Лекции по "Статистике"

Рассмотрим примеры определения  необходимого объема выборки для  различных способов формирования выборочной совокупности.

Задача 5. В 100 туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225?

Решение. Рассчитаем необходимый объем выборки

 агентств

Задача 6. С целью определения  доли сотрудников коммерческих банков области в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорционально численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет 12 тыс. человек, в том числе 7 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин.

Решение. На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5%.

 человек

Вычислим объем отдельных типических групп

 человек;

 человек.

Таким образом, необходимый объем  выборочной совокупности сотрудников  коммерческих банков составляет 550 человек, в том числе 319 мужчин и 231 женщина.

Задача 7. В акционерном обществе 200 бригад рабочих. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного веса рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0,954 рассчитайте необходимое количество бригад для обследования рабочих, если ошибка выборки не должна превышать 5%.

Решение. Рассчитаем необходимое количество бригад на основе формулы объёма серийной бесповоротной выборки

 бригад.

 

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

5.1. Определите тип ошибки репрезентативности  при следующих условиях отбора:

а) для установления среднего размера вклада населения в коммерческих банках производится отбор счетов в соответствии с их номерами. Будет ли ошибка выборки случайной?

б) с целью изучения вопросов оплаты труда промышленные предприятия отбирают механическим путем через определенный интервал, исходя из данных о численности промышленно-производственного персонала. Как это отразится на структуре выборочной совокупности?

в) отбор семей сотрудников ведется на предприятиях всех форм собственности на основе списка работающих. Какие семьи получают преимущества при таком отборе?

5.2. Из приведенных выборочных  обследований определите данные, которые содержат систематическую  ошибку регистрации, а также данные, имеющие систематическую ошибку репрезентативности, в следующих случаях:

а) при изучении производительности труда из совокупности заведомо были исключены рабочие со стажем менее одного года;

б) при обследовании состояния животноводства в фермерских хозяйствах из-за небрежности счетчиков в некоторых хозяйствах не полностью был учтен молодняк скота;

в) при наблюдении с целью выявить количество смежных специальностей, которыми владеют рабочие завода, не учитывались ученики;

г) при выборочном обследовании бюджета времени работающих, как оказалось впоследствии, затраты времени на прачечную и химчистку вместо статьи «Покупка товаров и получение услуг» были включены в статью «Работа на дому».

5.3. Укажите способ отбора в  следующих выборках:

а) при обследовании дневной загрузки продавцов магазина города отбирался каждый десятый среди продовольственных магазинов и каждый пятый среди непродовольственных;

б) для изучения потерь рабочего времени на заводе каждый час в карте наблюдения фиксируется, чем заняты рабочие;

в) при изучении среднего количества слов в телеграмме отбиралась каждая двадцатая телеграмма;

г) при обследовании продолжительности срока службы металлорежущих станков отбирался каждый третий цех предприятия;

д) при выборочном обследовании бюджета времени работающих отбирается каждое пятое предприятие из общего списка их отрасли, а затем на отобранных предприятиях отбирается каждый десятый рабочий или служащий.

5.4. Организуется выборочное обследование  наличия у сельского населения  мини-тракторов. Ниже описаны  возможные способы отбора. При каком из них ошибка выборки меньше?

а) отбирается каждый пятый населенный пункт, и в каждом из них производится сплошное обследование;

б) отбирается каждая пятая семья из общего списка семей;

в) совокупность семей расчленяется на группы и пропорционально численности групп производится отбор семей.

5.5. Что произойдет с величиной  предельной ошибки выборки, если  вероятность, гарантирующую результат:  а) увеличить с 0,954 до 0,997; б) уменьшить с 0,954 до 0,683; в) увеличить с 0,683 до 0,954; г) уменьшить с 0,997 до 0,954; д) увеличить с 0,683 до 0,997?

5.6. Определите, как изменится средняя  ошибка случайной выборки, если  необходимую численность выборочной  совокупности: а) уменьшить в 2,5 раза; на 40%; б) увеличить в 1,5 раза; на 20%. Как нужно изменить необходимую численность выборки, чтобы средняя ошибка уменьшилась в 2 раза; на 50%; на 30%?

В каком соотношении находятся  при прочих равных условиях ошибки собственно-случайной бесповторной и повторной выборок при 1, 5, 10 и 20%-м отборе?

Определите, в каких случаях  предельная ошибка доли признака в генеральной совокупности будет больше (при прочих равных условиях): а) при отборе 50 единиц или 50 серий; б) при отборе 100 единиц или 25 серий, если общая дисперсия в 3,5 раза больше межгрупповой; в) при отборе 200 единиц или 50 серий, если общая дисперсия равна 0,25, а эмпирическое корреляционное отношение равно 0,49 при типическом отборе и 0,81 - при серийном?

5.7. Какой должна быть необходимая  численность выборки при механическом  отборе, чтобы установить генеральную долю с ошибкой не более 2%, если дисперсия доли неизвестна, а отбор производится из совокупности, включающей: а) 1000 единиц; б) 10 000 единиц; в) 100 000 единиц? Вероятность, гарантирующая результаты выборочного наблюдения, равна 0,954.

5.8. Каким должен быть объем  случайной бесповторной выборки из генеральной совокупности численностью 10 000 единиц при среднем квадратическом отклонении не более 20, предельной ошибке, не превышающей 5%, и вероятности 0,997?

5.9. С целью определения трудоемкости  изготовления деталей на предприятии  произведен хронометраж работы 50 рабочих, отобранных в случайном порядке. По данным обследований получили х = 10 мин, при а = 1 мин. Определите:

а) как изменится ошибка выборки, если объем выборочной совокупности увеличить в 1,5 раза?

б) как скажется на ошибке выборки увеличение дисперсии в 2 раза?

в) как изменится ошибка выборки, если с увеличением дисперсии в 1,44 раза объем выборочной совокупности увеличить в 2,56 раза?

г) как изменится ошибка выборки, если численность генеральной совокупности будет в 3 раза больше?

Из партии импортируемой продукции  на посту Московской региональной таможни  было взято в порядке случайной повторной выборки 20 проб продукта А. В результате проверки установлена средняя влажность продукта А в выборке, которая оказалась равной 6% при среднем квадратическом отклонении 1%. С вероятностью 0,683 определите пределы средней влажности продукта во всей партии импортируемой продукции.

С целью определения средних  затрат времени при поездках на работу населением города планируется выборочное наблюдение на основе случайного повторного отбора. Сколько людей должно быть обследовано, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не превышала 1 мин при среднем квадратическом отклонении 15 мин?

В одном из лесничеств Рязанской  области методом случайной выборки обследовано 1000 деревьев с целью установления их среднего диаметра, который оказался равным 210 мм при а = 126,5 мм. С вероятностью 0,683 определите пределы среднего диаметра деревьев в генеральной совокупности.

5.10. Из партии в 1 млн. шт. мелкокалиберных патронов путем случайного отбора взято для определения дальнобойности боя 1000 шт.

Результаты испытаний представлены в следующей таблице:

Дальность боя, м	25	30	35	40	45	50	Итого
Число патронов, шт.	120	180	280	170	140	110	1000

 

С вероятностью 0,954 определите среднюю дальность боя по выборке, ошибку выборки и возможные пределы средней дальности боя для всей партии патронов.

5.11. В порядке механической выборки  обследован возраст 100 студентов  вуза из общего числа 2000 человек.  Результаты обработки материалов наблюдения приведены в таблице

 

Возраст, лет	17	18	19	20	21	22	23
Число студентов, чел.	11	13	18	23	17	10	8

Установите: а) средний возраст  студентов вуза по выборке; б) величину ошибки при определении возраста студентов на основе выборки; в) вероятные пределы колебания возраста для всех студентов при вероятности 0,997.

5.12. В процессе технического  контроля из партии готовой  продукции методом случайного  бесповторного отбора было проверено  70 изделий, из которых 4 оказались  бракованными. Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превышает 7%, если процент отбора равен 10?

5.13. С целью определения среднего  размера вклада в отделениях  Сбербанка города предполагается  провести механическую выборку лицевых счетов из общего числа 67 800. По данным предыдущего обследования установлено среднее квадратическое отклонение размера вклада, равное 140 руб. С вероятностью 0,997 определите необходимый объем выборочной совокупности при условии, что ошибка выборки не превысит 10 руб.

5.14. Финансовая корпорация с  численностью сотрудников 750 человек  путем механической выборки планирует  определить долю сотрудников со стажем работы свыше 3 лет. Какова должна быть необходимая численность выборки, если по данным предыдущего обследования дисперсия стажа составила 0,16, а результаты выборочного наблюдения требуется гарантировать с вероятностью 0,683 и ошибкой не более 5%?

Сколько телефонных разговоров необходимо обследовать на основе случайной  бесповторной выборки, чтобы ошибка при определении доли телефонных разговоров с длительностью более 5 мин. не превышала 10% с вероятностью 0,954?

На площади в 50 га, занятой пшеницей, определяется с помощью выборочного  метода доля посева, пораженная насекомыми-вредителями. Сколько проб надо взять в выборку, чтобы при вероятности 0,997 определить искомую величину с точностью до 3%, если пробная выборка показывает, что доля пораженной посевной площади составляет 6%?

Данные текущего учета населения  города с численностью жителей  
1 млн. 250 тыс. человек были подвергнуты выборочной разработке на основе случайной бесповторной выборки. В результате было установлено, что доля женщин в возрасте до 55 лет составила 43%, доля мужчин в возрасте 16-60 лет - 36%, доля населения в возрасте до 16 лет - 17%. Каков должен быть процент отбора, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка доли по указанным группам населения не превышала 0, %?

5.15. Определите, сколько персональных  компьютеров следует подвергнуть  обследованию в порядке случайной  бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка (в процентах к среднему сроку службы компьютера) не превышала 3%. Коэффициент вариации среднего срока службы компьютеров по данным предыдущих обследований составляет 15%, а вся партия состоит из 1250 компьютеров.

На основе случайной бесповторной выборки планируется 10%-е обследование доли различных признаков, характеризующих население области. Какова должна быть минимальная численность населения области, чтобы предельная ошибка выборки с вероятностью 0,997 при определении доли всех подлежащих регистрации признаков не превышала 0,5%?

С целью определения средней  месячной заработной платы персонала  гостиниц города было проведено 25%-е  выборочное обследование с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников внутри каждого типа гостиниц использовался механический отбор. Результаты обследования представлены в следующей таблице:

 

Тип гостиницы	Средняя месячная заработная плата, руб.	Среднее квадратическое отклонение, руб.	Число сотрудников, чел.
1 2 3 4	870 1040 1260 1530	40 160 190 215	30 80 140 190