Методы построения страховых тарифов по рисковым видам страхования

Вероятность дожить до определенного  возраста или окончания спроса страхования зависит в первую очередь от возраста в момент страхования и срока действия договора страхования жизни.

На основании массовых данных демографической статистики и теории вероятности выявлена подчиняющаяся  закону больших чисел зависимость смертности от возраста людей, выведены соответствующие формулы для расчета. По специально разработанной методике с применением этих формул составляются таблицы смертности. Таблицы периодически пересчитываются в связи с изменением показателей смертности населения. Они содержат конкретные цифры смертности для каждого возраста (в полных годах) в расчете на 100 000 населения с последовательным уменьшением доживающих при переходе от одной возрастной группы (lх) в другую группу (lх+1),  имеющую возраст, больший на один год.

Вычисление  вероятностей дожития и смерти

Определяют:

- вероятность смерти (g_r) при переходе от возраста х к возрасту (х + 1) лет:

где    d_x - число умирающих при переходе от возраста х к возрасту (х + 1) лет,

d_x = lх – lх+1

 - вероятность дожития (р_х) лица в возрасте х лет до возраста (х+ 1) лет:

 

Пример 1. Для лица в возрасте 45 лет рассчитайте:

а) вероятность прожить еще один год;

б) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;

в) вероятность прожить еще два года;

г) вероятность умереть в течение предстоящих двух лет;

д) вероятность умереть на третьем году жизни в возрасте 48 лет. 
Решение.

Определяем для лица в возрасте 45 лет: а) вероятность  прожить еще один год:

Цифры берем из приложения 1;

б) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни:

 

 

в) вероятность прожить еще два  года:

 

г) вероятность умереть  в течение предстоящих двух лет:

д) вероятность умереть  на третьем году жизни:

Вычисление  платежей при смешанном страховании  жизни по данным таблицы смертности

Достоверность и математическая точность данных таблиц смертности позволяет использовать их для расчета нетто-ставок по видам страхования жизни.

Договоры страхования  жизни заключаются, как правило, на длительный срок. Период времени между уплатой взносов и моментом осуществления выплат достигает нескольких лет. В течение этого срока за счет инфляции и прибыли, получаемой от инвестирования временно свободных средств, стоимость страховых взносов изменяется. Чтобы учесть подобные изменения при построении тарифных ставок, применяют методы долгосрочных финансовых исчислений, в частности дисконтирование.

Тарифные  ставки бывают единовременные и годовые.

Единовременная  ставка предполагает уплату взноса в начале срока страхования. При такой форме уплаты взноса страхователь сразу при заключении договора погашает все свои обязательства перед страховщиком.

Годовая ставка предполагает постепенное погашение финансовых обязательств страхователя перед страховщиком. Взносы уплачиваются раз в год. Для уплаты годового взноса может предоставляться еще и помесячная рассрочка.

Единовременная  ставка по страхованию на дожитие  для лица в возрасте х лет при сроке страхования п лет в расчете на 100 руб. страховой суммы (_пЕ_х) определяется

где    1_х+п - число лиц, доживающих до возраста х+п (берется из таблицы смертности);

1_х - число лиц, подлежащих страхованию (достигших возраста х лет из 100 000 родившихся);

   n

V - дисконтный множитель, который определяется по формуле

где    i - норма доходности инвестиций,

п - срок страхования.

Единовременная  нетто-ставка (nАх) на случай смерти на определенный срок вычисляется

 

где    d_X,, d_x+1 , d_x+ n-1 - число лиц, умирающих при переходе от х лет к возрасту (х + 1) по годам за срок страхования.

При смешанном  страховании на дожитие и на случай смерти рассчитывается совокупная нетто-ставка

Брутто-ставка определяется

где   ƒ-  доля нагрузки в брутто-ставке (%).

 

Пример 2. Рассчитайте единовременную брутто-премию для страхователя в возрасте 45 лет, застрахованного по смешанному страхованию жизни сроком на три года. Норма доходности -8%. Страховая сумма - 25 тыс. руб. Доля нагрузки в брутто-ставке - 10%.

Решение.

Определяем:

1) единовременные нетто-ставки  для лица в возрасте 45 лет сроков  на 3 года:

а) на дожитие (2.1)

 

 

 

 

 

 

 

Цифры берем из приложения 1;

б) на случай смерти (2.2)

в) при смешанном страховании  жизни (2.3)

2) единовременную брутто-ставку  при смешанном страховании жизни  (2.4)

 

 

 

3) единовременную брутто-премию

 

Вычисление  тарифных ставок при страховании жизни через коммутационные числа

 

 На практике приходится  исчислять тарифные ставки для  различных возрастов застрахованных лиц и сроков страхования (а также уплаты взносов и страховых выплат), что очень трудно. Для упрощения расчетов применяются специальные технические показатели – коммутационные числа:

1 где    ω - предельный возраст таблицы смертности.

С помощью  простого математического приема умножения числителя и знаменателя дроби на множитель V^х формулы расчета нетто-ставок могут быть выражены через коммутационные числа.

Для практических расчетов нетто-ставок при страховании  жизни разработаны таблицы коммутационных чисел.

В результате преобразований формулы расчета нетто-ставок через коммутационные числа примут вид:

Единовременная  нетто-ставка для лица в возрасте х лет:

- на дожитие при  сроке страхования п лет

- на случай смерти:

а) при страховании  на определенный срок

б) для пожизненного страхования

Годовая нетто-ставка (взнос  уплачивается в начале страхового года) для лица в возрасте х лет:

- на дожитие  при сроке страхования п лет

- на случай смерти:

а) при страховании  на определенный срок

 

6) при пожизненном  страховании

 

 

 

 

Пример 3. По исходным данным примера 2 рассчитайте нетто-ставки по вышеуказанным формулам через коммутационные числа, используя показатели таблицы приложения 1.

Решение.

Определяем: 

1) единовременную нетто-ставку  для лица в возрасте 45 лет при сроке страхования три года

а) на дожитие 

 

 

б) на случай смерти

2) единовременную нетто-ставку  на случай смерти для лица  в возрасте 45 лет при пожизненном  страховании 

3) годовую нетто-ставку (взнос уплачивается в начале  страхового года):

а) на дожитие для лица в возрасте 45 лет при сроке страхования три года

б) при страховании  на случай смерти для лица в возрасте 45 летя на 3 года

в) при пожизненном  страховании на случай смерти:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Для лица в возрасте 43 лет рассчитайте:

а) вероятность прожить еще год;

б) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;

в) вероятность прожить еще три года;

г) вероятность умереть в течение предстоящих трех лет;

д) вероятность умереть на четвертом году жизни в возрасте 47 лет.

Задача2. Для лица, чей возраст - 42 года, рассчитайте вероятность:

а) умереть в течение предстоящего года жизни;

б) прожить еще три года;

в) умереть в течение предстоящих трех лет;

г) умереть на четвертом году жизни (в возрасте 46 лет).

Задача 3. Рассчитайте для лица в возрасте 46 лет:

а) вероятность прожить еще один год;

б) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни;

в) вероятность прожить еще три года;

г) вероятность умереть в течение предстоящих трех лет.

Задача 4. Рассчитайте единовременную брутто-премию для страхователя в возрасте 47 лет, застрахованному по смешанному страхованию жизни сроком на три года. Норма доходности - 8%. Страховая сумма -30 тыс. руб. Доля нагрузки в брутто-ставке - 10%.

Задача 5. Страхователь в возрасте 44 лет заключил договор страхования на случай смерти сроком на пять лет (норма доходности - 8%, страховая сумма - 20 тыс. руб., доля нагрузки - 9%).

Определите через коммутационные числа:

1. единовременную нетто-ставку, брутто-ставку и брутто-премию;
2. годовую нетто-ставку, брутто-ставку и брутто-премию.

Что выгоднее для страхователя: платить взносы единовременным платежом или по частям ежегодно?

Задача 6. Страхователь в возрасте 42 лет заключил договор страхования на случай смерти сроком на два года (норма доходности - 8%).

Определите:

1. единовременную нетто-ставку на случай смерти двумя способами:

а) используя данные таблицы  смертности;

    б) через  коммутационные числа;

2. годовую нетто-ставку;
3. брутто-ставку (единовременную и годовую), если нагрузка в ней составляет 11%;
4. брутто-премию (единовременную и годовую), если страховая сумма - 30 тыс. руб.

Задача 7. Страхователь в возрасте 43 лет заключил договор смешанного страхования жизни на три года (норма доходности - 8%).

Определите:

1. единовременную нетто-ставку на дожитие и на случай смерти через коммутационные числа;
2. единовременную брутто-ставку при смешанном страховании жизни, если нагрузка в брутто-ставке - 9%;
3. брутто-премию, если страховая сумма равна - 20 тыс. руб.

Задача 8. Для страхователя в возрасте 40 лет рассчитайте через коммутационные числа при страховании на случай смерти (норма доходности - 8%):

1) сроком на три года:

а) единовременную нетто-ставку;

б) годовую нетто-ставку;

2) при пожизненном страховании:

а) единовременную нетто-ставку;

б) годовую нетто-ставку.

Задача 9. Рассчитайте для страхователя в возрасте 41 года, заключившего договор страхования жизни сроком на два года (норма доходности - 8%, страховая сумма - 15 тыс. руб.):

1) размер единовременной нетто-ставки на дожитие и на случай смерти двумя способами:

а) используя данные таблицы смертности;

б) через коммутационные числа;

2. размер единовременной брутто-ставки при смешанном страховании жизни (в рублях на 100 руб. страховой суммы), если доля нагрузки в брутто-ставке - 11%;
3. единовременную брутто-премию при смешанном страховании жизни.

Задача 10. Рассчитайте единовременную и годовую брутто-премию при пожизненном страховании на случай смерти страхователя в возрасте 46 лет. Норма доходности - 8%, страховая сумма - 30 тыс. руб. Доля нагрузки в брутто-ставке - 12%.

 

Приложение

 

Выписка из таблицы коммутационных чисел (по общей смертности) по данным переписи 1994 г.

 

Возраст, лет			Коммутационные  числа
0	100 000	1 821	100 000.00	129 7 459.49	1686.11	3891.87
1	98 179	179	90 906.48	1197 459.49	153.46	2205.76
…	…	…	…	…	…	…
40	88 488	722	4073.19	45 312.28	30.77	716.70
41	87 766	767	3740.70	41 239.09	30.27	685.93
42	86 999	817	3433.34	37 498.40	29.85	655.66
43	86 182	872	3149.16	34 065.06	29.50	625.81
44	85 310	931	2886.39	30 915.89	29.17	596.31
45	84 379	994	2643.42	28 029.51	28.83	567.14
46	83 385	1058	2418.77	25 386.09	28.42	538.31
47	82 327	1119	2211.19	22 967.32	27.83	509.89
48	81 208	1174	2019.57	20 756.13	27.03	482.06
49	80 034	1223	1842.94	18 736.56	26.08	455.03
50	78 811	1266	1680.35	16 893.62	24.99	428.95
…	…	…	…	…	…	…
99	133	59	0.07	0.10	0.03	0.04
100	74	35	0.03	0.03	0.01	0.01