Огляд і аспекти класифікації економіко-математичних моделей управління запасами

1) математичним способом (за допомогою формули);

2) шляхом складання  таблиці прогнозних витрат для  замовлень різних розмірів;

3) графічним способом.

2. Вартість зберігання  запасів.

При розрахунку цієї величини, як правило, виходять з середньої кількості товару, що становить запас протягом одного циклу. Візьмемо найпростішу ситуацію, коли рівень запасів у штуках змінюється лінійно від 7 до 0 (під час продажу кількість товарів, яка зберігається, поступово знижується до 0, після чого купується нова партія товарів). Отже, середнє значення рівня запасів становить -. У складніших ситуаціях для розрахунку середнього рівня запасів використовуються спеціальні математичні методи.

Вартість зберігання одиниці запасу (5А) визначається як фіксована величина на весь рік, або як відсоток від загальної вартості одиниці товару за рік. У західних компаніях застосовуються різноманітні методи розрахунку цих витрат, проте в цілому 5Д характеризує величину грошових коштів, заморожених у формі запасів (із розрахунку на одиницю запасів):

З урахуванням вищевикладеного  формула розрахунку сукупних додаткових витрат (11.1), пов'язаних із замовленням партії товару, його подальшим транспортуванням і зберіганням, може бути представлена у вигляді

Загальна вартість закуплених товарів (ЗВЗ) буде визначатися за формулою

Визначимо тепер значення </, що забезпечує мінімальний розмір ДВ. Продиференціювавши вираз і прирівнявши  його до нуля, знаходимо оптимальний розмір запасу товару :

Якщо протягом року з  рівними інтервалами замовляти  певну кількість товарів, то вартість виконання замовлень і подальшого зберігання товарів буде мінімальною.

Обсяг продажу (0) за термін поставки товару знаходиться за формулою

де Т - кількість робочих  днів у році; г - термін доставки замовлення, дні.

Протягом року потрібно виконати п замовлень, здійснюваних через рівні проміжки часу. Отже, їх періодичність (і) становитиме:

а) у місяцях:

б) у днях:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18. Кудрявцев Б. М. Модели управления запасами / Б. М. Кудрявцев, Ю.А. Беляев, Н.Н. Голдобина – М.: Ин-т управления им. С. Орджоникидзе, 1987. – 52 с.

 

Классическая  модель экономического заказа.

Классическая модель наиболее экономичного размера партии представляет собой простейшую модель определения оптимального размера заказа. Основные предположения:

• спрос непрерывный и детерминированный, интенсивность поступления требований равна λ;
• время поставки τ постоянно и не зависит от размера заказа, весь заказ поступает в виде одной партии;
• оптимальная стратегия функционирования определяется из условия минимума средних годовых издержек.

Исходя из этих предположений, размер заказа всегда будет одинаков, а уровень наличного запаса в  момент поступления пополнения всегда один и тот же. Поскольку спрос неслучаен, а время поставки постоянно, в системе при поступлении требований отсутствует дефицит .

Средние годовые издержки (TCU), зависящие от стратегии функционирования, включают фиксированные издержки, связанные с подачей заказа (K) и издержки содержания запаса (h), кроме того, учитывается закупочная стоимость товара (C).

Издержки содержания запаса за цикл длинной T определяются по формуле (2.1):

(18.1)

где s – наличный запас  в системе в момент поставки;  
Q – размер партии;  
T – время между заказами, определяется по формуле (18.2):

Средние годовые издержки определяются по формуле (18.3):

Найдем минимум функции TCU(Q):

(18.4)

откуда

(18.5)

где Q* – оптимальный  размер заказа.

Формула (18.5) дает ответ на вопрос, сколько заказывать, ответ на вопрос, когда необходимо делать заказ дает точка заказа (т.е. уровень запаса в момент подачи заявки), определяемая формулой (18.6):

(18.6)

где m – наибольшее целое  число, меньшее или равное τ/T.

Каждый раз, когда наличный запас достигает уровня r подается заказ на Q единиц, как показано на рисунке 18.1.

Pисунок 2.1 –  Динамика уровня запаса

В рассмотренной системе  пополнение запаса происходило мгновенно [7], в виде поступления партии размером Q. Но поступление может происходить  не мгновенно, а с определенной интенсивностью μ. При этом интенсивность поступления продукции составляет μ единиц в год, а интенсивность спроса на эту продукцию – λ единиц в год.

Тогда, с учетом данных обозначений, формулу (18.3) можно переписать следующим образом:

(18.7)

Оптимальный размер заказа и точка заказа определяются по формулам (18.8) и (18.9).

(18.8) 

(18.9) 
 
Дискретный спрос.

В большинстве случаев  на практике значение Q* достаточно велико, и потому можно считать объем спроса непрерывной величиной и округлять Q* до ближайшего целого. Но в случае медленно оборачивающихся запасов это предположение перестает действовать. В этом случае считается, что требования дискретны, а Q* – целое число. Тогда оптимальный объем заказа определяется исходя из условия (18.10):

(18.10)

Оптимальным значением Q* является Q=1 или, для Q>1, наибольшее Q для  которого выполняется условие (18.11):

Отсюда, Q* является наибольшим положительным целым значением Q, для которого выполняется соотношение (18.12):

(18.12)

Пусть t_s – время между подачей требований, а  – время от момента подачи заказа до момента поставки очередного заказа, определяемое по формуле (2.13):

(18.13)

Тогда точка заказа r определяется как наибольшее целое число, меньшее  или равное   (18.14).

Детерминированный нестационарный спрос

Данная модель строится на тех же предположениях, что и  классическая модель управления запасами. Однако, предполагается, что с предыдущих периодов может оставаться неизрасходованный запас. Поэтому задача из однофакторной становится двухфакторной: требуется найти такой уровень заказа и остатка с предыдущего периода, при которых общая функция средних издержек была бы минимальна [8]:

(18.15)

 
при ограничениях  

(18.16)

Оптимальный уровень  запаса определяется в модели при  помощи методов динамического программирования. Причем, алгоритм является достаточно трудоемким.  

Модель со случайным спросом.

Все модели, которые были рассмотрены до этого являются системами с постоянным уровнем спроса, что на практике встречается редко. Поэтому стали разрабатываться модели управления запасами на основе случайного спроса.

Рассмотрим детерминированную  модель экономичного размера заказа для случайного спроса . При этом используется приближенный метод, который предполагает существование постоянного буферного запаса на протяжении всего планового периода. Размер резерва устанавливается так, чтобы вероятность истощения запаса в течение периода выполнения заказа (интервала между моментом размещения заказа и его поставкой) не превышала наперед заданной величины. Введем следующие обозначения.

• L — срок выполнения заказа, т.е. время от момента размещения заказа до его поставки;
• X1— случайная величина, представляющая величину спроса на протяжении срока выполнения заказа;
• μ — средняя величина спроса на протяжении срока выполнения заказа,
• σ — среднеквадратическое отклонение величины спроса на протяжении срока выполнения заказа;
• В — размер резервного запаса;
• α — максимально возможное значение вероятности истощения запаса на протяжении срока выполнения заказа.

Основным предположением при построении модели является то, что величина спроса Х1 на протяжении срока выполнения заказа L является нормально распределенной случайной  величиной со средним μ1 и стандартным отклонением σ1, т.е. имеет распределение N(μ1, σ1)

На рисунке 2.2 показана зависимость между размером резервного запаса В и параметрами детерминированной  модели экономичного размера заказа, которая включает срок выполнения заказа L, среднюю величину спроса μ1 а протяжении срока выполнения заказа и экономичный размер заказа у*. Заметим, что L должно быть равно эффективному времени выполнения заказа.

 

Рисунок 18.2 – Зависимость между уровнями резервного запаса товара и параметрами модели экономичного заказа

Вероятностное условие, которое определяет размер резервного запаса В, имеет вид:

(18.17)По определению случайная величина

(18.18)

является нормированной  нормально распределенной случайной величиной, т.е. имеет распределение N(0, 1). Следовательно,

(18.19)

На данном этапе авторами была введена случайная величина Кαа, которая определяется из таблицы стандартного нормального распределения, таким образом что:

(18.20)

Следовательно, размер резервного запаса должен удовлетворять неравенству

(18.21)

Величина спроса на протяжении срока выполнения заказа L обычно описывается  плотностью распределения вероятностей, отнесенной к единице времени (например, к дню или неделе), из которой можно определить распределение спроса на протяжении периода L. В частности, если спрос за единицу времени является нормально распределенной случайной величиной со средним D и стандартным отклонением σ, то общий спрос на протяжении срока выполнения заказа L будет иметь распределение N(μL, σL), где μL=DL и 

Формула для σ_L получена на основании того, что значение L является целым числом (или же округлено до целого числа).  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. Ткаліченко С.В. Вплив пропорційної системи стимулювання на вибір оптимального рівня запасів // Вісник Криворізького економічного інституту: Науковий збірник / КЕІ КНЕУ, 2006. С. 37-42

 

Досягнення  мінімального рівня обслуговування 
 
Для визначення фіксованого інтервалу повторного замовлення, без урахування будь-яких змін значень попиту або часу доставки, знаходять інтервал повторного замовлення, в якому досягається мінімальне значення загальної змінної вартості подачі замовлень і зберігання запасів: 

Загальна змінна вартість за рік

=

Річна вартість подачі замовлень

±

Річні витрати на зберігання

 
 
 
Якщо інтервал повторного замовлення дорівнює Т років, число замовлень, які поставляються, складає 1/Т. Розмір кожного замовлення дорівнює q, де D - q/Т, отже q = D Т. Якщо не враховувати резервного запасу, середній рівень запасу складе q /2 = D Т /2.Таким чином, загальна змінна вартість за рік визначається за формулою  
ТС = Со (1 / Т) + Сh ? (D Т /2). (8.11) 
Мінімум ТС досягається, якщо 
dТС/d Т = 0 та d²ТС/d Т²> 0  
 
dТС/d Т = - Со/Т² + Сh D/ 2,  
 
d²ТС/d Т² = 2Со/Т³ >0, якщо Т>0. 
Якщо 
dТС/d Т =0, - Со/Т² + Сh D/ 2=0, то  
 
Т= .  
 
Після того, як значення Т знайдено, здійснюється його коригування відповідно до найбільш зручного інтервалу перевірки стану запасів. Якщо, наприклад, розрахунки показали б, що Т = 4,2 дня, знайдене значення було б скориговане на інтервал перевірки запасів, який дорівнював би одному тижню. 
 
Тепер ми повинні знайти рівень запасів, який буде визначати розмір замовлення на поставку. Наприклад, можна прийняти рішення, що розмір замовлення на момент його подачі має бути вибраний таким чином, щоб рівень запасів збільшився до 100 одиниць продукції при умові, що поставка замовлення здійснюється негайно. Отже, якщо рівень запасу дорівнює 35, розмір замовлення буде дорівнювати 65, якщо ж рівень запасу дорівнює 43, розмір замовлення досягне 57 одиниць продукції. 
 
Досягнення мінімальної вартості 
 
Алгоритм, який використовувався в попередній моделі, може бути використаний також для визначення найбільш прийнятної тривалості циклу повторного замовлення. Рівень запасів М, при якому досягається мінімум загальної змінної вартості за рік, можна визначити як розмір необхідного резервною запасу.  
 
Оптимальний варіант повторного замовлення визначають за формулою 8.12. Розмір замовлення, який визначається кожного разу в момент його подачі, має бути таким, щоб рівень запасів виріс до величини М за умови негайного отримання замовлення, де М мінімізує витрати на збереження резервного запасу і вартості недостатності запасів за рік. 
 
Розмір резервного запасу визначається так: 
В = М – середнє значення попиту протягом поставки і циклу повторного замовлення.   
Знаючи цикл повторного замовлення, час доставки запасів і річний попит запасів, можна знайти середнє значення попиту за досліджуваний період. 
 
Слід підкреслити, що всі розглянуті моделі рішень по управлінню запасами побудовані на прикладі одного виду продукції. Але переважна більшість систем управління запасами на практиці включає в себе сотні і навіть тисячі найменувань продукції. Природно, що в подібній ситуації різноманітні види продукції будуть використовуватися по-різному. Тому доцільно обмежити дослідження тими товарами, які найбільш часто використовуються і найбільш дорогі.  
 
Більшість систем управління запасами включає в себе кілька місць зберігання. Наприклад, центральний універмаг здійснює поставки продукції в дрібніші власні магазини. У такій ситуації адміністрації доводиться приймати рішення про те, які товари треба зберігати й продавати тільки в центральному універмазі, які - тільки в невеликих магазинах, а які і в центральному універмазі, і в підпорядкованих йому магазинах. Крім того, адміністрація центрального універмагу повинна вирішити, в якому обсязі і з якою частотою треба замовляти кожний вид товарів. Необхідно порівняти витрати зберігання запасів на різних рівнях з адміністративними і транспортними витратами, пов'язаними з частою доставкою товарів від центрального універмагу в підпорядковані магазини. Математичну модель, яка описує подібні проблеми, можна побудувати тільки за умови прийняття достатньо великого числа спрощуючих припущень, які можуть бути віддалені від реальної дійсності. Якщо система управління запасами є дуже складною, більш корисним при її моделюванні можуть виявитися не математичні моделі, які були розглянуті, а імітаційні моделі.