Анализ пространственно-временного состояния объекта методами математического моделирования

       В нашем случае объектом является система марок, содержащая результаты измерения высот геодезических пунктов, закрепленных по периметру нашего инженерного объекта.

В качестве формальной модели объекта принята  модель динамической системы

     ,                                (1) 

где  – множество входных сигналов, – множество выходных сигналов, – пространство состояний системы, φ– отображение перехода системы из состояния в состояние в результате потока входной информации, – отображение выхода системы.

Задача  структурного анализа объекта сводится к содержательному определению элементов модели (1).

    Исходными данными для решения этой задачи, служит массив высотных координат контрольных  точек объекта, т.е. состояние объекта  в момент t_i определяется  высотными координатами точек. Следовательно, множество состоит из скалярных функций (2).

                                                                                                                            (2)

    Пространство  состояний системы контрольных  точек объекта определяется как  декартово произведение всех элементов  этого множества. Размерность пространства равна числу контрольных точек.

    Каждому циклу наблюдений с номером j в пространстве состояний соответствует точка, радиус-вектор которой

    n

                                               H( t_j) = ∑k_i∙H_i∙( t_j),                                    (3)

    i=1

где  k_i – орт - векторы базиса -мерного пространства состояний.

По заданной математической модели  изменения  состояния объекта в фазовом  пространстве (3) мы построили график функции , где

                                                                      (4) 
 

Таблица 4. Фазовые координаты μ, α для дискретных данных H 

 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 5. График фазовых координат μ, α для дискретных данных H 
 

Для X и Y фазовые координаты μ(t), α(t) вычисляются аналогично H по формуле (4). 

Таблица 5. Фазовые координаты μ, α для дискретных данных X 
 

 

         

Рисунок 6.  График фазовых координат μ, α для дискретных данных X 
 

Таблица  6 - Фазовые координаты μ, α для дискретных данных Y 
 
 

 
 
 

Рисунок  7.  График фазовых координат μ, α для дискретных данных Y 
 

   Множество точек, радиус-векторы которых определяются вектор - функцией (3) в каждом цикле наблюдений, образует в фазовом пространстве фазовую траекторию, которая представляет собой явную функцию координат и времени, характеризующую изменение состояния объекта от цикла к циклу.

    Однако,  для адекватной оценки состояния  объекта в пространстве и времени, кроме высотных координат контрольных точек объекта, необходимо учитывать и плановые координаты x, y.

    Имея  для каждой контрольной точки  массив данных на множество циклов измерений, анализ изменения положения  объекта относительно системы координат  сводится к анализу вектор - функции:

                                        .     (5)

    Таким образом, анализируя вектор - функцию (5) для каждой контрольной точки, делают выводы о закономерностях изменения положения объекта.

    Множество X={x,y,z,…} называется метрическим пространством X, если на совокупности упорядоченных пар (x,y) элементов этого множества определена неотрицательная функция ρ(x,y), называемая расстоянием (или метрикой).

    Элементы  метрического пространства называются точками.

    Для множества всевозможных последовательностей  x={x_n} действительных чисел:

                                                    .                            (6)

    Каждая  такая последовательность называется точкой пространства, а числа x_n, n=1,2,…, - ее координатами. Расстояние между двумя точками x={x_n} и y={y_n} определяется по формуле:

                                           .         (7)

    При любом натуральном m в пространстве R^m для точек (x₁,…,x_m), (y₁,…,y_m),  (z₁,…,z_m), справедливо неравенство треугольника:

                    .        (8)

    Метрическое пространство всех действительных последовательностей, удовлетворяющих условию (6), с метрикой (7) называется гильбертовым пространством последовательностей и обозначается l₂ .

    Используя принцип сжимающего пространства можно  преобразовать n-мерное метрическое пространство в 3-х мерное.

    Положение точки в 3-х мерном пространстве определяется координатами X,Y,Z, которые вычисляются по формулам:

                                           ,                                       (9)

 где 

       ,        (10)

X,Y,Z – координаты точки фазовой траектории; x,y,z – координаты контрольных точек системы;   m – количество контрольных точек.

    В курсовой работе по заданной математической модели изменения состояния объекта в гильбертовом  пространстве нужно построить график функции M(X(t), Y(t), Z(t)), где X(t), Y(t), Z(t) вычисляются по формулам (9), (10).

         Для этого нужно сформировать матрицы ( по формуле (4)), где, например, - матрица , определяет состояние объекта на первый момент времени, а количество столбцов соответствует трем координатам X,Y,H, количество строк равно количеству марок (Приложение 2).

       Затем необходимо вычислить по формулам (9), (10) значения матрицы и в результате вычислений получить матрицу S(X(t), Y(t), Z(t)) (Таблица 7), где количество столбцов соответствует трем координатам X,Y,H, а количество строк равно количеству моментов времени 14. 

                                                                      Х(м),   У(м),   Н(м)                     

Таблица 7. Математическая модель изменения состояния объекта во времени в Гильбертовом пространстве

  

По полученной матрице  мы построили график функции в трехмерной системе координат. 
 
 
 
 
 
 

 

Рисунок  8. График изменения состояния инженерного сооружения с учетом x(t), y(t), h(t) контрольных точек объекта в Гильбертовом пространстве. 

Таблица 8.  Матрица нижней предельной границы устойчивости инженерного сооружения

      Х(м),     У(м),    Н(м)                  

 
 

Рисунок  9. График нижней предельной границы изменения состояния инженерного сооружения с учетом x(t), y(t), h(t) контрольных точек объекта в Гильбертовом пространстве 

Таблица 9. Матрица верхней предельной границы устойчивости инженерного сооружения

      Х(м),  У(м),    Н(м)                     

 

Рисунок  10.  График верхней предельной границы изменения состояния инженерного сооружения с учетом x(t), y(t), h(t) контрольных точек объекта в Гильбертовом пространстве 

Таблица 10. Сводная таблица результатов расчетов по координатам Х(м),У(м),Н(м)                                                   

                    

              Х(м),У(м),Н(м)                      Х(м),У(м),Н(м)                      Х(м),У(м),Н(м)                                                                                                                                                        

Рисунок 11. Графики предельных границ устойчивости сооружения 

    В данном разделе мы построили модель  изменения состояния объекта в фазовом и Гильбертовом пространствах. Данные, полученные для Гильбертового и фазового пространства не противоречат друг другу. Из рисунков 5,6,7 видно что объект в 1-13 циклах находится в состоянии равновесия, а изменение фазовых координат можно объяснить возможными ошибками, но в 14 цикле объект явно выходит из состояния равновесия. Можно предположить что на 14 цикле была допущена случайная ошибка или объект подвергался внешнему воздействию. Эти данные подтверждаются рисунками 8,9,10,11.

 
 
 
 
 
 

3.4 Оценка математической  модели пространственно-временного  состояния объекта

     При моделировании вертикальных движений сооружений по результатам измерений  происходит потеря точности из-за приближённости математического описания реального континуального процесса движений дискретной моделью, ошибок измерений и ошибок округления при представлении чисел в ЭВМ.