Статистичні методи вивчення взаємозв’язків

     Кожне із зазначених видів середніх може бути обчислений за простою і зваженою формулами.

     Прості  формули використовують як правило не згрупованих даних, зважені – для згрупованих даних.

     Об’ємні середні можна одержати із формули «степеневої середньої»

      - не згруповані дані (прості формули)

      - згруповані дані (зважені формули)

     Математичні властивості середньої арифметичної:

• Якщо всі значення варіаційної ознаки збільшити або зменшити на а число разів, то середня арифметична відносно збільшиться або зменшиться на а число разів
• Якщо всі частоти збільшити або зменшити в с число разів, то середня арифметична при цьому не зміниться
• Якщо всі значення варіюючої ознаки збільшити або зменшити в к число разів, то середня арифметична зміниться в к число разів
• Алгебраїчна сума відхилень всіх значень ознаки, щодо величини середньої завжди дорівнює 0

     Квартилі Q – це значення варіант, які ділять упорядкований ряд за обсягом на чотири рівних частини, а децилі D – на десять рівних частин. Отже, в ряду розподілу визначаються три квартилі та дев’ять децилів. Медіана є водночас другим квартилем та п’ятим децилем. Розрахунок квартилів та децилів грунтується на кумулятивних частотах (частках). Наприклад, перший та третій квартилі визначаються за формулами:

     Перший  квартиль:

     

     Третій  квартиль:

     

     Перший  та дев’ятий децилі обчислюються за формулами

     

       

     Найпростішою  мірою асиметричності розподілу  є відхилення між характеристиками центру розподілу. Поза як у симетричному розподілі , то чим помітніша асиметрія, тим більше відхилення .

     Напрямок  та міру асиметрії  характеризують коефіцієнти асиметрії, які обчислюються за формулами:

       

     При правосторонній асиметрії А>0, при лівосторонній А<0, при симетричному розподілі А=0. Вважається, що при |A|<0,25 асиметрія слабка, при 0,25<|A|<0,5 – середня, при |A|> 0,5 - сильна.

     Коефіцієнт  асиметрії можна також визначити за формулою:

       
 
 

     При дослідженні ступеня концентрації одиниць навколо середнього рівня  визначають коефіцієнт ексцесу:

       
 
 

     При гостровершинному розподілі Е>0, при плосковершинному Е<0, а при нормальному розподілі Е=0. 

     Будуємо варіаційний інтервальний ряд розподілу урожайності цукрових буряків:

     

     

Таблиця.2.1 Розподіл господарств і розрахункові дані для визначення середньої арифметичної, моди, медіани, коефіцієнта асиметрії і ексцесу за урожайністю цукрових буряків.

 

     

1. Середня арифметична  зважена:

2. Середня арифметична  способом моментів:

3. Мода:

4. Медіана:

5. Квартилі:

   

 

6. Децилі:

7. Асиметрія:

Таблиця 2.2 Розрахунок асиметрії

 

    

    

    

    

      Обчисливши  коефіцієнт асиметрії, робимо висновок, що асиметрія сильна, правостороння.

8. Коефіцієнт ексцесу:

    

    

    Коефіцієнт  ексцесу має плосковершинний розподіл. 

     Будуємо варіаційний інтервальний ряд розподілу середньорічної оплати праці одного працівника, зайнятого в сільському господарстві: 

     

       

Таблиця.2.3 Розподіл господарств і розрахункові дані для визначення середньої арифметичної, моди, медіани, коефіцієнта асиметрії і ексцесу за середньорічної оплати праці одного працівника, зайнятого в сільському господарстві:

     Розподіл  господарств за середньорічної оплати праці одного працівника, зайнятого в сільському господарстві зобразимо графічно:

 
 
 

      

    

1. Середня арифметична  зважена:

2. Середня арифметична  способом моментів:

   А= 1185,8

3. Мода:

4. Медіана:

5. Квартилі:

 

6. Децилі:

7. Асиметрія:

Таблиця 2.4 Розрахунок асиметрії