенью адекватности (соответствия) модели и объекта.

     Построение математической модели обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.

     Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальный объект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола.

     Однако  модель прямоугольника для письменного стола – это простейшая, наиболее грубая модель. При более серьезном подходе к задаче прежде, чем воспользоваться для определения площади стола моделью прямоугольника, эту модель нужно проверить. Проверки можно осуществить следующим образом: измерить длины противоположных сторон стола, а также длины его диагоналей и сравнить их между собой. Если, с требуемой степенью точности, длины противоположных сторон и длины диагоналей попарно равны между собой, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник. В противном случае модель прямоугольника придется отвергнуть и заменить моделью четырехугольника общего вида. При более высоком требовании к точности может возникнуть необходимость пойти в уточнении модели еще дальше, например, учесть закругления углов стола.

     С помощью этого простого примера  было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым  объектом, процессом или системой. Для одного и того же стола мы можем принять либо модель прямоугольника, либо более сложную модель четырехугольника общего вида, либо четырехугольника с закругленными углами. Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая новые и новые особенности изучаемого объекта, процесса или системы.

     Важно подчеркнуть, что, чем выше требования к точности результатов решения задачи, тем больше необходимость учитывать при построении математической модели особенности изучаемого объекта, процесса или системы. Однако, здесь важно во время остановиться, так как сложная математическая модель может превратиться в трудно разрешимую задачу.

     Наиболее  просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение  и свойства объекта, процесса или  системы, и имеется большой практический опыт их применения.

     Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта, процесса или системы не является математическим вопросом и не может быть решен математическими методами.

     Основным  критерием истинности является эксперимент, практика в самом широком смысле этого слова.

     Построение математической модели в прикладных задачах – один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более, чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Поэтому очень важно, чтобы при решении прикладных задач математики обладали специальными знаниями об объекте, а их партнеры, специалисты, – определенной математической культурой, опытом исследования в своей области, знанием ЭВМ и программирования.

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ГЕОЛОГИИ

    Материальные  системы, как объекты изучения, принято  разделять на хорошо и плохо организованные.

    Хорошо  организованные системы состоят из ограниченного количества элементов, между которыми существуют строго определенные и однозначные зависимости. К этим системам можно отнести простейшие химические и физические процессы, механизмы, приборы и т.п. Их свойства и состояния могут быть количественно описаны с помощью законов физики и химии.

    К плохо организованным системам относятся сложные природные объекты и явления, на состояние и свойства которых влияет множество факторов различной природы. Типичными плохо организованными системами являются живые организмы и их сообщества, а также большинство объектов, изучаемых науками о Земле. При изучении них систем в их структуре удается установить лишь отдельные закономерности, то есть тенденции, не поддающиеся строгому количественному выражению.

    Основным  методом изучения плохо организованных систем является моделирование, когда непосредственный объект изучения заменяется его упрощенным аналогом – моделью.

    По  характеру моделей выделяют предметное и знаковое (информационное) моделирование.

    Предметным называется моделирование, в ходе которого исследование ведется на модели, воспроизводящей определенные геометрические, физические, динамические либо функциональные характеристики объекта.

    При знаковом моделировании в качестве моделей выступают схемы, чертежи, формулы, мысли, высказанные или записанные на каком-либо языке.

    В зависимости от того, какие особенности  объекта изучаются, различают модели его структуры и поведения (функционирования). Первые используются для изучения статичных  систем (то есть свойств материальных предметов), а вторые – для исследования динамичных систем (то есть процессов).