Статистичне вивчення виробництва зернових культур

При простій кореляції, яку ще називають  парною, аналізують зв’язок між  факторною ознакою та результативною.

Залежно від форми зв’язку між  факторною і результативною ознаками вибирають тип математичного  рівняння. Прямолінійну форму зв’язку  визначають за рівнянням прямої лінії:

y_x=a₀+a₁x ,

де y_x – теоретичні (обчислені за рівнянням регресії) значення результативної ознаки;

a₀ – початок відліку;

a₁ – коефіцієнт регресії, який показує, як змінюється y_x  при кожній зміні х на одиницю;

х – значення факторної ознаки.

При прямому зв’язку між корелюючими ознаками коефіцієнт регресії  a₁ матиме додатне значення, при зворотному – від’ємне.

Параметри a₀ і a₁ рівняння регресії обчислюють способом найменших квадратів.

∑(у-у_х)²=min

 

Спосіб найменших квадратів  зводиться до складання і розв’язання  системи двох рівнянь з двома  невідомими:

∑у=na₀+a₁∑x

∑xy=a₀∑x+a₁∑x²

  де n – кількість спостережень.

Розв'язавши цю систему  рівнянь, дістанемо:

, .

Важливим  завданням кореляційного аналізу  є визначення тісноти зв’язку  між корелюючи ми величинами. Кількісним показником тісноти прямолінійного зв’язку результату з одним фактором є коефіцієнт парної кореляції, який обчислюють за формулою:

де r – лінійний коефіцієнт кореляції;

δх – середнє квадратичне  відхилення факторної ознаки;

δу – середнє квадратичне  відхилення результативної ознаки.

У разі парної залежності коефіцієнт кореляції при прямому зв'язку коливається від 0 до +1 і при зворотному зв'язку — від 0 до -1. Чим ближчий  цей коефіцієнт до ±1, тим щільніший  зв'язок між х і у, і навпаки, чим ближчий коефіцієнт кореляції до 0, тим менший зв'язок між результативною і факторною ознаками. При r<0.3 зв'язку немає, при r=0.3-0.5 зв’язок слабкий, r=0.5-0.7 — середній і при r>0.7 — щільний. Коефіцієнт кореляції має такий самий знак, як і коефіцієнт регресії у рівнянні зв’язку .

Далі розглянемо на прикладі обчислення параметрів рівняння зв’язку  між унесенням добрив та урожайністю  зернових культур, якістю грунту та урожайністю зернових культур, що дозволить виявити вплив даних факторів на урожайність зернових культур.

 

Таблиця 3.2.1

Вихідні та розрахункові дані для  обчислення параметрів рівняння зв’язку  між унесенням добрив та урожайністю  зернових

№	у	х	Розрахункові дані
			х2	хy	y2	ух =17,26 +0,44х
1	26	21,3	453,69	553,8	676	26,72
2	23,4	20,7	428,49	484,38	547,56	26,46
3	29,5	30,2	912,04	890,9	870,25	30,68
4	20,9	16,3	265,69	340,67	436,81	24,50
5	31,5	23	529	724,5	992,25	27,48
6	20,8	24,7	610,09	513,76	432,64	28,24
7	21,5	22,9	524,41	492,35	462,25	27,44
8	32,9	27	729	888,3	1082,41	29,26
9	23,8	18,4	338,56	437,92	566,44	25,44
10	28,8	26,5	702,25	763,2	829,44	29,04
11	33,7	19,5	380,25	657,15	1135,69	25,92
12	20,5	20,8	432,64	426,4	420,25	26,50
13	33	25,6	655,36	844,8	1089	28,64
14	26,4	15,1	228,01	398,64	696,96	23,97
15	33,7	17	289	572,9	1135,69	24,81
16	25,8	17,4	302,76	448,92	665,64	24,99
17	27,6	18,2	331,24	502,32	761,76	25,35
18	33,6	26	676	873,6	1128,96	28,81
19	25,8	16,8	282,24	433,44	665,64	24,72
20	29	27,5	756,25	797,5	841	29,48
21	20,1	14,7	216,09	295,47	404,01	23,79
22	25,9	23,6	556,96	611,24	670,81	27,75
23	32,3	21	441	678,3	1043,29	26,59
24	19,8	14,7	216,09	291,06	392,04	23,79
25	21,5	22,9	524,41	492,35	462,25	27,44
∑	667,8	531,8	11781,52	14413,87	18409,04	667,80

 

 

25 а₀+531,8а₁=667,8                                          а₀ = 17,26

531,8а₀+11781,52а₁=14413,87                      а₁ = 0,44

Отже рівняння регресії між урожайністю зернових культур  та внесенням мінеральних добрив матиме такий вигляд:

 Економічний зміст цього рівняння такий: параметр  а₁=0,44 показує, що у даній сукупності із збільшенням внесення мінеральних добрив на 1 кг д.р., урожайність зернових культур підвищується на 0,44 ц/га. Параметр а₀=17,26, як вільний член рівняння, має тільки розрахункові значення і не інтерпретується.

Підставивши  у рівняння регресії значення х, дістанемо теоретичні рівні окупності витрат. У нашому випадку параметри рівняння визначено  правильно , бо .

Аналогічно скориставшись  даними таблиць попереднього пункту та викладеним вище матеріалом оцінимо  щільність зв’язку між урожайністю  зернових культур та внесенням мінеральних  добрив:

Оскільки, <0,3, то можна сказати, що  між урожайністю зернових культур та внесеними мінеральними є прямий слабкий зв’язок.

Отже, ми можемо стверджувати, що у даній кореляційній моделі урожайність  зернових культур залежить від внесення мінеральних добрив  на 2%, а інші 98% - це інші невраховані фактори.

За допомогою F – критерію Фішера перевіримо істотність коефіцієнта  детермінації. Спочатку сформулюємо  нульову гіпотезу:

Но – коефіцієнт детермінації є несуттєвим.

Шукаємо за таблицею критичну точку:

F0,95(p-1;n-p)=F0,95(1;23)=4,28

Співставляємо розрахункове значення з альтернативним:

Fф>Fт, тобто 0,4692<4,28 – табличне значення більше ніж фактичне, тобто нульову гіпотезу приймаємо, отже коефіцієнт детермінації є несуттєвим.

 

Таблиця 3.2.2

Вихідні та розрахункові дані для  обчислення параметрів рівняння зв’язку  між якістю ґрунту та урожайністю  зернових культур

№	У	х	Розрахункові дані
			x2	xy	y2	ух =7,33+0,29х
1	26	56	3136	1456	676	23,36
2	23,4	65	4225	1521	547,56	25,93
3	29,5	85	7225	2507,5	870,25	31,66
4	20,9	55	3025	1149,5	436,81	23,07
5	31,5	88	7744	2772	992,25	32,52
6	20,8	55	3025	1144	432,64	23,07
7	21,5	55	3025	1182,5	462,25	23,07
8	32,9	71	5041	2335,9	1082,41	27,65
9	23,8	65	4225	1547	566,44	25,93
10	28,8	66	4356	1900,8	829,44	26,22
11	33,7	75	5625	2527,5	1135,69	28,80
12	20,5	51	2601	1045,5	420,25	21,93
13	33	89	7921	2937	1089	32,80
14	26,4	75	5625	1980	696,96	28,80
15	33,7	83	6889	2797,1	1135,69	31,09
16	25,8	77	5929	1986,6	665,64	29,37
17	27,6	76	5776	2097,6	761,76	29,08
18	33,6	84	7056	2822,4	1128,96	31,37
19	25,8	49	2401	1264,2	665,64	21,35
20	29	80	6400	2320	841	30,23
21	20,1	49	2401	984,9	404,01	21,35
22	25,9	52	2704	1346,8	670,81	22,21
23	32,3	88	7744	2842,4	1043,29	32,52
24	19,8	48	2304	950,4	392,04	21,07
25	21,5	56	3136	1204	462,25	23,36
∑	667,8	1693	119539	46622,6	18409,04	667,80

 

 

25а₀+1693а₁=667,8                              а₀ = 7,33

1693а₀+119539а₁=46622,6                       а₁ = 0,29

Отже рівняння регресії між урожайністю зернових культур  та якістю ґрунту матиме такий вигляд:

 Економічний зміст цього рівняння такий: параметр а₁= 0,29 показує, що у даній сукупності із покращенням якості ґрунту, урожайність зернових культур підвищується на 0,29 ц/га. Параметр а₀=7,33, як вільний член рівняння, має тільки розрахункові значення і не інтерпретується.

Підставивши  у рівняння регресії значення х, дістанемо теоретичні рівні окупності витрат. У нашому випадку параметри рівняння визначено  правильно , бо .

Аналогічно скориставшись  даними таблиць попереднього пункту та викладеним вище матеріалом оцінимо  щільність зв’язку між урожайністю  зернових культур та внесенням мінеральних  добрив:

Оскільки, >0,3, то можна сказати, що між урожайністю зернових культур та якістю ґрунту є прямий тісний зв’язок

Отже, ми можемо стверджувати, що у даній кореляційній моделі урожайність  зернових культур залежить від якості ґрунту на 90,02%, а інші 9,98% - це інші невраховані  фактори.

За допомогою F – критерію Фішера перевіримо істотність коефіцієнта  детермінації. Спочатку сформулюємо  нульову гіпотезу:

Но – коефіцієнт детермінації є несуттєвим.

Шукаємо за таблицею критичну точку:

F0,95(p-1;n-p)=F0,95(1;23)=4,28

Співставляємо розрахункове значення з альтернативним:

Fф>Fт, тобто 207,54>4,28 – табличне значення менше ніж фактичне, тобто нульову гіпотезу відхиляємо, отже коефіцієнт детермінації є суттєвим.

 

 

3.2. Багатофакторний кореляційно-регресивний аналіз

 

 

У багатьох випадках на результативну  ознаку впливає не один, а кілька факторів Між факторами існують  складні взаємозв'язки, тому їхній  вплив на результативну ознаку с  комплексним, а не просто сумою ізольованих  впливів

Багатофакторний кореляційно-регресійний  аналіз дає змогу оцінити міру впливу на досліджуваний результативний показник кожного із введених у модель факторів при фіксованому положенні на середньому рівні інших факторів Важливою умовою с відсутність функціонального зв'язку між факторами

Математично завдання зводиться  до знаходження аналітичного виразу, котрий якнайкраще відображував би зв'язок факторних ознак з результативною, тобто знайти функцію

 

Найскладнішою проблемою  є вибір форми зв'язку, аналітичного виразу зв'язку, На підставі чого за наявними факторами визначають результативну  ознаку-функцію Ця функція мас  краще за інші відображати реальні зв'язки між досліджуваним показником і факторами. Емпіричне обґрунтування типу функції за допомогою графічного аналізу зв'язків для багатофакторних моделей майже непридатне. Форму зв'язку можна визначати добиранням функцій різних типів, але це пов'язане з великою кількістю зайвих розрахунків. Зважаючи на те, що будь-яку функцію багатьох змінних шляхом логарифмування або заміни змінних можна звести до лінійного вигляду, рівняння множинної регресії можна виразити у лінійній формі:

 

Параметри рівняння обчислюють способом найменших квадратів, розв'язавши систему нормальних рівнянь:

Кожний коефіцієнт рівняння вказує на ступінь впливу відповідного фактора на результативний показник при фіксованому положенні решти факторів, тобто як зі зміною окремого фактора на одиницю змінюється результативний показник. Вільний член рівняння множинної регресії економічного змісту не має.

Для виявлення тісноти  зв'язку між всіма досліджуваними  факторними ознаками в кореляційно  регресивній моделі обчислюють коефіцієнт множинної кореляції:

,

або

Отже встановимо  залежність урожайності зернових культур y від  двох факторів: внесених мінеральних  добрив – , і якості ґрунту – . Заповнимо розрахункову таблицю.

 

Таблиця 3.3.1

Перевірка суттєвості множинного коефіцієнта  кореляції та коефіцієнтів регресії

№ п/п
1	26	21,3	56	453,69	1192,8	553,8	3136	1456	676
2	23,4	20,7	65	428,49	1345,5	484,38	4225	1521	547,56
3	29,5	30,2	85	912,04	2567	890,9	7225	2507,5	870,25
4	20,9	16,3	55	265,69	896,5	340,67	3025	1149,5	436,81
5	31,5	23	88	529	2024	724,5	7744	2772	992,25
6	20,8	24,7	55	610,09	1358,5	513,76	3025	1144	432,64
7	21,5	22,9	55	524,41	1259,5	492,35	3025	1182,5	462,25
8	32,9	27	71	729	1917	888,3	5041	2335,9	1082,41
9	23,8	18,4	65	338,56	1196	437,92	4225	1547	566,44
10	28,8	26,5	66	702,25	1749	763,2	4356	1900,8	829,44
11	33,7	19,5	75	380,25	1462,5	657,15	5625	2527,5	1135,69
12	20,5	20,8	51	432,64	1060,8	426,4	2601	1045,5	420,25
13	33	25,6	89	655,36	2278,4	844,8	7921	2937	1089
14	26,4	15,1	75	228,01	1132,5	398,64	5625	1980	696,96
15	33,7	17	83	289	1411	572,9	6889	2797,1	1135,69
16	25,8	17,4	77	302,76	1339,8	448,92	5929	1986,6	665,64
17	27,6	18,2	76	331,24	1383,2	502,32	5776	2097,6	761,76
18	33,6	26	84	676	2184	873,6	7056	2822,4	1128,96
19	25,8	16,8	49	282,24	823,2	433,44	2401	1264,2	665,64
20	29	27,5	80	756,25	2200	797,5	6400	2320	841
21	20,1	14,7	49	216,09	720,3	295,47	2401	984,9	404,01
22	25,9	23,6	52	556,96	1227,2	611,24	2704	1346,8	670,81
23	32,3	21	88	441	1848	678,3	7744	2842,4	1043,29
24	19,8	14,7	48	216,09	705,6	291,06	2304	950,4	392,04
25	21,5	22,9	56	524,41	1282,4	492,35	3136	1204	462,25
∑	667,8	531,8	1693	11781,52	36564,7	14413,87	119539	46622,6	18409,04