Анализ пространственно-временного состояния объекта методами математического моделирования

3.6   Статистический метод  оценки изменения  пространственно-временного  состояния объекта

     Первоначально был разработан метод статистических испытаний, представляющий собой численный метод, который применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (такая процедура получила название метода Монте-Карло). Затем этот прием стали применять и для машинной имитации с целью исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, т.е. появился метод статистического моделирования. Главными вопросами в задаче оценки изменения пространственно-временного состояния объекта являются:

    1. определение границы между его   «безопасным» и «опасным» состоянием;

    2. определение степени риска перехода из «безопасного» в «опасное» состояние.

    Задача  будет решена, если по имеющимся  данным определить в фазовом пространстве состояние объекта и установить соответствие между его пространственно-временным состоянием и мерой «опасности» перехода в это состояние.

    Риск - это случайная величина  в  полной мере характеризующаяся своей  функцией распределения или рядом  распределения. Риск возникает в  одном из  возможных состояний, каждое из которых можно интерпретировать как точку в фазовом пространстве. Тогда положение фазовой точки на фазовой траектории, моделирующей эволюцию, определит «опасность» состояния объекта в данный момент времени.

    Вариантов решения рассмотренной задачи и  критериев оценки решения существует множество. Один из возможных вариантов  решений заключается в применении статистического метода управления качеством.

    Контрольные карты качества (ККК) представляют собой  вспомогательное средство для контроля и управления процессами производства в отношении качества промежуточных и конечных продуктов. Для того чтобы избежать появления брака, в некоторые моменты времени берутся выборки продукции, оцениваются, и результаты этой оценки графически фиксируются на ККК. ККК по Шеворту характеризуются своими верхними и нижними предупреждающими границами и границами вмешательства (ВГВ, НГВ, ВПГ и НПГ). Средняя линия карты — это математическое ожидание контролируемой функции. Границы ККК представляют собой границы 99%-ного (границы вмешательства) 95%-ного (предупреждающие границы) интервалов разброса.

     .                 (18)

    Карты средних квадратичных отклонений с  границами вмешательства, предупреждающими границами и 15-ю выборочными средними квадратичными отклонениями изображены  на рисунках 15,18,21. 

    В Mathcad рассчитаны математические ожидания μ и сдвиги математических ожиданий μt с помощью функции нормального распределения dnorm, которые показаны на рисунках  16,22,25.

Рисунок 15.  Контрольные  карты качества вектора нормально распределенных случайных величин X(t)(м)

Результат : вмешательство при значениях 14. 

 

Рисунок 16. Представление смещения математического ожидания μt = 5.20796 X(t) при промежутке изменения x = 5.1891,5.1892…5,3. 

Сдвиг математического ожидания вычисляется  с вероятностью в 27% 
 
 

Рисунок 17. График вычисления вероятности вмешательства PE( ), X(t). 
 
 
 
 
 

 

Рисунок 18.  Контрольные карты качества вектора нормально распределенных случайных величин У(t)(м). 

Результат : вмешательство при значении 14. 
 
 

 

Рисунок 19. Представление смещения математического ожидания μt = 2.29977 Y(t) при промежутке изменения   

Сдвиг математического ожидания вычисляется  с вероятностью в 27% 
 
 

 
 

Рисунок 20. График вычисления вероятности вмешательства PE( ), Y(t). 
 
 
 
 
 

 
 

Рисунок 21.  Контрольные карты качества вектора нормально распределенных случайных величин Н(t)(м)

Результат : предупреждение при значении 14.

. 

 
 

Рисунок 22. Представление смещения математического ожидания μt = 19.28477H(t) при промежутке изменения

Сдвиг математического  ожидания вычисляется с вероятностью в 27% 
 
 
 

 

Рисунок 23. График вычисления вероятности вмешательства PE( ), H(t). 

На представленных  контрольных картах качества (Рисунки 15,18,21) видно, что объект в 1-13,15 циклах находится в состоянии равновесия,  но в 14 цикле объект явно выходит из состояния равновесия. Можно предположить что на 14 цикле была допущена случайная ошибка или объект подвергался внешнему воздействию. Так же можно предположить различные деформации самого объекта, но из – за недостатка данных об этом нельзя сказать точно. Судя по прогнозным значениям объект стремится вернутся в состояние равновесия. Сравнив данные, полученные путем построения концептуальной модели изменения пространственно-временного состояния объекта в трехмерном пространстве (рисунки 5,6,7,8,9,10,11) и данные полученные путем построения модели  изменения состояния объекта в фазовом и Гильбертовом пространствах (таблицы 14,15,16) мы видим сходство, что и является доказательством непротиворечивости и корректности созданной нами модели  
 
 
 
 
 
 

3.7 Прогнозирование  функции отклика  объекта на изменение  его геометрических  свойств

     Для экспоненциального прогнозирования по Х, У, Н необходимо вычислить прогнозные значения при А=0.1, А=0.4, А=0.7, А=0.9. Графики прогнозирования экспоненциальным сглаживанием для дискретных данных Х, У, Н отображены на рисунках 24,25,26 соответственно.

Таблица 17. Значения сглаживающей функции для дискретных данных Х

 
 

Рисунок 24. Прогнозирование экспоненциальным сглаживанием для дискретных данных Х 

Таблица 18.  Значения сглаживающей функции для дискретных данных У

 
 

Рисунок 25. Прогнозирование экспоненциальным сглаживанием для дискретных данных У

Таблица 19. Значения сглаживающей функции для дискретных данных Н