Статистичне вивчення виробництва зернових культур

 

Для даних розрахунків А=21,19 –  варіанта, якій відповідає найбільша  частота; і = 2,78. Нехай а = с = h = 3. Як бачимо з даних таблиці «Математичні властивості», якщо значення варіант  збільшити на 3, то середня арифметична  збільшиться теж на 3, а саме:

 

Перевіряємо другу властивість: якщо всі частоти збільшити в 3 рази, то середня арифметична при цьому  не зміниться:

 

За третьою властивістю при  зменшенні (збільшенні) всіх значень  варіант в 3 рази, середня арифметична  відповідно зменшиться (збільшиться) також  у 3 рази:

 

За останньою властивістю, яка  звучить так алгебраїчна сума відхилень всіх значень ознаки щодо величини середньої завжди дорівнює 0:

 

 

2.2. Статистична  оцінка показників вибіркової  і генеральної сукупності

 

Вище були розглянуті середні величини, які дають загальну характеристику сукупності, але не відображають індивідуальних особливостей, які породжують варіацію ознаки окремих елементів сукупності. Слід пригадати, що варіація ознаки є  властивістю статистичної сукупності й зумовлена дією безлічі взаємопов’язаних чинників, серед яких є основні  і другорядні. Основні формують центр  розподілу, а другорядні – варіацію ознак, сукупна їх дія – форма  розподілу. Чим менша варіація, тим  більш надійними й типовими є  характеристики центру, насамперед середня.

Отже, потребу вивчення варіації ознак  викликано тим, що середня величина як узагальнююча характеристика варіюючої ознаки не показує, як розміщуються навколо неї окремі значення усереднюваної ознаки, а типовість й надійність середньої характеристики залежить від розміру й розподілу відхилень значень ознаки (варіант) від середньої. Для характеристики сукупності та обчислення середніх величин дуже важливо знати, що варіація досліджуваної ознаки прихована за середніми.

Для вимірювання та оцінки варіації у статистиці використовують як абсолютні, так і відносні показники.

До абсолютних показників належать:

• розмах варіації;
• середнє лінійне відхилення;
• середньоквадратичне відхилення;
• дисперсії.

Відносні показники є такими:

• коефіцієнти варіації (лінійний, квадратичний, осциляції);
• коефіцієнти локалізації та концентрації.

Розмах  варіації — це різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки:

 

Цей показник є простим для розрахунку й дає уявлення про загальний  розмір варіації, але не дозволяє встановити рівень варіації всередині сукупності, оскільки обчислюється на основі тільки двох крайніх значень ознак сукупності, розташованих на протилежних полюсах  варіаційного ряду, які можуть бути випадковими. Тому розмах варіації служить  для попередньої (наближеної) оцінки варіації.

Більш надійним й точними показниками  варіації є середнє лінійне відхилення та середньоквадратичне відхилення, які ґрунтуються на відхиленні всіх індивідуальних значень ознаки від  середньої величини ().

Середнє лінійне відхилення є середньою  арифметичною абсолютних відхилень  індивідуальних значень варіюючої ознаки від її середнього значення.

Воно може бути простим (для негзрупованих даних) і зваженим (для згрупованих). Середнє лінійне відхилення є йменованою величиною і визначається в одиницях виміру ознаки.

Середнє лінійне відхилення обчислюють за формулами:

1) просте лінійне відхилення

 

2) зважене лінійне відхилення

 

де  – середнє лінійне відхилення, – середнє значення ознаки; – кількість варіант у досліджуваному явищі; – частоти окремих варіант.

Дисперсія, або середній квадрат  відхилень – це середньоарифметична  величина, обчислена з квадратів  відхилень індивідуальних значень  ознаки від її середньої величини:

1) проста, або незважена для незрупованих даних

 

2) зважена дисперсія для згрупованих  даних

 

Якщо з дисперсії добути квадратний корінь, то отримаємо показник варіації, який зветься середньоквадратичне, або стандартне відхилення, яке обчислюється за формулами:

1) просте, або незважене для не  групованих даних

 

 

Коефіцієнт варіації  обчислюють відношенням середнього квадратичного  відхилення до величини середньої:

 

• якщо  < 5, рівень варіації незначний;
• якщо 5< <10, рівень варіації помітний;
• якщо 10< <20, рівень варіації суттєвий;
• якщо 20< <30, рівень варіації дуже сильний;
• якщо >30, рівень варіації дуже суттєвий.

Також слід зауважити, що якщо коефіцієнт варіації до 30%, то сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації знаходиться в межах 30-60, то однорідність сукупності середня, а коли – 60 і  більше – однорідність неоднорідна.

Для оцінки відхилення емпіричного  розподілу від нормального розраховують показники форми розподілу: коефіцієнт асиметрії та гостровершинності (ексцесу). Перший  характеризує ступінь скошеності варіаційного ряду розподілу відносно його симетрії вправо або вліво.

При зміщенні вправо від центра асиметрія  буде характеризуватись додатнім числом, при зміщенні вліво – від’ємним.

Коефіцієнт асиметрії (А) розраховують як відношення центрального моменту  третього порядку до куба середнього квадратичного відхилення:

А =                       

Якщо А=0 – розподіл симетричний, якщо А>0  - розподіл з правосторонньою  асиметрією, якщо ж  А < 0 – лівостороння асиметрія. Криві зображені на рис.2.2.1. показують симетрію і два найбільш поширені види асиметрії розподілу.

Крім розглянутого способу оцінки міри асиметрії існують і інші методичні прийоми. Так показник асиметрії можна обчислити за формулою К. Пірсона:

А= .

Для встановлення величини відхилення від нормального розподілу  вираховують  показник ексцесу (Е). Він характеризує відхилення від нормального розподілу  варіант з виступанням або падінням вершини кривої розподілу. При виступанні вершини ексцес називають додатнім, при її падінні – від’ємним.

Коефіцієнт гостровершинності (ексцес) визначається за наступною формулою:

                           

де μ4 — центральний момент четвертого порядку,     σ — дисперсія.

        Якщо коефіцієнт  ексцесу дорівнює  3 – маємо  симетричний розподіл. Для гостровершинного  розподілу Е є більшим ніж 3. Для плосковершинного  - Е < 3.

Обчислення показників варіації та розрахунок коефіцієнтів асиметрії  та гостровершинності (ексцесу)

1) за урожайністю

Таблиця 2.2.1

Вихідні та розрахункові дані для обчислення показників варіації за урожайністю  зернових культур

	х	n	Хn
19,8 – 22,58	21,19	7	148,33	39,70	225,14	3143,11	0
22,58– 25,36	23,97	2	47,94	5,78	16,72	1149,12	2
25,36 – 28,14	26,75	6	160,5	0,67	0,07	4293,38	24
28,14 – 30,92	29,53	3	88,59	8,01	21,37	2616,06	27
30,92 - більше	32,31	7	226,17	38,14	207,83	7307,55	112
∑	х	25	671,53	92,30	471,12	18509,22	165

 

 

(1) Розмах  варіацій 

 

(2) Середнє  лінійне відхилення

 

 

 

(3) Дисперсія

-а-  

-б-   за властивістю

 

 

-в-   моментів

 

A=21,19

 

 

(4) Середнє  квадратичне відхилення

 

(5) Коефіцієнт  варіації

 

Оскільки , то сукупність однорідна, а варіація слабка.

 

2) за внесеними мінеральними  добривами

Таблиця 2.2.2

Вихідні та розрахункові дані для  обчислення показників варіації за внесеними  мінеральними добривами під посіви зернових культур

	х	n	xn
14,7 – 17,8	16,25	7	113,75	34,72	172,21	1848,44	0
17,8 – 20,9	19,35	5	96,75	9,3	17,30	1872,11	5
20,9 – 24	22,45	6	134,7	7,44	9,23	3024,02	24
24 – 27,1	25,55	5	127,75	21,7	94,18	3264,01	45
27,1 - більше	28,65	2	57,3	14,88	110,71	1641,65	32
Σ		25	530,25	88,04	403,62	11650,22	106

 

 

 

(1) Розмах  варіацій 

(2) Середнє  лінійне відхилення

 

 

 

(3) Дисперсія

-а-  

-б-   за властивістю

 

 

-в-   моментів

 

A=16,25

 

 

(4) Середнє  квадратичне відхилення

 

(5) Коефіцієнт  варіації

 

 

Оскільки , то сукупність однорідна, а варіація слабка.

 

3) За якістю ґрунту

 

 

Таблиця 2.2.3

Вихідні та розрахункові дані для  обчислення показників варіації за якістю ґрунту посівів зернових культур

	х	n	xn
48 – 56,2	52,1	10,00	521,00	154,16	2376,53	27144,10	0
56,2 – 64,4	60,3	0	0	0	0	0	0
64,4 – 72,6	68,5	4,00	274,00	3,94	3,87	18769,00	16
72,6 – 80,8	76,7	5,00	383,50	45,92	421,73	29414,45	45
80,8 - більше	84,9	6,00	509,40	104,30	1813,22	43248,06	96
Σ	х	25,00	1687,90	308,32	4615,35	118575,61	157

 

 

 

(1) Розмах  варіацій 

(2) Середнє  лінійне відхилення

 

 

(3) Дисперсія

1) 

2)   за  властивістю

 

 

3)  моментів

 

A=52,1

 

(4) Середнє  квадратичне відхилення

 

(5) Коефіцієнт  варіації

 

Оскільки , то сукупність однорідна, а варіація слабка.

Тепер обчислимо показник асиметрії  для кожної групи даних:

Для урожайності зернових:

 

 

Даний розподіл має лівосторонню асиметрію (А<0)

Для внесення мінеральних добрив:

 

 

Даний розподіл має правосторонню асиметрію (А>0)

Для якості ґрунту:

 

 

Даний розподіл має лівосторонню асиметрію (А<0)

Тепер обчислимо показник ексцесу  для кожної групи даних:

а) для урожайності зернових культур:

 

 

Даний розподіл плоско вершинний.

б) для внесення мінеральних добрив під посіви зернових культур:

 

 

Даний розподіл плоско вершинний.