Подземная нефте-газовая гидродинамика

 

Тем не менее, экспериментально было обнаружено существование так  называемой стабилизированной зоны насыщенности, которая перемещается, не изменяя своей формы, и распределение насыщенности в ней при постоянной скорости вытеснения – стационарно. В теории Баклея – Лаверетта (при пренебрежении капиллярными силами) стабилизированная зона моделируется скачком. Модель Рапопорта – Лиса позволяет определить ширину данной зоны (рис. 6.8).

7.ОСНОВЫ ФИЛЬТРАЦИИ  НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

 

При очень малых перепадах  течение жидкостей в пластах, как отмечалось ранее, не подчиняется  закону Дарси и поведение жидкости аномально. Данная аномальность  связана с физико-химическим взаимодействием фильтрующихся жидкостей с материалом пористой среды, а сами жидкости при этом получили название неньютоновские.

Кроме этого наличие нелинейной связи тензора скоростей деформации с тензором напряжения может проявляться и в ряде других случаев. Так повышенное содержание в нефтях высокомолекулярных компонентов (смол, асфальтенов, парафина) приводит к проявлению неньютоновских свойств флюидов при их фильтрации, т.е. появлению предельного напряжения сдвига.

Развитие методов  воздействия на природные залежи с целью увеличения нефте- и газоконденсатоотдачи приводит к значительному расширению ассортимента веществ, закачиваемых в продуктивные пласты. Многие из этих веществ (высокомолекулярные соединения, полимеры) не обладают свойствами ньютоновских жидкостей. Поэтому рассмотрение особенностей фильтрации неньютоновских систем приобретает самостоятельное значение.

Для простоты  будем рассматривать  нелинейные законы фильтрации, описывающие только безинерционные движения при условии, что фильтрующиеся жидкости обладают неньютоновскими свойствами.

 

7.1. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ  МОДЕЛИ ФИЛЬТРУЮЩИХСЯ ЖИДКОСТЕЙ  И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ

 

Течение ньютоновской жидкости описывается законом Ньютона

,                                                                              (7.1)

где m - -динамический коэффициент, t- касательное напряжение; du/dy - градиент скорости в направлении, перпендикулярном направлению течения х. Зависимость между t и du/dy является в этом случае прямой линией, проходящей через начало координат (рис. 7.1, кривая 2).

Жидкости, не подчиняющиеся  закону трения (7.1), называются аномальными,  или неньютоновскими. Неньютоновские жидкости можно разбить на три класса.

1. Неньютоновские  вязкие жидкости, для которых касательное напряжение зависит только от градиента скорости (стационарно реологические жидкости):

,                                                                          (7.2)

 

 

2. Жидкости, для которых  связь между t и du/dy зависит от времени действия напряжений (нестационарно реологические жидкости), т. е.

,                                                                        (7.3)

 

3. Вязкоупругие жидкости, т. е. среды, обладающие свойствами как твердого тела, так и жидкости, а также способные к частичному восстановлению формы после снятия напряжений. Для таких сред зависимость между касательными напряжениями и градиентом скорости более сложная; она включает производные по времени как напряжений, так и градиента скорости.

Среди неньютоновских жидкостей  первого класса, описываемых уравнением (7.2), можно выделить три типа.

1. Вязкопластичные жидкости, для которых уравнение (7.2) имеет  вид

  при t>t₀ ,                                                         (7.4)

  при t£t₀ .

Графическое представление  этой зависимости, называемое реологической кривой (или “кривой течения”), приведено на рис. 7.1 (кривая 4). В равенство (7.3), кроме коэффициента вязкости m, входит также постоянная t₀, называемая начальным (или предельным) напряжением сдвига. Считается, что при t£t₀  жидкость ведет себя как твердое тело и течение отсутствует. Это объясняется наличием у покоящейся вязкопластичной жидкости пространственной жесткой структуры, сопротивляющейся любому напряжению t, меньшему t₀ . Когда t становится больше t₀ , структура разрушается.

2. Псевдопластичные жидкости. Эксперименты показали, что для  ряда сред связь между напряжением  сдвига и градиентом скорости  в логарифмических координатах оказывается на некотором участке линейной. Угловой коэффициент, соответствующей прямой, заключен между 0 и 1. Поэтому для описания таких сред используется степенная зависимость

,           (n<1),                                                           (7.5)

 где k и n постоянны для данной жидкости; коэффициент k - мера консистенции жидкости; отличие показателя n от единицы характеризует степень отклонения данной жидкости от ньютоновской. Типичная реологическая кривая (7.4) псевдопластичной жидкости приведена на рис. 7.1 (кривая 3). Модель псевдопластичной жидкости применяется, в частности, для описания движения растворов и расплавов полимеров.

Введем понятие кажущейся  вязкости m_* как отношения касательного напряжения к градиенту скорости:

.

Для псевдопластичной жидкости, как следует из (7.4), эта величина и так как n<:1, то m_*  убывает с возрастанием градиента скорости.

3. Дилатантные жидкости  описываются степенным уравнением (7.4), но при n>1. Кривая течения представлена на рис. 7.1 (кривая 1). У этих жидкостей кажущаяся вязкость m_* увеличивается с возрастанием градиента скорости. Модель дилатантной жидкости хорошо описывает свойства суспензий с большим содержанием твердой фазы.

В зависимости  от вида неньютоновской жидкости по разному  записывается и закон фильтрации. Так закон фильтрации вязкопластичной  жидкости  (7.3) в пористой среде записывается в виде:

     u>0;                                                         (7.6)

,      u=0,  где -                                              (7.7)

 предельный (начальный)  градиент.

В соответствии с (7.5) скорость фильтрации u отлична от нуля только в тех областях, где ½gradp½>g (рис. 7.2, кривая 1). Модель фильтрации с предельным градиентом следует рассматривать как некоторую идеализацию реальных течений аномальных нефтей в пластовых условиях, для которых реологическая кривая имеет вид кривой 2 на рис. 7.2. Для сравнения на рис. 7.2 показан закон Дарси (кривая 3).

 

В пористой среде, состоящей из множества микрокапилляров  различных диаметров, при снижении перепада давления начинается постепенное  “закупоривание” капилляров. Вначале  движение прекращается в наиболее мелких капиллярах (порах), а по мере снижения давления происходит закупоривание все больших и больших капилляров. Чем сильнее разброс размеров пор, тем больше растянут переход к полному прекращению движения и тем сильнее отличается истинный закон фильтрации от соотношения (7.5).

В основе проявления неньютоновских свойств пластовых систем лежат  различные физические механизмы. Важно, однако, что неньютоновские эффекты  проявляются при малых скоростях  фильтрации и в средах с малым размером пор, т. е. с малой проницаемостью. Это определяет особенности неньютоновской фильтрации в неоднородных пластах. Области малой проницаемости оказываются областями наибольшего проявления неньютоновских эффектов.

Так в пластах со слоистой  неоднородностью предельные градиенты  различны для разных пропластков - чем больше проницаемость, тем меньше предельный градиент g, и наоборот. В связи с этим  пропластки будут последовательно   включаться в работу. Если g₁>½grad р½, то движение отсутствует во всем пласте. Если g₁<½grad р½<g₂ , то фильтрация будет только в первом пропластке, и т. д.

Наряду с рассмотренным  законом фильтрации (7.6), описывающим  течение вязкопластичной жидкости в пористой среде, рассматривают  степенной закон фильтрации:

,                                                                             (7.8)

где С — экспериментальная константа; n>0.

Степенной закон, соответствующий псевдопластичному  флюиду (7.4), хорошо описывает движение растворов полимеров в пористой среде и используется при расчете  “полимерного” заводнения пластов с целью повышения их нефтеотдачи.

 

7.2. ОДНОМЕРНЫЕ  ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ  ЖИДКОСТИ

 

Движение аномальных нефтей в пластах по закону (7.5) приводит к существенным особенностям разработки этих пластов, не встречающимся в случае фильтрации по закону Дарси.

Установившееся  течение. Рассмотрим плоскорадиальный приток несжимаемой вязкопластич-ной жидкости (ВПЖ) к скважине при условии выполнения соотношения (7.5), которое в этом случае принимает вид

    (u>0);                                                                  (7.9)

,              (u=0).

 

Выведем формулу для дебита скважины в круговом пласте, обобщающую формулу Дюпюи Из (7.8) имеем:

, если  .

u=0,если dp/dr£g.                                                                       (7.10)

 

Считая заданными постоянные давления на забое скважины и на границе пласта р(r_c)=р_c; р(R_к)=р_к , после интегрирования (7.10) находим

                       (7.11)

                             (7.12)

Формулами (7.11), (7.12) представлены, соответственно распределение давления в пласте и дебит скважины. Из формулы (7.11) видно, что часть разности давлений в виде линейного слагаемого с угловым коэффициентом g теряется на преодоление градиента давления сдвига. При Q®0, как следует из (7.11), давление не постоянно (как в случае фильтрации по закону Дарси), а изменяется по линейному закону. Как видно из (7.12), наличие предельного градиента давления в пласте ведет к уменьшению дебита скважины при тех же условиях по сравнению с фильтрацией по закону Дарси (формула Дюпюи). В рассматриваемом случае индикаторная линия скважины, т. е. зависимость Q(Dр_с) - прямолинейная, но не проходит через начало координат, а отсекает на оси депрессий отрезок, равный gR_к (рис. 7.3а).

 

В случае  слоистого  пласта  с гидродинамически изолированными пропластками, т. е. отсутствуют перетоки между слоями с разными проницаемостями, для дебита в каждом пропластке справедлива формула (7.12), но своими значениями толщин, проницаемости  и начального градиента. Индикаторная линия в этом случае представляется ломаной, выпуклой к оси депрессии (рис. 7.3b).

Неустановившаяся  фильтрация. Рассмотрим нестационарное течение упругой ВПЖ в упругой пористой среде. Дифференциальные уравнения для определения давления при упругом режиме пласта можно получить, дополняя закон фильтрации с предельным градиентом (7.5) или другую аппроксимацию нелинейного закона уравнением неразрывности и уравнением состояния флюида и пористой среды. Из данных соотношений получаем следующее уравнение пьезопроводности

                                 (7.13)

где k — коэффициент пьезопроводности.

Уравнение (7.13) служит основой для построения нелинейной теории упругого режима. При решении конкретных задач фильтрации для уравнения (7.13) формулируются обычные начальные и граничные условия, вытекающие из условий задачи. Вместе с тем следует иметь в виду, что при решении нестационарных задач на основе модели фильтрации с предельным градиентом в пласте образуется переменная область фильтрации, на границе которой (пока она не достигнет границы пласта) модуль градиента давления должен равняться предельному градиенту g, а давление - начальному пластовому.

Если рассмотреть задачу о пуске скважины с постоянным дебитом при фильтрации вязкопластичной  жидкости с предельным градиентом, то получим из решения уравнения (7.13) следующую зависимость забойного давления от времени

.                        (7.14)

В данной формуле логарифмический  член  играет основную роль при малом времени, когда преобладают упругие силы. При больших значениях времени закон движения границы возмущенной области подчиняется степенному закону. Таким образом, при некоторых значениях параметров оказывается, что основное значение имеет степенной член, так что закон падения давления на забое скважины изменяется с логарифмического на степенной. Следовательно, при больших временах вид кривых изменения забойного давления р_с(t) при фильтрации с предельным градиентом существенно изменяется по сравнению с фильтрацией упругой жидкости. В принципе это позволяет обнаружить в пластовых условиях проявление предельного градиента давления.

 

7.3. ОБРАЗОВАНИЕ ЗАСТОЙНЫХ ЗОН ПРИ ВЫТЯСНЕНИЕ НЕФТИ ВОДОЙ

 

Важный эффект фильтрации с предельным градиентом давления - возможность образования в пласте застойных зон, где движение жидкости или газа отсутствует.

 

 

Эти зоны образуются в тех  участках пласта, где градиент давления меньше предельного. Возникновение застойных зон ведет к уменьшению нефтеотдачи пластов. На рис. 7.4,а застойная зона 3, расположенная между двумя добывающими скважинами с равными дебитами, затемнена. Рассмотрим вытеснение нефти водой из пласта с пятиточечной системой расположения скважин (рис. 7.4,b). Пусть через нагнетательную скважину 1 закачивается вода, а через добывающие скважины 2 отбирается нефть. Анализ возникающего при этом двумерного течения показывает, что в зонах 3 (рис. 7.4,b) скорость течения будет мала по сравнению со скоростями течения в областях, прилегающих к прямым, соединяющим нагнетательную и добывающие скважины. Поэтому эти зоны и окажутся застойными. Отношение незаштрихованных областей на рис. 7.4,b ко всей площади пятиточечной ячейки можно считать площадным коэффициентом охвата пласта заводнением.