Лекции по "Статистике"

 

Решение. Для расчета групповых дисперсий вычислим средние по каждой группе:

 шт.;   шт.

 

Промежуточные расчеты дисперсий  по группам представлены в табл. 4.4. Подставив полученные значения в формулу, получим:

;

.

 

Средняя из групповых дисперсий

 

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

 шт.

 

Теперь определим межгрупповую дисперсию:

.

 

Таким образом, общая дисперсия  по правилу сложения дисперсий

.

 

Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию обычным способом:

.

 

На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторным) и результативным признаками. Он называется эмпирическим корреляционным отношением, обозначается η («эта») и рассчитывается по формуле . Для нашего примера эмпирическое корреляционное отношение

Величина 0,86 характеризует существенную связь между группировочными и результативными признаками.

 

Характеристики вариационного  ряда.

Мода – значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.

Медиана - значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Вычисление медианы в дискретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечетное число членов, то медианой будет вариант, находящийся в середине ранжированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух значений признака, расположенных в середине ряда.

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 4.5.

Таблица 4.5

Распределение обуви, проданной коммерческой фирмой

в январе 1998 г.

Размер	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44 и более	Итого
Количество проданных пар, % к итогу	3	5	7	9	10	13	15	14	20	3	1	100
Накопленные частоты	3	8	15	24	34	47	62	76	96	99	100

 

В этом ряду распределения  мода равна 42. Именно этот размер обуви в январе 1998 г. пользовался наибольшим спросом.

Для определения медианы  надо подсчитать сумму накопленных  частот ряда. Наращивание продолжается до получения накопленной суммы частот, впервые превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила 100, ее половина - 50.

Накопленная сумма частот ряда равна 62, Ей соответствует значение признака, равное 40. Таким образом, 40-й  размер обуви является медианным.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле

,

где x_Мо – нижняя граница значения интервала, содержащего моду;

 i_Мо – величина модального интервала;

 f_Мо – частота модального интервала;

 f_Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

 f_Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

 

Медиана интервального  ряда распределения определяется по формуле

,

где x_Ме – нижняя граница значения интервала, содержащего медиану;

 i_Ме – величина медианного интервала;

 ∑f – сумма частот;

 S_Ме-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

 f_Ме – частота медианного интервала.

 

Пример. Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 4.11.

 руб.

 

Следовательно, наибольшее число семей имеют среднедушевой доход 772 руб.

 руб.

 

Таким образом, половина семей  города имеет среднедушевой доход менее 780 руб., остальные семьи – более 780 руб.

 

 

 

Таблица 4.6

Распределение семей города по размеру 

среднедушевого  дохода в январе 1998 г.

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей	Накопленные частоты	Накопленные частоты, % к итогу
До 500	600	600	6
500-600	700	1300	13
600-700	1700	3000	30
700-800	2500	5500	55
800-900	2200	7700	77
900-1000	1500	9200	92
Свыше 1000	800	10000	100
Итого	10000	-	-

 

;

 

,

где x_Q1 – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

 x_Q3 – нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

 S_Q1-1 – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

 S_Q3-1 – то же для верхнего квартиля;

 f_Q1 – частота интервала, содержащего нижний квартиль;

f_Q3 – то же для верхнего квартиля.

 

Рассмотрим расчет нижнего  и верхнего квартилей по данным табл. 4.6. Нижний квартиль находится в интервале 600 - 700, накопленная частота которого равна 30%. Верхний квартиль лежит в интервале 800 - 900 с накопленной частотой 77%. Поэтому получим:

 руб.

 руб.

 

Итак, 25% семей имеют  среднедушевой доход менее 671 руб., 25% семей - свыше 891 руб., а остальные имеют доход в пределах 671 - 891 руб.

 

ЗАДАЧИ И  УПРАЖНЕНИЯ

 

4.1. Распределение студентов одного  из факультетов по возрасту характеризуется следующими данными:

 

Возраст студентов, лет	17	18	19	20	21	22	23	24	Всего
Число студентов	20	80	90	110	130	170	90	60	750

 

Вычислите: а) размах вариации; б) среднее  линейное отклонение; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; д) относительные показатели вариации возраста студентов.

4.2. Определите среднюю  длину пробега автофургона торгово-посреднической фирмы и вычислите все показатели вариации, если известны:

 

Длина пробега за один рейс, км	Число рейсов за квартал
30-50	20
50-70	25
70-90	14
90-110	18
110-130	9
130-150	6
Всего	92

 

4.3. Имеется следующий ряд распределения  телеграмм, принятых отделением связи, по числу слов:

 

Количество слов в телеграмме	Число телеграмм
12	18
13	22
14	34
15	26
16	20
17	13
18	7
Итого	140

 

Рассчитайте абсолютные и  относительные показатели вариации.

4.4. Средняя урожайность  зерновых культур в двух районах за 1991 - 1995 гг. характеризуется следующими данными, ц/га:

 

	1991	1992	1993	1994	1995
1-й район	30	20	23	16	22
2-й район	25	34	30	28	29

 

Рассчитайте все показатели вариации. Определите, в каком районе урожайность зерновых культур более устойчива.

4.5. Имеются следующие  данные о распределении скважин в одном из районов бурения по глубине:

 

Группы скважин по глубине, м	Число скважин
До 500	4
500-1000	9
1000-1500	17
1500-2000	8
Свыше 2000	2
Итого	40

 

Определите дисперсию  и среднее квадратическое отклонение глубины скважин, применяя способ моментов и отсчета от условного нуля.

4.6. Акционерные общества  области по среднесписочной численности работающих на 1 января 1998 г. распределялись следующим образом:

 

Группы АО по среднесписочной численности работающих	До 400	400-600	600-800	800-1000	1000-1200	1200-1400	1400-1600	1600-1800	Итого
Количество АО	11	23	36	42	28	17	9	4	170

 

Рассчитайте: а) среднее  линейное отклонение; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации.

4.7. По данным о распределении  сельских населенных пунктов  по числу дворов вычислите  общую дисперсию тремя способами: а) обычным; б) упрощенным; в) по формуле .

 

Населенные пункты по числу дворов	Число населенных пунктов, % к итогу
До 100	15,5
100-200	28,6
201-300	21,7
301-400	20,3
Свыше 400	13,9
Итого	100,0

 

4.8. Средняя величина  признака в совокупности равна  19, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака - 397. Определите коэффициент вариации.

4.9. Дисперсия признака равна 9, средний квадрат индивидуальных его значений - 130. Чему равна средняя?

4.10. Средняя величина  в совокупности равна 16, среднее квадратическое отклонение - 8. Определите средний квадрат индивидуальных значений этого признака.

4.11. Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины равен 100, а средняя - 15. Определите, чему равен средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от величины, равной 10 и 25.

4.12. Средняя величина признака равна 14, а дисперсия - 60. Определите средний квадрат отклонений вариантов признака от 19.

4.13. Средний квадрат отклонений вариантов признака от произвольной величины равен 300, а сама произвольная величина равна 70 единицам. Определите дисперсию признака, если известно, что средняя величина его варианта равна 80.